2022-2023学年云南省大理白族自治州高一年级上册学期质量监测数学试题含答案

2022-2023学年云南省大理白族自治州高一上学期质量监测数学试题

一、单选题

1,若集合0={1，2,3,4,5,6}/={2,4},则集合（）

A.{2,4}B{1,3,5,6}

C.{123,4}D.{123,4,5,6}

【答案】B

【分析】由集合的补集运算可得答案.

【详解】因为集合"={2*},。=，2,3,4,5,6},Q/={1,3,5,6},

故选:B.

2.下列函数中，在定义域上为减函数的是（）

A.N=2XB.尸2/

x

cy=2'-Dy=log2（x+2）

【答案】C

【分析】分别判断选项的是否为减函数即可.

【详解】对于A,函数y=2x是增函数，所以A不正确；

对于B,函数夕=2一是二次函数，在定义域上不是单调函数，所以B不正确；

对于C,函数>=2~是减函数，所以c正确；

对于D,函数V=bg2（x+2）是增函数，所以D不正确，

故选:C.

3.命题“VxeR，2x2-2x+l<0”的否定是（）

AGR,2x2-2x+1>0g3xeR,2x2-2x+1>0

CVxeR,2x2-2x+1>0口VxeR,2x?-2x+lN0

【答案】A

【分析】根据全称命题的否定为特称命题即可得到结果.

【详解】r“VxwR,2x2-2x+l<0”是全称量词命题，

根据全称量词命题的否定是存在量词命题，

得到命题的否定是：玉eR,2W-2x+l30,

故选:A.

.1

sina+cosa=-.

4.己知。满足3,则sm2a=()

_22_88

A.3B.3C.9D.9

【答案】C

【分析】利用同角的平方和关系和二倍角公式即可.

11

sina+cosa=—.t.1+2sinacosa=—

【详解】3,9,

.8

sinn2a=2smacosa=——

即9,

故选:C.

邛「

5.设4=3：⑶，。=1吗0.3,则。也c的大小关系为()

A.c<a<bgb<a<cc.b<c<aD.c<b<a

【答案】D

［分析］利用指数函数y=3、的单调性比较。力的大小，再利用中间值“0，，与c比较得结论.

【详解】“=3\，由函数y=3,是R上的增函数，得a>。>0,

Iog30.3<log,1<0；;.c<b<a

故选:D.

/(x)=-x+g)

6.在下列区间中，函数121的零点所在区间为()

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

【答案】A

【分析】根据函数的单调性及零点的存在定理判断零点所在区间.

/(x)=-x+d/(1)=--<0

【详解】由连续函数在定义域上单调递减，八0)=1>0,且2，故函数

12J的零点所在区间为(°，D.

故选：A.

7.《周髀算经》中给出的弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大的正方

兀

0A<a<一

形，若下图中所示的角为。4,且小正方形与大正方形面积之比为1:5,贝hana的值为

1111

A.5B.4c.3D.2

【答案】D

【分析】方法一：用直角三角形较短的直角边长x及a表示出大小正方形边长,由小正方形与大正方

形面积之比为1：5求得cosa-sina后再求tana的值.

方法二：设较长直角边边长为x,小正方形边长为a,大正方形的边长为6,由小正方形与大正方形

面积之比为1：5及直角三角形边关系求得》=2。,进一步求tana的值.

0<a<—

【详解】方法一：设直角三角形较短的直角边长为X,由于4,

士上-x上

则较长直角边长为tana,所以小正方形的边长为tana,大正方形的边长为sina,

因为小正方形与大正方形面积之比为1：5,

1

=cosa-sma=—j=

75(cosa-sina)2=-

,所以5

22

-(-c-o-s-a---s-i-n-a-)---1---2-t-a--n-a-+--t-an--a-——1

所以sin?a+cos?atan2a+15,

7l1

0A<a<—tana=—

由于4,解得2.

