2022-2023学年广东省信宜市高二年级上册学期期末数学试题及答案

2022-2023学年第一学期期末考试

高二数学

本试卷共6页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.

注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生

号填写在答题卡指定的位量上.

2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；

如需改动，擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上.

3.非选择题必须用黑色字迹的笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内

的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使

用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.

4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.

第一部分选择题(共60分)

一、单项选择题：共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选

项中，只有一项是符合题目要求的.

1.抛物线x=的准线方程是()

B.x=——

4

1

D.x=------

16

【答案】C

【解析】

【分析】化为标准形式求解即可.

【详解】解：X=2y2可化为y2=/x,

所以抛物线x=2y2的准线方程为x=

O

故选：C

2.a=(1,-1,3),^=(-l,4,-2),c=(l,5,x),若三向量共面，则实数%=()

A.3B.2C.15D.5

【答案】D

【解析】

(分析】利用向量共面sn坐标运算进行求解即可.

［详解】:a=(1，-1,3),〃=1,4,-2),・，.「与〃不共线,

又,：a、b、6三向量共面，则存在实数〃?，拉使C=+

m-n=\

即<-77?+4/7=5,解得n=2,m=3,x=5.

3m-2n=x

故选：D.

3.若等轴双曲线C过点(1,百)，则双曲线C的顶点到其渐近线的距离为()

A.1B.0C.y/3D.2

【答案】A

【解析】

【分析】先求出双曲线C的标准方程，再求顶点到其渐近线的距离.

【详解】设等轴双曲线C的标准方程为月一产二左化/。)，

因为点(1,@在双曲线上，所以12-(6了=/，解得左=一2,

所以双曲线C的标准方程为工-工=1,

22

故上顶点(o,V2)到其一条渐近线y=%的距离为d

故选：A.

4.等差数列｛a,,｝的前〃项和S,,,若q=2,53=12,贝i]&=

A.8B.10C.12D.14

【答案】C

【解析】

【详解】试题分析：假设公差为d,依题意可得3x2+』x3x2d=12,.・.d=2.所以

2

4=2+(6—1)x2=12.故选C.

考点：等差数列的性质.

XV2

5.已知椭圆c：j+=1(。＞力＞0)的左顶点为A,上顶点为B,右焦点为F,若

ClF

ZABF=90°,则椭圆C的离心率为()

A6-1R\/5-1「>/3+1n

A.----D.----v.-----U.

224

75+1

4

【答案】B

【解析】

【分析】表示出各点坐标，由NABb=90°可得区4.3尸=0,得出。力,。的等式，变形后

可求离心率.

【详解】由题意1（一。,0）,8（0,烧F（c,0）,则BA=（—a,—b）,BF=（c,—b）,

ZABF=90°,

•••BABF^-ac+h2=0>即。2一。2一。。=0，

可得（£>+£—i=o,

aa

...e=£=±@或土史（舍去）.

a22

故选：B.

6.设。，b为实数,若直线以+刀=1与圆/+y2=1相交，则点尸（。力）与圆的位置关

系是（）

A.在圆上B.在圆外C.在圆内D.不能确

定

【答案】B

【解析】

【分析】根据直线与圆的位置关系，求得。力满足的关系式，结合点与圆位置关系的判断

方法，判断即可.

1

【详解】根据题意<即〃+/>1，故点P（a,。）在圆f+y2=i外.

yfa2+b2

故选：B.

7.如图，在__ABC中，AC,AB所在直线方程分别为4x-3y—13=0和

3x+4y-16=0,则/A的角平分线所在直线的方程为（）

A,x-7y+3=0B.7x+y-29=0C,x-y+3=0D.

x+y—5=0

【答案】A

【解析】

【分析】求出A点的坐标，根据题意可得AB1AC,设/A的角平分线所在直线的倾斜

角为a,直线AC的倾斜角为夕，从而可得tana=tan（尸—45。），再根据直线的点斜式

方程即可得解.

【详解】解：联立口；,,八，解得〈，，即A（4,l）,

3x+4y-16=0[y=l'7

因为4x3—3x4=0,所以AB1AC,即/R4c=90°,

4

设NA的角平分线所在直线的倾斜角为。，直线AC的倾斜角为夕，贝han4=§,

则tana=tan（0-45°）=—■--=—,

147

3

即ZA的角平分线所在直线的斜率为1，

7

所以NA的角平分线所在直线的方程为y-1=4）,即x—7y+3=0.

