举一反三系列高考高中数学同步及复习资料人教A版必修1专题5.15 三角函数的图象与性质的综合应用大题专项训练（30道）（含答案及解析）

专题5.15三角函数的图象与性质的综合应用大题专项训练（30道）【人教A版2019必修第一册】姓名：___________班级：___________考号：___________1．（2021·山西·高一阶段练习）已知函数f(1)求函数最小正周期(2)当x∈0,π22．（2022·湖北·高一阶段练习）已知函数fx=2sin(1)求函数fx(2)若函数gx=fx−m在3．（2022·黑龙江·高三阶段练习）已知函数fx(1)求函数fx的最小值及取得最小值时x(2)求函数fx4．（2022·安徽·高三阶段练习）已知函数fx=-2(1)求fx(2)求fx在区间0,5．（2022·山东·高三期中）函数fx(1)求fx(2)求fx在0,6．（2022·广东·高三阶段练习）已知函数fx(1)求fx(2)求函数y=2fx−7．（2022·湖北·高二阶段练习）设函数fx=sinωx−φω>0,−(1)求ω和φ的值；(2)求函数fx8．（2022·山东·高一阶段练习）已知函数f(x)=2sin(ωx+π6)−1(1)求函数f(x)的值域；(2)若函数f(x)的图象与直线y=−1的两个相邻交点间的距离为π2，求函数f(x)9．（2022·陕西·高三阶段练习（文））已知函数fx=4sinωx+φ（ω>0，φ<(1)求fx(2)求fx在−10．（2022·全国·高一课时练习）设函数fx(1)当a=1时，求fx(2)若x∈0,π2时，f11．（2022·贵州·高二阶段练习）若函数fx(1)求函数fx(2)当x∈−π212．（2022·河南省模拟预测（理））已知函数f(x)=sin(x+φ)φ∈−π(1)求fx(2)对于任意x∈R，不等式fx−113．（2022·浙江省高一期末）某同学用“五点法”作函数f(x)=Asinωx+φ（A>0，ω>0，ωx+φ0ππ3π2πxπ7πA00−2(1)根据上表数据，直接写出函数fx的解析式，并求函数的最小正周期和fx在(2)求fx在区间−14．（2022·安徽省高二开学考试）已知函数fx(1)求函数fx(2)令gx=fx+4cos15．（2022·新疆·高一期末）已知函数f(x)=sin(2x+π(1)求fx(2)x∈[0,π2],g(x)=f(x)−m16．（2022·全国·高一课时练习）已知函数g(x)=cos4x+5π(1)求gx(2)若关于x的方程g2(x)+(2−m)g(x)+3−m=0有解，求实数17．（2022·宁夏·高三开学考试（文））已知函数fx(1)求fx(2)先将fx的图像纵坐标缩短到原来的12倍，再向右平移π12个单位后得到gx的图像，求函数18．（2022·全国·高一课时练习）已知函数f(x)=a−bcos2x+π6(b>0)(1)求a，b的值；(2)求函数g(x)=−4asinbx−π19．（2022·全国·高一课时练习）设函数fx=Asin2x+φA>0,0<φ<π2，函数f(1)求函数fx(2)若对任意的x∈0,π4，不等式f20．（2022·湖南怀化·高二开学考试）已知函数fx=sin(1)若fx的最小正周期为2π，求f(2)若x=−π4是fx的零点，是否存在实数ω，使得fx在21．（2022·全国·高一课时练习）已知函数fx(1)若b>0，函数fx的最大值为0，最小值为−6，求a，b(2)当a=2时，函数gx=fx22．（2022·全国·高一课时练习）已知函数fx=sin2ωx+π6图象的一个对称中心为(1)求函数fx(2)已知函数gx=cos(x+π3)−m23．（2022·江西省高一期中）已知函数f(x)=sin(π(1)求函数f(x)的单调递减区间；(2)求函数g(x)的最大值、最小值及对应的x值的集合；(3)若对任意x1∈[−π6,π324．（2022·全国·高一单元测试）已知函数fx=2sinx+π3，且函数(1)求函数gx(2)若存在x∈0,π2，使等式g(3)若当x∈−π3,225．（2022·全国·高一单元测试）已知函数f(x)=2sin(1)求函数fx(2)若x1,x2是函数26．