2022-2023学年苏教版必修第一册三角函数应用讲义

专题7.4三角函数应用

一、考情分析

考点1三角函数模型的建立程序

（1）审题

三角函数应用题的语言形式多为文字语言和图形语言，阅读材料时要读懂题目所反映的

实际问题的背景，领悟其中的数学本质，在此基础上分析出已知什么，求什么，从中提炼出

相应的数学问题.

（2）建模

根据搜集到的数据，找出变化规律，运用已掌握的三角知识、物理知识及其他相关知识

建立关系式，在此基础上将实际问题转化为一个三角函数问题，实现问题的数学化，即建立

三角函数模型.其中要充分利用数形结合的思想以及图形语言和符号语言并用的思维方式.

（3）解模

利用所学的三角函数知识，结合题目的要求，对得到的三角函数模型予以解答，求出结

果.

（4）结论

将所得结论转译成实际问题的答案，应用题不同于单纯的数学问题，既要符合科学，又

要符合实际背景，因此，有时还要对于解出的结果进行检验、评判.

要点诠释：

实际问题的背景往往比较复杂，而且需要综合应用多门学科的知识才能完成，因此，在

应用数学知识解决实际问题时，应当注意从复杂的背景中抽取基本的数学关系，还要调动相

关学科知识来帮助解决问题.

二、题型突破

例1.(1)、(2021•全国•高一课时练习)如图所示，矗立于伦敦泰唔士河畔的伦敦眼是世界

上首座、也曾经是世界最大的观景摩天轮.已知其旋转半径为60m,最高点距地面135m,

运行一周大约30min,某游客在最低点的位置坐上摩天轮，则第lOmin时他距地面大约为

()

A.95mB.100mC.105mD.110m

【答案】C

【分析】

设人在摩天轮上离地面高度(米)与时间(分钟)的函数关系为

/(f)=Asin(of+9)+3(A>0,。>0,0e。2万))，根据已知条件求出/⑺=-60cosf+75,

再求”10)得解.

【详解】

设人在摩天轮上离地面高度(米)与时间(分钟)的函数关系为

f(t)=4sin(初+0)+5(A>0,刃>0,0£[0,2%)),

2471

由题意可知A=60,3=135—60=75,T=——=30,所以。=一，

CD15

gp/(0=60sin^/+^+75.

又因为"0)=135-120=15,

34

解得sing=-l,故9=5-,

所以fQ)=60sin(g+?)+75=-60cos*+75,

所以/(10)=-60xcos^+75=105.

故选：c

（2）、（2021•重庆江津•高一开学考试）如图，某大楼AB旁有一山坡，其斜坡CD的坡度（或

坡比）i=1:2.4,山坡坡面上点E处有一休息亭.某数学兴趣小组测得山坡坡脚C与大楼水平

距离8c=14米，与休息亭距离CE=39米，并从E点测得大楼顶部点A的仰角为56。，点A,

B,C,D,E在同一平面内，则大楼AB的高度约为（）

（结果精确到0.1米；参考数据：sin56°a0.83,cos56°®0.56,tan56°®1.48）

上

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

HC

A.89.0米B.74.2米C.74.0米D.59.2米

【答案】A

【分析】

过点E分别作底面，EFLAB,然后根据题意分别求出ARE?,最后相加即可求出

答案.

【详解】

如图，过点E作底面垂线EE',于尸，

因为斜坡CD的坡度i=1:2.4,所以E?:CF=1:2.4

设£E'=x,CE'=2Ax,在R/ACEF中,CE2=CE'2+EE'2,BP392=x2+（2.4x）2,

解得x=15,则E£=15,CE'=36,

所以CE'+BC=50,

因为在E点测得大楼顶部点A的仰角为56。,tan56°*1.48

Ap

JWWtan56°=—,AF=50x1.48=74

AB=AF+x=15+74=89,

故选：A

A

(3)、(2021・江苏•盐城中学高一月考)三国时期，吴国数学家赵爽绘制"勾股圆方图”证明了

勾股定理(西方称之为“毕达哥拉斯定理").如图，四个完全相同的直角三角形和中间的小正方

形拼接成一个大正方形，角。为直角三角形中的一个锐角，若该勾股圆方图中小正方形的面

积就与大正方形面积邑之比为1:25,则cos(a+=()

