2022-2023学年苏教版必修第一册充分条件、必要条件、充要条件复习讲义

专题2.2充分条件、必要条件、充要条件

一、考情分析

考点梳理

1.充分条件、必要条件与充要条件的概念

若Pf，则p是q的充分条件，q是p的必要条件

P是q的充分不必要条件PW且q#>

P是q的必要不充分条件p彻且q彳

P是q的充要条件PF

P是q的既不充分也不必要条件p用且q邦

【特别提醒】

若条件p，q以集合的形式出现，即4=仅历（刈｝,B=｛x\q（x）｝,则由AGB可得，p是q

的充分条件，请写出集合A，8的其他关系对应的条件p,q的关系.

①若4室8,则p是q的充分不必要条件；

②若A3B,则p是q的必要条件；

③若AMB,则P是q的必要不充分条件；

④若A=8,则p是q的充要条件；

⑤若A田且A。，则p是q的既不充分也不必要条件.

三、题型突破

重难点题型突破1充分、必要、充要条件的判断

例1.（1）、（2019•北京•昌平一中高二期中）"x<l"是"x<2"的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】

根据充分必要条件的定义进行判断即可.

【详解】

当x<l时，x<2成立，即充分性成立；

当x<2时，x<l不一定成立，即必要性不成立，

所以x<l是xv2的充分不必要条件.

故选：A.

（2）、（2021•福建•厦门一中高一竞赛）已知a,b>0,则“当41"是""Ml"的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.不充分不必要条件

【答案】B

【分析】

分充分性和必要性分别讨论：

充分性：取特殊值。=（,力=10判断；

必要性：利用基本不等式进行证明.

【详解】

充分性：取”=4。=10,满足当41,但是述=2,不满足"41.故充分性不满足；

5a+b

必要性："41=1为45焉=而41.故必要性满足.

故“当《1"是"abV1"的必要非充分条件.

a+b

故选：B

（3）、（2021•广东•中山中学高一月考）（多选题）设xwR,则x>2的一个必要不充分条件

可以是（）

A.x>lB.x>2C.x>2D.x>3

【答案】AC

【分析】

根据充分条件、必要条件的判定方法，结合选项，即可求解.

【详解】

由x>2,可得构成集合M={x|x>2},

结合选项，可得集合{X|x>l},{x|xN2}均真包含例，

所以x>l与是x>2的一个必要不充分条件.

故选：AC.

(4)、(2020•江苏海安•高二期中)(多选题)下列叙述中不正确的是

A."〃<1"是"方程/+x+a=0有一个正根和一个负根"的必要不充分条件

B.若R,则“加>cb2"的充要条件是"a>c"

C."a>l"是":<1"的充分不必要条件

D.若。力,cwR,则“加+法+。20对xeR恒成立"的充要条件是“6-4改40"

【答案】BD

【分析】

对A,B,C,D四个选项，根据相关知识逐个判断是否正确即可.

【详解】

对A,令/(x)=x2+x+a,方程X?+》+4=。有―•个正根和一•个负根，则/(0)<0,则有

是"方程/+》+〃=0有一个正根和一个负根”的必要不充分条件，正确；

对B,当6=0时，若"a>c"成立，而ab2=0=c/,充分性不成立，错误；

对或〃<0,，是",<1"的充分不必要条件,正确；

aaa

对D,ar2+6x+cN0对xeR恒成立可以推出a>0且〃-4acW0,但是b?-4acW0,没有a>0

这个条件时，不可以推出ar2+bx+c20,错误.

故选：BD.

【点睛】

本题主要考查充要条件，充分不必要条件，必要不充分条件的判断，涉及一元二次方程的根的

分布,不等式的性质，以及一元二次不等式恒成立等价条件的应用,属于基础题.

【变式训练1-1】、(2021・广东•茂名市电白区水东中学高一月考)已知x是实数，则"x>2"

是"丁+4%-12>0"的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】

由d+4x-12>0得x>2或x<Y,再利用充分不必要条件定义判断得解.

【详解】

解：由*2+4x-12>0得（x-2）（x+6）>0得x>2或

因为当x>2时，x>2或x<-6成立，

当x>2或x<-6时，x>2不一定成立，

所以"x>2"是"/+4x-12>0"的的充分不必要条件，

故选：A.

【变式训练1-2】、（2020•江苏•吴县中学高二月考）下列是"卜-成立的必要不充分条件

的是（）

11cl1

A.—<x<lB.—<xv4C.-3vx<—D.—<x<0

2222

【答案】B

【分析】

求出不等式的解集，然后根据必要不充分条件的定义分析可得.

【详解】

|x-l|<l«-l<x-l<l«0<x<2,分析各选项，只有B是必要不充分条件.

故选：B.

【变式训练1-3】、（2021•江苏南京•高二期末）己知“，bwR,则“a+b<0"是"。|同+46|<0"

的（）

A.必要不充分条件B.充分不必要条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】

从充分性和必要性两个方面，分。<0/<0和“<0*20讨论，分别求解证明即可.