（2022·全国·高一单元测试）已知函数f(x)=cos(π(1)求φ的值；(2)若函数f(x)在(0,3)上单调递减，试求当ω取最小值时，f(1)+f(2)+f(3)+⋅⋅⋅+f(2022)的值．27．（2022·全国·高一单元测试）设x∈R，函数f(x)=cos(ωx+φ)ω>0,−π(1)求ω和φ的值；(2)在给定坐标系中作出函数fx在0,π(3)若fx>228．（2022·上海·高三期中）已知函数fx=sin(1)当ω=2时，求fx在0,(2)若至少存在三个x0∈(0,π3)(3)若fx在π2,π上是增函数，且存在m∈π29．（2022·全国·高一课时练习）已知下列三个条件：①函数fx−π3为奇函数；②当x=π3时，fx已知函数fx(1)求函数fx(2)求函数fx在0,230．（2022·全国·高一课时练习）已知函数f(x)=sin(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数f(x)在−π请在①函数f(x)的图象关于直线对称，②函数y=fx−π12的图象关于原点对称，③函数f(x)在−注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．专题5.15三角函数的图象与性质的综合应用大题专项训练（30道）【人教A版2019必修第一册】姓名：___________班级：___________考号：___________1．（2021·山西·高一阶段练习）已知函数f(1)求函数最小正周期(2)当x∈0,π2【解题思路】（1）直接根据周期公式计算即可.（2）计算得到−π【解答过程】（1）fx=sin（2）x∈0,π2所以当2x−π6=π22．（2022·湖北·高一阶段练习）已知函数fx=2sin(1)求函数fx(2)若函数gx=fx−m在【解题思路】（1）由最小正周期求得ω，函数式化简后由正弦函数的单调性求得结论；（2）转化为求f(x)在[0,π【解答过程】（1）因为函数fx=2sin所以T=2πω=π，由于ω<0所以fx所以函数fx单调递增区间，只需求函数y=2令π2+2kπ⩽2x−π所以函数fx单调递增区间为π（2）因为函数gx=fx所以函数y=fx的图像与直线y=m在0,因为x∈0,故函数fx在区间0,π所以当m∈−2,1时，函数y=fx的图像与直线y=m在所以当m∈−2,1时，函数gx=f3．（2022·黑龙江·高三阶段练习）已知函数fx(1)求函数fx的最小值及取得最小值时x(2)求函数fx【解题思路】（1）由条件利用余弦函数的定义域和值域，求得函数fx的最小值及取得最值时相应的x（2）令2kπ−π≤2x−π【解答过程】（1）当cos2x−π6=1时，此时2x−π6=2k所以函数fx的最小值为−1，x的取值集合为x（2）由2kπ可得kπ所以fx单调减区间k4．（2022·安徽·高三阶段练习）已知函数fx=-2(1)求fx(2)求fx在区间0,【解题思路】（1）先利用两角和的正弦公式和二倍角公式转化为f(（2）根据2x-π4∈【解答过程】（1）f=2sin2x所以fx的最小正周期T（2）由-π2+2得-π8+所以fx在区间0,3π8又f0=-2，f3π故函数fx在区间0,3π4上的最大值为25．（2022·山东·高三期中）函数fx(1)求fx(2)求fx在0,【解题思路】（2）由已知，根据题意，对原函数化简，得到函数fx=2cos2x-2（2）由已知，可令t=2x+π3，根据x的范围，求解出t【解答过程】（1）f=2cos2-π+2kπ≤2x-2π3+∴fx的单调增区间为-2π3（2）因为x∈0,π2，令∴cost∈-1,∴fx6．（2022·广东·高三阶段练习）已知函数fx(1)求fx(2)求函数y=2fx−【解题思路】（1）利用已知条件求出函数fx（2）由（1）得函数y=2cos(2x-2π【解答过程】（1）解：由图可知A=1，且T所以ω=2所以f(将点(π12,1)代入解析式可得即φ=-π6+2k则f所以fx的单调减区间满足解得：π则fx的单调减区间为：（2）解：由（1）得：y因为x∈0,故当x=0时，ymin=-1；当所以函数y在0,π2上的最大值为2，最小值为7．