A,正B一堂C.迪D.一述

10101010

【答案】D

【分析】

如图。由题意得。E=OCcosa=EC-E，=£>Csina-：Z)C,从而可得sina-cosa=：,给

247

等式两边平方化简后得2sinacosa=『，从而可求出sina+cosa==,而

255

cos(a+¥)=cosacos'-sinasin'=_*(sina+cosa),进而可求得答案

【详解】

由题意得OC=5£〃，因为CE=OCsinc,

DE=DCcosa=EC-EH=DCsina--DC,

所以sina-cosa=(,则l-2sinacosa=£,

24

所以2sinacosa=——,

所以(sina+cosa)~=l+2sinacosa=—,

因为ae(O,X),所以sina+cosa=1,

25

匚34..34

加「以cosa+——=cosacos------sinsin——

I4J44

V2

=------(sina4-cosa)

y/2775/2

----X—=

2510

故选：D

（4）、（2021•福建•模拟预测）（多选题）如图所示，一半径为4米的水轮，水轮圆心。距离

水面2米，已知水轮每60秒逆时针转动一圈，如果当水轮上点尸从水中浮现时（图中点?）

开始计时，则（）.

A.点尸第一次到达最高点需要20秒

B.当水轮转动155秒时，点尸距离水面2米

C.当水轮转动50秒时，点P在水面下方，距离水面2米

D.点P距离水面的高度力（米）与（秒）的函数解析式为〃=4cos[4/+1]+2

【答案】ABC

【分析】

根据题意求出点P距离水面的高度/?（米）和时间（秒）的函数解析式为

〃=4sin（gf—31+2,结合选项依次判断即可.

[JUo7

【详解】

设点尸距离水面的高度〃（米）和时间（秒）的函数解析式为

h=Asin（（yf+e）+A>0,<y>0,|9|<二],

=A+B=6A=4

%,=A-8=-28=2

2兀7T

由题意得:7=—=60解得，CD=—=一

T30

/?（0）=Asin（（y-O+^）+B=0花

(p=--

6

故/2=4sin（2r-1]+2.故。错误；

对于4令/?=6,即人=4sin（Wf-Z]+2,解得：/=20,故A正确；

（3Uo）

对于8,令1=155,代入〃=4sin（gf-2]+2,解得：h=2,故B正确;

<3。6）

对于C,令f=50,代入a=4sin（白f-g]+2,解得：h=-2,故C正确.

（306）

故选:ABC

【变式训练1-1】、（2021•江苏•高一专题练习）某时钟的秒针端点A到中心点。的距离为5cm,

秒针均匀地绕点。旋转，当时间f=0时，点A与钟面上标12的点8重合，将A、8两点的

距离”（cm）表示成:（s）的函数，则〃=,其中止[0,60].

【答案】lOsin^

60

【分析】

设函数解析式为"=44"曰+9），由题意代值可得解.

【详解】

设函数解析式为”=Asin（a+e）,

由题意易知4=10,

当f=0时，"=0,得9=0；

当f=30时，d=10,

可得3=二，所以d=10sin包，

6060

故答案为：lOsin更

60

【变式训练1-2】、（2020•江苏省平潮高级中学高一月考）筒车是我国古代发明的一种水利灌

溉工具，明朝科学家徐光启在农政全书中用图画1描绘了筒车的工作原理.假定在水流稳定

的情况下，简车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.如图2,将筒车抽象为一个几何图形圆,

筒车的半径为4m,筒车转轮的中心。到水面的距离为2m,筒车每分钟沿逆时针方向转动

4圈.规定：盛水筒M对应的点P从水中浮现即月时的位置时开始计算时间，且以水轮的圆

心。为坐标原点，过点。的水平直线为x轴建立平面直角坐标系直投设盛水筒M从点月运

动到点P时所经过的时间为f（单位：S）,则点P第一次到达最高点需要的时间为（）

图1图2

13

A.7B.—sC.6D.5

2

【答案】D

【分析】

设点P离水面的高度为/Q）=Asin（由+S）,根据题意求出A①夕，再令/"）=4可求出结果.

【详解】

设点尸离水面的高度为了⑺=Asin（of+8），

依题意可得A=4,。=驾=与，S

60156

所以〃f）=4sin（|gf-m）,

156

令/Q）=4sin（工f-g）=4,得sin（§f-£）=l,得名.一g=2Z4+g,keZ,

1561561562

得，=15攵+5,keZ,

因为点P第一次到达最高点，所以（方’，

15

所以左=0,f=5s.