故选：A.

8.已知数列｛为｝是以1为首项，2为公差的等差数列，也“｝是以1为首项，2为公比的等

比数列，设c,=',Tn^c｝+c2++c“(〃eN*),则当骞＜2022时，〃的最大值是

()

A.8B.9C.10D.11

【答案】B

【解析】

【分析】先求出数列｛4｝和｛2｝的通项公式，然后利用分组求和求出力,，再对“进行赋

值即可求解.

【详解】解：因为数列｛4｝是以1为首项，2为公差的等差数列

所以a”=l+(〃-l)x2=2〃-l

因为也,｝是以1为首项，2为公比的等比数列

所以a=2小

n

由%=%得：cn=2b,-1=2-l

Tn=c,+c2++c,,(〃eN*)

=(2'+22+23++2")-〃

2(1-2")

=-------n

1-2

=2向_〃一2

当7；<2022时，即2向一〃-2<2022

2"+'<2024+〃

当〃=9时，2"><2033

当〃=10时，2"=2048>2034

所以〃的最大值是9.

故选：B.

【点睛】关键点睛：本题的关键是利用分组求和求出7“，再通过赋值法即可求出使不等式

成立的〃的最大值.

二、多项选择题：共4小题，每小题5分，共20分.在每个小题给出的四个选

项中，有多个项符合题目要求.全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选

错的得0分.

9.下列说法正确的是()

A.直线丁=以一3。+2(。€/?)必过定点(3,2)

B.直线y=3x—2在y轴上的截距为—2

C.直线百x+y+1=0的倾斜角为6()。

D.圆f+丁=5的过点(一1,2)的切线方程为x-2y+5=0

【答案】ABD

【解析】

【分析】选项A将直线化为点斜式可判断；选项B根据截距的定义可判断；选项C先求

出直线的斜率可得倾斜角从而判断；选项D先判断点在圆上，然后由切线的几何性质求出

切线方程，从而判断.

【详解】选项A.直线y=ox-3a+2化为y-2=a(x—3),所以直线过点(3,2),故正

确.

选项B.直线y=3尤—2在y轴上的截距为—2,正确.

选项C.直线6x+y+l=()的斜率上=-6,倾斜角为120°,故不正确.

选项D.由(一1『+22=5,则点(-1,2)在圆V+y2=5上

所以圆f+V=5的过点(一1,2)的切线的斜率为g,所以切线方程为y—2=；(x+l),

即x-2y+5=0,故正确.

故选：ABD

22

10.已知曲线C的方程为「一+二一=1(左eR,且左片2,kw6),则下列结论正确

k-26-k

的是()

A.当我=4时，曲线C为圆B.若曲线C为椭圆，且焦距为

2万，贝必=5

C.当我<2或4>6时，曲线C为双曲线D.当曲线C为双曲线时:焦距等于4

【答案】AC

【解析】

【分析】写出当&=4时的曲线方程，即可判断A;分情况求出当曲线表示椭圆时k的值，

可判断B；当人<2或A>6时，判断k一2,6一左的正负，即可判断C;当曲线C为双曲线

时，确定k的范围，求得焦距，可判断D.

22

【详解】当出=4时，方程为三+汇=1,即f+/=2,表示圆，故A正确；

22

若曲线C为椭圆，且焦距为2及，

则当焦点在x轴上，％—2>6—左>0且左一2一(6—左)=2,解得％=5；

当焦点在y轴上，6—A>%—2>0且6—々一(左―2)=2,解得左=3,

故此时％=5或攵=3,故B错误；

?2

当％<2时，々一2<0,6一女>0,曲线」+工=1表示的是焦点位于y轴上的双曲

k-26-k

线；

22

当A>6时，々-2>0,6<0,曲线工+工=1表示的是焦点位于x轴上的双曲

k-26-k

线；故C正确；

当曲线C为双曲线时，伏-2)(6—6<0,即攵<2或%>6,

当女<2时，k-2(Q,6-k)Q,焦距2c=2瓜二水，

当后>6时，左一2>0,6—左<0,焦距2c=2-2%-8，

故D错误，

故选：AC

11.已知空间中三点A((),1,0),8(2,2,0),C(—1,3,1),则下列结论正确的有()

A.ABJ.AC

B.与AB共线的单位向量是(1」，0)

C.AB与AC夹角的余弦值是叵

11

D.平面A3C的一个法向量是机=(1,一2,5)

【答案】AD

【解析】

UCIUUUIU

【分析】对于A,通过计算ABSC来判断，对于B,利用共线单位向量的定义求解，对

于C,利用向量的夹角公式求解，对于D,利用法向量的定义求解.