【详解】

解：当a<0,b<0,a+b<0时，此时4时+百可=-/一万?<0成立，

当a<0,b々0,a+b<0时，a^+h^^-a2+h2=（a+A>）（A»-«）<0

即a+匕<0可以推出a|a|+臼4<0,

反之，若〃同+用卜0,则中至少有一个负数，

若均为负数，必然有a+力<0,

若a<O,ON0,贝lj44+6网=/_/=(«+/>)(/>-«)<0,

因为6-。>0,则必有a+Z><0,

所以44+目可<0可以推出a+b<0,

故“。+6<0”是"。回+用|<0"的充分必要条件.

故选：C.

【点睛】

本题考查充分性和必要性的判断，考查学生分类讨论的思想，是中档题.

【变式训练1-4】、(2021・江苏•高一单元测试)下列命题中：①若a>b,c<0,则£>£;

ab

②是"必〉1"的充分不必要条件；③若〃<0,则。+，4-2；④是

a

"ae>秘2〃的必要不充分条件，上述命题中正确命题的序号.

【答案】②③④

【分析】

取特殊值可判断①；由基本不等式可判断③；由充分条件必要条件的定义判断②④.

【详解】

对于①，当。=1力=-l,c=-l时，-<7,故①错误；

对于②，若则。6>1,故充分性成立；若而>1,取。=-2,匕=-2,满足必>1,

但不满足力>1,故必要性不成立，所以力>1"是"而>1"的充分不必要条件，故

②正确；

对于③，若。<0,则一。>0,则a+1=-1-ad■-—<-2^-a--=-2,故③正确；

对于④，若a>b,Qc2>0.则ac2之be',故充分性不成立；若就2>秘2,贝Uc?〉。，所以

a>b,故必要性成立，即"〃>»'是"/>而”的必要不充分条件，故④正确.

故答案为：②③④

【点睛】

本题考查命题真假的判断，其中涉及不等式性质，基本不等式，充分必要条件的判断，属于

基础题.

重难点题型突破2充分、必要、充要条件的应用

例2.(1)、(2021•江苏•沐阳如东中学高三月考)己知p：一二21,q:\x-^<2,若。是《的

充分不必要条件，则实数”的取值范围为()

A.(-oo,4]B.[1,4]C.(1,4]D.(1,4)

【答案】C

【分析】

求出。、夕中的不等式，根据。是《的充分不必要条件可得出关于实数。的不等式组，由此

可解得实数”的取值范围.

【详解】

I1尤一3

解不等式即1—、=土=<0,解得2<x43,

x-2x-2x-2

解不等式|x-a|<2,即-2<x-a<2,解得a-2cxea+2,

由于P是夕的充分不必要条件，贝1(2,3](〃-2,“+2),所以]解得1W4.

因此，实数。的取值范围是。,4].

故选：C.

【点睛】

本题考查利用充分不必要条件求参数，同时也考查r分式不等式和绝对值不等式的求解，考

查计算能力，属于中等题.

—1

(2)、(2021•江苏•高一课时练习)设p:——<1,q:x2-(2a+l)x+a(a+l)v0,若F是

x-2

T的必要不充分条件，则实数a的取值范围.

【答案】--A

【分析】

结合不等式的性质求出。，夕的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义转化为集合关系

进行求解即可.

【详解】

&3x-l口3%一1.2x4-1,八

解：由一-<1W---1=―-<o

工一2x—2x—2

解得一7Kx<2，

2

^<x<2

设A={x

由x2-(2a+l)%+a(a+l)<0得(x-〃)[%-(〃+1)]<0

解得a<x<a+l,

设B=ix\a<x<a+]\=(a,a+l).

F是f的必要不充分条件，

・♦・〃是q的必要不充分条件，

BcA,即(a,a+l)q-p2j

1

a>—i

.J2,解得-

a+\<22

•・・实数。的取值范围为-g」

故答案为：-g」

【点睛】

本题主要考查充分条件和必要条件的应用，求出?，夕的等价条件，结合充分条件和必要条

件与集合关系进行转化是解决本题的关键.

【变式训练2-1】、(2020江苏•高一课时练习)若产-3》+2<0是(犬一，祖x—2加—1)<0的充

分不必要条件，则实数机的取值范围是.

【答案】pl

【分析】

解不等式f-3x+2<0,然后对〃，与2m+1的大小关系进行分类讨论，结合已知条件可得出

关于实数”?的不等式组，由此可解得实数，”的取值范围.

【详解】

解不等式“2_3工+2<0,解得1VXV2,

解方不呈——1)=。,解得或x=2/%+l.

①当帆=2m+1时，叩当机=一1时，不等式(工一机)(％-2/-1)<0即为(工+1)2<0,

该不等式的解集为0,不合乎题意;

②当2，〃+1时，即当〃?<-1H寸，解不等式（x-〃?）（x-2加-1）<0可得2"+1<x<

由于幺一3工+2<0是（X—，祖x—2加-1）<0的充分不必要条件，则（1,2）（2加+1,加）,

2tn+1<1

可得,n>2’此时修；

③当加<2m+1时，即当机>-1时，解不等式<0可得〃z<x<2〃?+l.