故选：D

【变式训练1-3】、(2021•浙江•高一期末)如图，"赵爽弦图"是由四个全等的直角三角形和一

个小正方形拼成的一个大正方形.设大正方形ABCD的面积为耳，小正方形EFG”的面积为

S.u,

S2,且不=5,则tanNA£)E=()

C.2D.3

【答案】B

【分析】

设大正方形的边长为正a,则由已知条件可得小正方形的边长为“，设AE为x,在在

心中，由勾股定理得，(、万a)2=f+(x+a)2,可求得x=〃，所以

..AEa1

tanZADE==——=—

DE2a2

【详解】

解：设大正方形的边长为其，

因为寸=5,所以==5,得S,=/,

所以小正方形的边长为。，

所以AB=BC=CD=DA=后,EF=FG=GH=HE=a,

设4E为x,])^DH=CG=AE=BF=x,

在RzZVLDE中，由勾股定理得，AD2=AE2+DE2

所以(石〃)2=/+(%+〃)2,

解得％=。或1=-勿(舍去)，

AFfi1

所以tanNAOE=—=-=-

DE2a2

故选：B

【变式训练1-4】、(2021•全国•高一专题练习)某城市一年中12个月的平均气温与月份的关

系可近似地用三角函数丫=。+AcosJ(x-6)(x=l,2,3,…/2)来表示，已知6月份的月平均

O

气温最高为28℃,12月份的月平均气温最低为18℃,则10月份的平均气温值为.

【答案】20.5

【分析】

7T

由题意得28=a+A,18=a-A,解得。=23,A=5,故y=23+5cos—(x-6),再计算x=10

o_

时的函数值即可.

【详解】

71

解：据题意得28=a+A,18=n+Acos-(12-6)=a-A

6

解得。=23,A=5

所以y=23+5cos-(x-6)

_6_

令x=10得y=23+5cos-(10-6)=23+5cos—=20.5

6J3

故答案为:20.5

例2.(2020.上海静安.高一期末)如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足

(7t、

函数y=3sin—x+(p+k.

、6>

(1)求女的值；

(2)求这段时间水深(单位：m)的最大值.

【答案】（I）k=5；（2）这段时间水深的最大值是8m.

【解析】

(1)图知：ymin=2,因为>min=-3+Z,

所以一3+%=2,解得：k=5.

⑵>皿=3+&=3+5=8-

所以，这段时间水深的最大值是8根.

例3.（2021•江苏•高一课时练习）下表是某地一年中10d（天）的白昼时间.

日期1月1日2月28日3月21日4月27日5月6日

白昼时间/h5.5910.2312.3816.397.26

日期6月21日8月14日9月23日10月25日11月21日

白昼时间/h19.4016.3412.018.486.13

（1）以日期在365d（天）中的位置序号为横坐标，白昼时间为纵坐标，描出这些数据的散

点图；

（2）选用一个三角函数来近似描述白昼时间与日期序号之间的函数关系；

（3）用（2）中的函数模型估计该地7月8日的白昼时间.

【答案】⑴散点图见解析；（2）y=6.91sin（盘x-琮1+12.5；⑶19.12〃

/3U）

【分析】

（1）根据所给数据将日期转化为实数，画出散点图；

（2）不妨设白昼时间与日期序号之间的函数关系是y=Asin®x+0+6,依题意求出A",

",（P,即可得到函数解析式；

（3）易知7月8日时x=189,代入（2）中函数解析式，计算可得；

【详解】

解：（1）根据已知横坐标依次为1,59,80,117,172,226,266,298,325,散点图如下所示：

tfk

23456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536

（2）不妨设白昼时间与日期序号之间的函数关系是y=Asin（s+*）+6,则

A=^^“6.9l,,19.4+5.59…>不27r.2万口「

b=----------«12.5,T=——=365,所以G=—,即

220)365

24+12.5,且当犬=172时二xl72+e=1，解得夕=-甯，所以

y=6.91sin---X+69

365

273231

y=6.91sin365A-730+12.5

(3)易知7月8日时x=189,所以y=6.9Isin(2乂189-要1+12.5之1912

\365730)

故该地7月8日的白昼时间约为19.12〃

例4.（2021•贵州•兴仁市凤凰中学高一期末）某港口水深y（米）是时间t（04S24,单位：小

时）的函数，下面是水深数据：

t（小时）03