（2022·湖北·高二阶段练习）设函数fx=sinωx−φω>0,−(1)求ω和φ的值；(2)求函数fx【解题思路】（1）由最小正周期可求得ω，根据sin2π3−φ（2）由（1）可得fx【解答过程】（1）∵fx的最小正周期T=2πω∴fπ3=sin2π∴2π3−φ=（2）由（1）得：fx令−π2+2kπ≤2x+∴fx的单调增区间为−8．（2022·山东·高一阶段练习）已知函数f(x)=2sin(ωx+π6)−1(1)求函数f(x)的值域；(2)若函数f(x)的图象与直线y=−1的两个相邻交点间的距离为π2，求函数f(x)【解题思路】（1）根据正弦型函数的有界性，即可得到函数f(x)的值域；（2）根据相邻交点间的距离确定ω的值，进而利用整体代换法求单调区间即可.【解答过程】（1）由−1⩽sin(ωx+可知函数f(x)的值域为[−3，1]；（2）函数f(x)的图象与直线y=−1的两个相邻交点间的距离为π2即y=2sin(ωx+π6)所以y=f(x)的最小正周期为π，又由ω>0，得2πω=π，即得于是有f(x)=2sin再由2kπ−π解得kπ−π所以y=f(x)的单调增区间为[kπ−π9．（2022·陕西·高三阶段练习（文））已知函数fx=4sinωx+φ（ω>0，φ<(1)求fx(2)求fx在−【解题思路】（1）先求出周期，由此求出ω的值，利用对称轴方程求出φ，即可得到函数的解析式；（2）根据自变量的范围求得4x−π【解答过程】（1）因为函数f(x)图象的对称轴与相邻对称中心之间的距离为π8所以T=π2，故又f(x)的图象的一条对称轴方程为x=−π12，则4×−π12+φ=π又φ<π2故f(x)=4sin（2）因为x∈−π24所以sin4x−π6故fx在−π2410．（2022·全国·高一课时练习）设函数fx(1)当a=1时，求fx(2)若x∈0,π2时，f【解题思路】（1）代入a=1，整体代入求解余弦型函数的单调递减区间即可；（2）先计算x∈0,π2时，cos2x+π4∈【解答过程】（1）解：当a=1时，fx令2kπ≤2x+π4≤π+2kπ故fx的减区间为−（2）解：当x∈0,π2时，2x+当a>0时，cos2x+π4=2当a<0时，cos2x+π4=−1时，综上，a=−1或a=211．（2022·贵州·高二阶段练习）若函数fx(1)求函数fx(2)当x∈−π2【解题思路】（1）先利用图像得到A=2，代入(0,1)可求得φ=π6，再代入(3π4,−（2）根据自变量的范围,结合正弦函数的图像与性质,即可求得fx【解答过程】（1）因为A>0,故由图像可知A=2,又因为图像过点(0,1)，故2sinφ=1，即因为φ<π2，所以φ=因为图像过点(3π4即sinω×3π4解得ω=−2因为T=2πω>3π4所以f（2）因为x∈−π2所以sin2x+π6故fx的值域为−2,112．（2022·河南省模拟预测（理））已知函数f(x)=sin(x+φ)φ∈−π(1)求fx(2)对于任意x∈R，不等式fx−1【解题思路】（1）根据fπ3+x=f−x（2）根据函数fx的解析式求出fx−1【解答过程】（1）因为对任意x∈R都有fπ3+x=f−x，所以x=π6是函数fx的一条对称轴，f（2）因为对任意x∈R，不等式fx−1因为fx=sinx+π3，13．（2022·浙江省高一期末）某同学用“五点法”作函数f(x)=Asinωx+φ（A>0，ω>0，ωx+φ0ππ3π2πxπ7πA00−2(1)根据上表数据，直接写出函数fx的解析式，并求函数的最小正周期和fx在(2)求fx在区间−【解题思路】（1）直接利用五点法的应用求出函数的关系式；（2）利用（1）的结论,进一步利用函数的定义域求出函数的值域,进一步求出最大值和最小值.【解答过程】（1）根据五点法的表格，所以f所以fx的最小正周期令π2+2kπ≤2x+解之得kπ+又x∈0,2π，所以π12即fx在0,2π上的单调递减区间为π12（2）由于−所以−π≤2x+所以−1≤所以−2≤2当2x+π3=−π2即x=−当2x+π3=π314．（2022·安徽省高二开学考试）已知函数fx(1)求函数fx(2)令gx=fx+4cos【解题思路】（1）先根据图象最高点求出A，再根据图象所过点求出φ,ω，可得函数解析式；（2）先化简gx，再求解g【解答过程】（1）由图象易求A=2.