【详解】对于A,因为A(0,1,0),8(2,2,0),C(—1,3,1),所以

AB=(2,l,0),AC=(—1,2,1),

所以AB-AC=-2+2=0，所以ABLAC，所以A正确,

对于B,因为=(2,1,0),所以与AB共线的单位向量为

AB1(2亚非

(2,1,0)=力

网A/22+12

对于C因为A3=(2,1,0),AC=(—1,2,1),

ABAC-2+2+0

所以cos(A3,AC=0,所以c错误,

|/1B||AC|V5XV6

对于D,因为m=(L—2,5),AB=(2,1,0),AC=(—1,2,1),

所以m•43=2-2+0=0,m•AC=-1-4+5=0,

所以m_L_LAC,所以平面ABC的一个法向量是m=(1,一2,5),所以D正确,

故选：AD.

12.2022年4月16日9时56分，神舟十三号返回舱成功着陆，返回舱是宇航员返回地球的

座舱，返回舱的轴截面可近似看作是由半圆和半椭圆组成的“曲圆”，如图在平面直角坐

标系中半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的焦点尸(0,2),椭圆的短轴与半圆

的直径重合，下半圆与y轴交于点G.若过原点。的直线与上半椭圆交于点A,与下半圆

交于点B,则()

A.椭圆的长轴长为2及

B.AFG的周长为4+40

C.线段A8长度的取值范围是［4,2+2血］

D.△ABF1面积的最大值是40

【答案】BC

【解析】

【分析】由题意可得仇c,然后可得。，可判断A；由椭圆定义可判断B；由椭圆性质可

判断C；设所在直线方程为'=丘，分别联立椭圆、圆的方程，求出A，B两点的横

坐标，得出S&ABF根据单调性可得最大值判断D.

【详解】对于A,由题知，椭圆中Z?=c=2,得4=J/+c2=2及,则2a=4夜，故

A错误；

对于B,由椭圆定义知，AF+AG=2a=4>反，所以一AFG的周长

L=FG+40=4+4及，故B正确；

对于C,AB=OB+OA=2+OA,由椭圆性质可知2WQ4W2、/，，所以

4WABW2+20，故C正确；

=kx

*联立y任+可得乙=±心r^+/-

对于D,设AB所在直线方程为y=£=1

148

y=kx1~~

联立，，可得与二士、二^,

［x+y2=4B5+%2

S

则AABF-S^AOF+S^OIiF-2|OFIIxj+21OFII1-J814

2+k2+\l+k2'

显然当江2NO时，函数y=匚~丁+是减函数,

所以当人=0时，S。/有最大值4,故D错误.

故选：BC

第二部分非选择题（共90分）

三、填空题：共4小题，每小题5分，共20分.

22

13.法国数学家蒙日（Mo〃ge/746-1818）发现：双曲线F：—7—=l（a>h〉0）的两

条互相垂直切线的交点P的轨迹方程为：x2+y2=a2-b2,这个圆被称为蒙日圆.若某双

2

曲线1—y2=i（a>o）对应的蒙日圆方程为/+y2=3,贝|］。=.

【答案】2

【解析】

2

【分析】根据题意写出双曲线^一>2=1（。>0）对应的蒙日圆方程，可得出关于〃的等

式，即可求得正数〃的值.

【详解】由双曲线、—y2=i（a>o）的方程可得从=i,

a~

丫2

由蒙日圆的定义可得双曲线与―y2=］（q>0）对应的蒙日圆方程炉+,2=3,所以

a2—b2-3）即a?—1=3，

可得a=2.

故答案为：2.

14.在1和9之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则中间三个数的积等于.

【答案】27

【解析】

【分析】设公比为0,利用己知条件求出然后根据通项公式可求得答案

【详解】设公比为0，插入的三个数分别为生，4，4，

因为4=1,%=9,所以/=9,得4?=3,

所以生•小，包=%q•a4•=a：（q2）=33=27,

故答案为：27

15.已知等差数列｛凡｝满足4+4=6,请写出一个符合条件的通项公式a,,=.