方法二：设较长直角边边长为x,小正方形边长为“，大正方形的边长为6,

22222

/.a:b=l:5,：.a:b=l:亚，b=瓜1,b=x+(x-a)f

x-a1

tana=-----=—

x=2a9x2,

故选：D.

8.己知关于x的方程lg2x+algx+b=0的两个不相等的实数根分别是x29若盯到=100，则的

取值范围是()

A.(2,100)B.(-oo,-l)

C.(-1,100)D.("oo,2)

【答案】B

【分析】设'=lgx,则原方程化为“+袱+6=°,由根与系数的关系可求出°=-2,再由

『-2/+6=0有两个不相等的实数根，则△>（）,解不等式即可得出答案.

【详解】设'=lgx,则原方程化为“+R+b=°,其两个根为公电再，4=叱，

由根与系数的关系可得'*2=-a=lgX|+lgX2=lg（xE）=lgl00=2,

所以。=-2,因为/-2/+6=°有两个不相等的实数根，

所以A=4-4b>0,解得6<1,即a+b的取值范围为（一%一1）,

故选:B.

二、多选题

八/、fx+Lx<-\

2

9.已知函数'H+2X+1，X2-1,则（）

A,"T）=°

B.若则。=0或。=-2

C.函数/（X）在（y,x0）上单调递增

D.函数/（X）在卜2,2］上的值域为［T9］

【答案】ACD

【分析】将x=T代入函数解析式即可判断A；分和a2一两种情况讨论即可判断B；分别

判断两段函数的单调性，在观察临界值点的函数值即可判断C；根据函数的单调性即可判断D.

【详解】对于A,/H）=l-2+l=0）故A正确；

对于B,""）=1,若"T时，"+1=1,解得。=°（舍），

若时，cr+2a+\=\,解得。=0或。=-2,。=-2（舍），

综上。=°,故B不正确；

对于C,若x<T时，，（x）=x+l为增函数，

若x2-l,/（x）=/+2x+l=（x+l）2在卜1,+8）上递增，

又当x=-l时，x-1=2,x-+2x+l=°,

所以函数/（X）在（7'R）上单调递增，故C正确；

对于D,由于/（X）在定义域上单调递增，xe.2,2],="2）=9,

所以函数/（、）在.2,©上的值域为[7,9],故D正确.

故选：ACD.

.0,已知函数人）sinf2x+y

,则下列说法正确的是（）

A./（X）的最小正周期为2万

/（x）的一个对称中心为P0

B.

n，n

"x）在区间----—

C.1212内单调递增

兀

将函数尸sin2x的图象上所有点向左平移§个单位长度，可得到函数/（尤）的图象

D.

【答案】BC

【分析】求出函数的最小正周期可判断A；求出“X）的对称中心可判断B；求出“X）的单调递增区

间可判断C；根据三角函数图象平移规律可判断D.

/(x)=sin(2x+

【详解】由于函数

2兀_

函数的最小正周期为2"，故A不正确：

对于A,

华吟0,eZ)

2x+—=knx=--—（keZ）

对于B,由3得26、,所以/（X）的对称中心为207,当％=1时,

y,0

对称中心为，故B正确;

兀c,八兀,兀_.--+kTt,—+kn(keZ)

——+2kn<2x+—<—+2kit得L1212JI)

对于C,由232所以/（X）的单调递增区间为

5兀57r兀71兀

kit——-,4--(AGZ)，当％=°时，/（X）的单调递增区间为I五12」，故函数在------>—

121121212上单

调递增,故C正确;

兀y=sin(2x+1

将函数V=sin2x的图象上所有点向左平移H个单位长度，可得到函数

对于D,的

图象，故D不正确.

故选：BC.

11.已知函数'（a>0且。芯1）的图象过点（2,4）,（4,2）,则（）

A.«=^2C.卜=3D.k=6

【答案】AD

【分析】将点（2,4）,（4,2）,代入/a”/一'求得凡％的直

尸=4

<

【详解】由已知得10"4=2,两式相比得/=2,所以。=上，

由小2=4得3r=4=3),所以人6,

故选：AD.