由于Y-3x+2<0是（x-，〃）（x-2〃?-l）<0的充分不必要条件，则（1,2）（见2〃?+1）,

m<1

可得

2m+1>22

检验：当机=；时，则有（1,2）（别，合乎题意;

当〃?=1时，则有（1,2）（1,3）,合乎题意.

综上所述，实数〃，的取值范围是pl

故答案为：5」.

【点睛】

结论点睛：本题考查利用充分不必要条件求参数，一般可根据如下规则求解:

（1）若。是夕的必要不充分条件，则q对应集合是。对应集合的真子集；

（2）。是夕的充分不必要条件，则。对应集合是夕对应集合的真子集；

（3）夕是夕的充分必要条件，则。对应集合与q对应集合相等；

（4）p是夕的既不充分又不必要条件，则q对应集合与0对应集合互不包含.

【变式训练2-2】、（2021•江苏•高一专题练习）已知p：4x-m<0,9:（X-2）（X+1）<0,若p

是q的必要不充分条件，则用的取值范围为（）

A.m>SB.〃？>8C.zn>-4D.m>-4

【答案】B

【分析】

将命题P,夕化简，利用集合法列出不等式，即可求出〃?的取值范围.

【详解】

由4x—机vO,得x<一,所以〃：不<一,

44

由(x-2)(x+l)W。，得一1<XW2,所以<7：TWXK2,

若p是q的必要不充分条件，所以［T2］是,8彳)的真子集，

所以”>2,解得加>8.

4

故选：B

【点睛】

本题主要考查已知必要不充分条件求参数范围，关键是将必要不充分条件正确的转化为集合

之间的真包含关系，属于中档题.

【变式训练2-3】、(2021•江苏•高一专题练习)(多选题)已知关于X的方程

丁+(帆—3■+加=0,下列结论正确的是()

A.方程d+(m-3)x+〃?=0有实数根的充要条件是，"€{刈〃?<1或加>9}

B.方程V+(m-3)x+，"=0有一正一负根的充要条件是机€{词0<加41}

C.方程/+(〃7-3次+〃?=0有两正实数根的充要条件是机€{〃?|0<机41}

D.方程V+(相-3)x+相=0无实数根的必要条件是me{m\m>1}

【答案】CD

【分析】

根据充分条件和必要条件的定义对选项逐一判断即可.

【详解】

在A中，二次方程有实数根，等价于判别式A=(〃Z-3)2-4帆40,解得加£1或机29,即二

次方程有实数根的充要条件是机e{川，*V1或机29},故A错误；

在B中，二次方程有一正一负根，等价于-4%>0,解得加<o,

方程有一正一负根的充要条件是机W{同〃?<0},故B错误；

A=(/n-3)--4m>0

在C中，方程有两正实数根，等价于■3>0,解得0<的41,故方程有两正实

m>0,

数根的充要条件是〃"{，"0<胆(|},故C正确;

在D中，方程无实数根，等价于△=(，〃-3)2-4〃?<0得1<m<9,

而{〃小<相<9}={加|〃?>1},故加€{川/〃>1}是方程无实数根的必要条件，故D正确;

故选：CD.

【点睛】

结论点睛：关于充分条件和必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：

(1)若。是q的充分条件，则。可推出即p对应集合是夕对应集合的子集；

(2)若?是q的必要条件，则q可推出?，即夕对应集合是"对应集合的子集；

(3)若P是夕的充要条件，则p,q可互推，即。对应集合与4对应集合相等.

例3.(2021•江苏•高一单元测试)已知集合4={口《2—1<*</+1},B={X|X2<4}.

(1)当，〃=2时，求ADBACB；

(2)若"xeA"是成立的充分不必要条件，求实数m的取值范围.

【答案】(1)(-2,5),(1,2)；(2)

【分析】

(1)当〃?=2时，A={x|l<x<5},B={x|-2<x<2},根据交集并集运算法则即可得解;

(2)根据A是8的真子集，建立不等关系求解参数范围.

【详解】

(1)当〃?=2时，A={x[l<xv5},B-{x\-2<x<2},

AuB=(-2,5),AnB=(l,2)；

(2)若"xeA"是"xe8”成立的充分不必要条件，则A是8的真子集，

+\

，"-1N疗+1或’m-l>-2

m2+\<2

解得：-l<m<l,因为m=-l时为充要条件，不合题意,

所以一1

【变式训练3-1】、(2021•江苏•高一单元测试)己知集合4=卜岛>1集合

B=|x|.r2+2x-a2+2a<0,ae.

(1)求集合A;

(2)若是xeA的必要条件，求实数。的取值范围.

【答案】(1)A=(-l,3)；(2)(3,—3]U[5.”).