将点0,1代入y=2sinωx+φ中，得因为φ<π2又因为11π12,0故fx（2）g=3因为x∈0,π2，所以2x∈于是gx的最大值是23+2故函数gx的值域是−1,215．（2022·新疆·高一期末）已知函数f(x)=sin(2x+π(1)求fx(2)x∈[0,π2],g(x)=f(x)−m【解题思路】（1）根据正弦函数的最小正周期公式，求得答案；（2）将函数的零点问题转化为方程的解的问题，结合正弦函数的性质即可求得答案.【解答过程】（1）由于f(x)=sin(2x+π（2）因为x∈[0,π故x∈[0,π即m=sin因为x∈[0,π2],2x+故−216．（2022·全国·高一课时练习）已知函数g(x)=cos4x+5π(1)求gx(2)若关于x的方程g2(x)+(2−m)g(x)+3−m=0有解，求实数【解题思路】（1）由x∈−π8（2）根据题意可得m=g2(x)+2g(x)+3g(x)+1，令【解答过程】（1）当x∈−π8所以cos4x+所以g(x)=cos故g(x)的值域为0,3（2）由g2(x)+(2−m)g(x)+3−m=0，得g2因为g(x)∈0,32，所以g(x)+1≠0，所以m令s=g(x)+1，则m=s2+2由对勾函数的性质知m=s+2s在[1,2所以当s=2时，m取得最小值2因为当s=1时，m=3，当s=52时，所以m的最大值为3310所以m=s+2因此m的取值范围为2217．（2022·宁夏·高三开学考试（文））已知函数fx(1)求fx(2)先将fx的图像纵坐标缩短到原来的12倍，再向右平移π12个单位后得到gx的图像，求函数【解题思路】(1)由函数的图像的顶点坐标求出A,由周期求出ω,由五点法作图求出的值,可得fx(2)由题意利用函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图像变换规律，求得【解答过程】（1）解：根据函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0，可得A=2，34⋅2π再根据五点法作图，2×5π12+φ=π2根据图像可得，−π3,0故函数的对称中心为kπ2−π故答案为：f(x)=2sin2x−π3，对称中心为（2）解：先将f(x)的图像纵坐标缩短到原来的12，可得y=sin2x−π3即g(x)=−cos2x，令2kπ−π≤2x≤2kπ，k∈Z，解得kπ−π可得g(x)的减区间为kπ−π2,kπ，k∈Z可得g(x)在π12,3π18．（2022·全国·高一课时练习）已知函数f(x)=a−bcos2x+π6(b>0)(1)求a，b的值；(2)求函数g(x)=−4asinbx−π【解题思路】（1）根据余弦函数的范围易得f(x)max与（2）根据−1≤sinx−π3≤1易得g(x)【解答过程】（1）由题意，易知−1≤cos∵b>0，∴fxmax=a+b=3（2）由（1）知a=12，b=1，∴∵−1≤sinx−π3∴g(x)的最小值为−2，此时sinx−π3=1，则x−π∴x=2kπ+5π6，故g(x)小值时x的取值集合为xx=2kπ+19．（2022·全国·高一课时练习）设函数fx=Asin2x+φA>0,0<φ<π2，函数f(1)求函数fx(2)若对任意的x∈0,π4，不等式f【解题思路】（1）利用最小值和零点可求得fx的解析式，令−（2）利用正弦型函数值域的求法可求得fx在0,π4上的最小值，由m−3<f【解答过程】（1）∵fxmin=−A=−2∵x=π3为fx的一个零点，∴又0<φ<π2，∴φ=π令−π2+2kπ≤2x+∴fx的单调递增区间为−（2）当x∈0,π4时，2x+π3∵对任意的x∈0,π4，fx>m−3即实数m的取值范围为−∞20．（2022·湖南怀化·高二开学考试）已知函数fx=sin(1)若fx的最小正周期为2π，求f(2)若x=−π4是fx的零点，是否存在实数ω，使得fx在【解题思路】（1）根据f(x)的最小正周期为π可得ω=1，再结合图象关于直线x=π4对称，代入到对称轴的表达式求解可得（2）根据x=−π4为f(x)的零点，x=π4为f(x)图象的对称轴，可分别代入对称点与对称轴的表达式，进而求得ω的表达式，可得ω为正奇数，再根据f(x)在(7π【解答过程】（1）因为f(x)的最小正周期为π，所以2π|ω|因为ω>0，所以ω=1.