【答案】3（答案不唯一）

【解析】

【分析】由已知条件结合等差数列的性质可得4=3,则4+3d=3,从而可写出数列的

一个通项公式

【详解】因为｛%｝拈等差数列，且4+4=6,所以2a4=6,a4=3.

当公差为。时，。“=3；公差为1时，an=n-i....

故答案为：3（答案为唯一）

22

16.已知过椭圆E:二+上一=1（机>5）上的动点P作圆C（C为圆心）：

mm-1

V—2x+y2=0的两条切线，切点分别为A,8,若NACB的最小值为胃，则椭圆E的

离心率为.

【答案】g

【解析】

【分析】由椭圆方程和圆的方程可确定椭圆焦点、圆心和半径；当Z4C3最小时，可知

ZACP=|,此时|尸。|0血=2；根据椭圆性质知|PCLn=而一1，解方程可求得〃？，

进而得到离心率.

【详解】由椭圆E方程知其右焦点为(1,0)；由圆C的方程知：圆心为。(1,0),半径为

1；

当NACB最小时，则N4CP最小，即NAC尸=(,此时|PC|最小；

\AC\11.,

此时COSZACP=H=E=二，.=2；

\PC\PC21lmn

P为椭圆右顶点时，|PCL=J/T=2,解得：机=9，

二椭圆E的离心率6=、'=’.

\m3

故答案为：

3

四、解答题：共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.己知等比数列｛4｝满足4=44=8.

(1)求｛凡｝的通项公式；

⑵记｛4｝的前〃项和为S“，证明：-45„,S“+2，6s,用成等差数列.

【答案】（1）a„=2tt

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）设等比数列｛a,,｝的公比为“，根据%=4为=8,求得的值，即可求得

数列｛4｝的通项公式；

,,+|

（2）由等比数列的求和公式求得S»=2-2,得至IJ5„+1=2-2-2,

Sn+2=2"+3-2,化简得到-45„+6s“+1=2s*2，即可求解.

【小问1详解】

解：设等比数列｛%｝的公比为9，

因为%=。1%=8,所以qq2=a；q=8,解得4=夕=2,

所以%=a//T=2x2"T=2",

所以数列｛%｝的通项公式a„=2".

【小问2详解】

2（1-2"）

解：由（1）可得s=△-二2=4----A=2"+i-2，

"1-q1-2

+3

SN=2"+2—2,S,I+2=2"-2,

所以-4（2n+I-2）+6（2n+2-2）-2（2n+3-2）=0,

所以—4S“+6S“M=2S”+2,即一4S“，S“+2,6s“M成等差数列.

18.已知双曲线C的焦点在x轴上，焦距为4,且它的一条渐近线方程为y=

（1）求C的标准方程；

（2）若直线/:y=gx—l与双曲线C交于A,8两点,求|4B|.

2

【答案】（1）土—>2=1

3

（2）10抠

【解析】

22

【分析】（1）焦点在X轴上，设方程为鼻-1=1（4>0力>0）根据题意求出。力即可

a-b-

（2）设点，联立方程组，消元得一元二次方程，由韦达定理，然后利用弦长公式计算即可

【小问1详解】

22

因为焦点在X轴上，设双曲线。的标准方程为鼻-马=1(4>02>0),

ab~

由题意得2c=4,

所以c=2,①

又双曲线C位一条渐近线为y=gx，

所以2=立，②

a3

又储+)2=/,③

联立上述式子解得a=百，b=l,

2

故所求方程为>2=1；

3

【小问2详解】

设A(x，x),B(x2,y2),

1,

y=-x-l

2i

联立〈2,整理得一M+3X—6=。，

1214

---V=1

3

由A=32-4x(L)x(-6)=15>0,

4

所以玉+々=-12,x,x2=-24,

即|Afi|=\J1+k~•J(X]+%)~-4%]x,

-J(-12)2-4X(-24)=10G

19.已知数列｛a“｝满足」•―-H--+-H——=n.