12.设“力为正实数，则下列命题正确的是()

1

A,若则"6<1B.若1“+1方=，则(”1)3-1)=1

1_1

C.若四=1,则0一b<1D.若a1=1,则

【答案】AB

【分析】根据不等式性质判断A选项，化简等式可判断B选项，特殊值法可判断C,D选项.

【详解】对于A,若则=即(°+1).仅—1)=/,+.-.a-\<b,

即。-b<l,A命题正确；

1+1=1

对于B,若ab,可得。+6=/，a+6_"+l=],即得("1)ST)=1,B命题正确；

对于C,若&-&=1,可取。=9,b=4,则"分=5>1,c命题不正确：

_L」=1a=l

对于D,若a丁,可取“一豆，％=7,则D命题不正确，

故选：AB.

三、填空题

13.已知函数/(X)在[3—2。,句上是偶函数，则实数a=.

【答案】3

【分析】根据奇偶函数的定义域关于原点对称运算求解.

【详解】由题可得3-2a+a=0,解得a=3.

故答案为：3.

14.若“不等式X—“<1成立”的充要条件为“x<2，，,则实数〃，的值为.

【答案】1

【分析】解不等式根据充要条件的定义可得出关于机的等式，解之即可.

【详解】解不等式得x<机+1,

因为“不等式成立”的充要条件为“》<2"，所以2=m+l,解得机=1,

所以，机=1.

故答案为：1.

15.已知扇形的面积为9,周长为12,则扇形的圆心角所对弦长是.

【答案】6sinl

【分析】根据扇形的面积和周长求出扇形的圆心角和半径，再利用勾股定理求出弦长.

-aR2=9/、

-2卜=2

【详解】如图，设扇形的半径为R,4°B=a.据题意|aR+2H=12,解得：〔及=3

BM=-ABZAOM=-ZAOB=l

过。作CWJ.45交ZB于则AM=22

在RtZ\4WO中，4W=3sinl,

:.48=6sinl.

故答案为：6sinl.

16.已知正实数满足4x+2y+砂T7=0,且6/-3彦孙+2x恒成立，则I的取值范围是

.(答案用区间表示)

(-8,T1]U—+00J

【答案】L2)

【分析】由4x+2>+h77=°可得x(y+2)+2x+2a+2)-21=0,

然后利用基本不等式可求出X&+2)的最大值为9,进而解不等式-3彦9可得结果

【详解】由4x+2y+Ay_17=0,得x(y+2)+2x+2(y+2)—21=0,

x>0,y>0,x(y+2)+2x+2(y+2)-212x(y+2)+4&(y+2)-21=[Jx(y+2)+7][Jx(y+2)-3]

所以"(y+2)W3,即x(y+2)W9,

当且仅当'=卜+2=3时取等号，又6--3彦孙+2x恒成立，

t>3

则6r-3t^(xy+2x)饷=9,解得‘-5或f4-1,

(-00,-rl]U—+<»I

则，的取值范围为L2人

(-X,-rl]U—+00|

故答案为：L2)

四、解答题

17.计算下列各式的值:

41烟-射

⑴

(2)21og32-log312+log,5xlog58

14

【答案】（1）5

⑵2

【分析】（1）将根式化为分数指数累，然后根据幕的运算性质即可求解;

（2）根据对数的运算性质及换底公式即可求解.

c、114

2+3—=—

【详解】（1）4"历一（小33

(2)21og32-log312+log,5xlog58

=log?~+bg>8=—1+3=2

18.已知函数/(x)=(x+l)-'-(3-2x)T

⑴求函数〃x）的定义域;

⑵若〃x）=°,求实数X的值.

-1<X<2x>2

【答案】（1）口“卜（-1

或2或2匚

2

X=—

⑵3

【分析】（1）由基本初等函数的定义域求解即可得出答案.