''2462n

(1)求数列｛《,｝的通项公式；

(2)设勿=-----,求数列也｝的前〃项和S“.

a“a“+i

【答案】(1)%=2〃

【解析】

【分析】（1）根据所给式子得到4+&+色+…作差即可得到

4=2〃，（n>2）,再计算力,即可得解；

（2）由（1）可得（4一一二］,利用裂项相消法求和即可.

n+\）

【小问1详解】

解：因为‘--H--H---1——=n,

2462n

所以〃之2时，—+—4--H---F"〃7=n—l,

2462〃-2

两式作差得，/=1,

2n

所以〃22时，an=2n,

又拉=1时，^-=1,得4=2,符合上式,

所以｛q｝的通项公式为4=2〃.

【小问2详解】

,1111111

解：由（1）知2==—x----

cinan+]2〃x2(〃+l)4〃(〃+1)4(〃n+1

n

4(〃+1)

n

即数列｛〃,｝的前〃项和s.

4(〃+1)

20.已知圆C经过点A（0,2）,B（6,4）,且圆心在直线x—3y—4=0上.

（1）求圆。的方程；

（2）若平面上有两个点P（-6,0）,Q（6,0）,点M是圆。上的点且满足胃=2,求点

M的坐标.

【答案】（1）（%-4）2+/=20

104而

33

【解析】

【分析】（1）设出圆心，利用点到直线的距离公式即可求得圆的方程.

（2）根据已知条件求得M满足的方程联立即可求得M的坐标.

【小问1详解】

•.•圆心在直线1-3＞一4=0上，

设圆心C（3a+4,a）,

已知圆。经过点A（（）,2）,8（6,4）,则由|C4|=|CB|,

得J（3a+4y+（a-2）2=J（3a+4-6）2+（如-4『

解得。=0,所以圆心。为（4,0）,

半径r=|C4|=’（4-0）2+（0—2）2=2后,

所以圆C的方程为（工一4『+J=20；

【小问2详解】

设M（x,y）,

•.,加在圆（7上，，（》一4）2+》2=20,

又P（-6,0）,Q（6,0）,

2可得：(x+6)2+y2=4

化简得（x—1。1+v二的,

-2

联立《

(x-10)2+y2

4VH

21...ABC是边长为2的等边三角形，M为AB边上的动点，且MN〃BC,O为MN

的中点，P为8c的中点.将ABC沿MN进行折起，使得平面4WN_L平面3OVM.

（1）求证：MNLAP；

（2）求平面AA/B与平面AMN夹角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析

⑵与

5

【解析】

【分析】（1）根据面面垂直可得AO_L平面8CNM,据此证出A/N_L平面AOP,可得线线

垂直；

（2）以。为原点，o看,0%,&所在方向分别为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系

O-xyz,利用向量法求解即可.

【小问1详解】

连接0P,如图，

由题意可知，MN//BC,且AW=AN,又。为MN的中点，则A0LMN,

而平面4WN_L平面8CNM,且交于MN,AOu平面AMN,所以40_L平面BCMW.

因为OB=OC,所以由直角三角形AOB,AOC全等可得A3=AC,

故4ABe是等腰三角形，P为边上的中点，则OPLBC,

由可知又AOAP=A,AO,APu平面AOP,

则平面AOP,因为APu平面AOP,所以M/工475.

【小问2详解】

以。为原点，血,命,以所在方向分别为％Xz轴正方向建立空间直角坐标系。一肛z.

设|痴|=2|启|(()</1<1)，则°(0,0,0),A/(2,0,0),A(0,(),四)，

3(1,石-&,0),。(-1,石-&,0),

品=(40,-疯)，B=(l,6-&，-&)

,n-AM=0

设平面AA始的法向量为n=(xYz)，则由<-，即

(广'1［加4?=0

人尤一J§2z=0-

(「广，令x=6，则y=-i,z=i,

x+V3(l-A)y->/32z=0

即平面AMB的一个法向量为;=(73,-1,1)，

因为y轴与平面AMN垂直，所以平面AAW的一个法向量为j=(o』,o),

“，tfn-myj5

所以cos<〃,/〃>=Tf=--—)

I«llrnI'

所以平面AMB与平面AMN夹角的余弦值为好.

5

22

22.已知椭圆C：:+二=1Ca>b>0),四点4(2,2),£(0,2),

ab“

^(-2,72),8(2,垃)中恰有三点在椭圆C上.

(1)求椭圆C的方程；

(2)设直线/不经过优点且与椭圆C相交于A,B两点，线段AB的中点为