11

（2）由〃x）二°可得7门一至公，解方程即可得出答案.

X。一1,

Jx+1w0,3

【详解】（1）〃x）=（x+l）T-（3-2x）-'的定义域满足13-2"0,解得:X#—,

2

或或

则函数/（x）的定义域是"\2/2J

“、八(x+1)1=(3—2x)1o---=-----

(2)由即"I3-2x,

由分母不为0,得3-2x=x+l,

2

x=—

解得3.

产化二]

19.已知角a的顶点与坐标原点。重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点123人

⑴求cos2a；

0<B<-sin(a+/3)=—。

⑵若2,'13,求cos£

【答案】⑴一五

16

⑵65

【分析】(1)由任意角三角函数定义可求得sina、cosa,即可由倍角公式求值;

(2)判断0+/范围，由平方关系求得c°s(a+0,贝|jCos"=cos[(a+£)-"L由和差角公式可求.

【详解】⑴由角a的终边过点叫'T,

21

cos2a=cos2a-sin2a-------

所以25.

43

sina=--<0cosa=->02kn--<a<2kn

(2)由5,5得2,

0<J3<—2kn--<aJt-B<2kn+-

又2,22,

512

sin(a+4)=—cos(cr+£)=—

由13得13,

“jcos夕=cos[(«+/?)-a]=cos(a+〃)cosa+sin(a+/?)sina=合

20.设。＞。力＞0,且Q+66=5

⑴求成的最大值；

23

—I—

(2)求a〃的最小值.

25

【答案】(1)五

32

⑵5

【分析】(1)由基本不等式即可求出血的最大值;

22=ix5x233

+=—(i/+66)1-4-

(2)由。h5ab,再由基本不等式求解即可.

冶,

【详解】(1)法一:662

5

a=-b

当且仅当2且12时等号成立.

25

：,ab的最大值为24

Aab^—

法二.5=a+6b，216ab,24,

_5

b=—

当且仅当。=66,即12时等号成立.

25

：・ab的最大值为24.

3

2+2=—(a+6/>)|—+3

⑵a65ab5a稳

-5

a=2D=—

当且仅当4时等号成立,

2332

—I——

**•ab的最小值为5.

21.据市场调查，某种商品一年内每月的销售额满足函数关系式:

兀

f(x)=Asin(<yx+0)+B(A〉0,口〉0,|0区一)/、

2,x,(xeN)为月份已知2月份该商品的销售额首次

达到最高为11万元，7月份该商品的销售额首次达到最低为3万元.

(1)求/(X)的解析式;

⑵求此商品的销售额超过9万元的月份.

兀n

/(x)=4sin—x+一+7

【答案】(1)510

(2)1月份、2月份、3月份、11月份、12月份

【分析】(1)待定系数法求三角函数解析式.

(2)求三角函数不等式的解集与14x412,xeN*的交集即可.

T

-=7-2=5

【详解】(1)由题意可知2,

,7=10,

2兀71

(D=——=—

75.

p+5=llp=4

又+B=3,解得［8=7,

/(x)=4sinf-|x+^)+7哈+。卜

又/(X)过点(2,ID,代入得

2兀兀r,

—+(/)=—+2KH__

52,keZ.

I夕区一(P~—

又2../10,

71兀

f(x)=4sin—Xd-------+7

510

n冗7tnI

/(x)=4sin—JfH------+7>9sin—x+一

(2)令510，BP：5102

兀2九兀5花”

—H2kn<—xH-------<—；—F2ZTTI.--F10k<X<F10^

•・・65106,"eZ,解得：33,keZ

y1<x<12,xeN*

,x=l,23,1112

即在1月份、2月份、3月份、11月份、12月份，此商品的销售额超过9万元.

[3—X,X<3

/(x)='2

2x,x>3

22.已知函数

⑴根据定义证明：函数/%）在区间（一%一3）上单调递减;

（2）若实数a满足/（”“））=2；（<，）,求实数a的取值范