因为f(x)的图象关于直线x=π4对称，所以π4即φ=kπ+π4，k∈Z.因为|φ|≤π故f(x)=sin（2）因为x=−π4为f(x)的零点，x=π所以−π4ω+φ=k1π①，π②−①得π2因为k1，k2∈Z，所以ω=2n+1(n∈N)因为f(x)在(7π18,5π9)上单调，所以当ω=5时，−5π4+φ=kπ因为|φ|≤π2，所以φ=π令t=5x+π4∈(g(t)在(79π36,故f(x)在(7π当ω=3时，−3π4+φ=kπ因为|φ|≤π2，所以φ=−π令t=3x−π4∈(g(t)在(11π故f(x)在(7π当ω=1时，−π4+φ=kπ因为|φ|≤π2，所以φ=π令t=x+π4∈(g(t)在(23π故f(x)在(7π综上，存在实数ω，使得f(x)在(7π18,5π921．（2022·全国·高一课时练习）已知函数fx(1)若b>0，函数fx的最大值为0，最小值为−6，求a，b(2)当a=2时，函数gx=fx【解题思路】（1）当b>0，则当sinx=1时，ymax=a+b，当sinx=1时，ymin（2）将gx=−sinx+b22+b24+2，令t=sinx，则【解答过程】（1）因为b>0，所以当sinx=−1时，fx最大，当sinx=1可得a+b=0a−b=−6，解得a=−3（2）gx令t=sinx，则t∈−1,1，y=当−b2<−1，即b>2时，y=ymax=b当−1≤−b2≤1，即−2≤b≤2时，y当−b2>1，即b<−2时，y=ymax=b综上可得，b=0.22．（2022·全国·高一课时练习）已知函数fx=sin2ωx+π6图象的一个对称中心为(1)求函数fx(2)已知函数gx=cos(x+π3)−m【解题思路】（1）根据题意得到−π6ω+π6（2）根据x1∈0,π，求得−1≤fx1≤1，根据【解答过程】（1）解：因为函数fx=sin可得−π6ω+又因为ω∈0,2，解得ω=1，所以f（2）解：由x1∈0,π所以−1≤sin2x由x2∈0,π，可得π所以−1−m≤gx因为对任意的x1,x2∈0,π，均有所以实数m的取值范围为3223．（2022·江西省高一期中）已知函数f(x)=sin(π(1)求函数f(x)的单调递减区间；(2)求函数g(x)的最大值、最小值及对应的x值的集合；(3)若对任意x1∈[−π6,π3【解题思路】(1)根据复合函数单调性的求法，使π6(2)根据余弦函使其交集不为空集(3)求两个函数在对应区间上的值域，根据包含关系求解即可.【解答过程】（1）2kπ−π所以函数的单调递减区间为[kπ（2）2x+π6=2kπ，即x=k2x+π6=2kπ+π，即（3）x1∈[−π6,x2∈[−π6,要使得f(x1)=g(x224．（2022·全国·高一单元测试）已知函数fx=2sinx+π3，且函数(1)求函数gx(2)若存在x∈0,π2，使等式g(3)若当x∈−π3,2【解题思路】（1）利用给定的函数图象间的关系直接列式并化简作答.（2）利用正弦函数的性质求出g(x)的范围，再分离参数求解作答.（3）根据给定范围，按a=0，a>0，a<0分类并结合最值情况求解作答.【解答过程】（1）因函数y=gx的图象与函数y=fx的图象关于直线x=π所以g(x)=2sin（2）由（1）知，gx=2sinx+π6，当令gx=t，则1≤t≤2．存在x∈0,即存在t∈1,2，使t2−mt+2=0成立，则存在t∈而函数m=t+2t在t∈[1,2当t=2时，mmin=22，当所以实数m的取值范围为22（3）由（1）知，不等式12当x∈[−π3,2π若a=0，因0≤sin(x+π3)≤1若a>0，因sin(x−π6)在[−π原不等式恒成立可转化为sin(−π3+π若a<0，当x=2π3原不等式恒成立可转化为sin(2π3+所以a的取值范围是(−2,225．（2022·全国·高一单元测试）已知函数f(x)=2sin(1)求函数fx(2)若x1,x2是函数【解题思路】（1）根据正弦函数的最小正周期公式计算可得，根据正弦函数的单调性求出函数的单调区间；（2）首先求出函数的零点，得x1,x2是【解答过程】（1）fx的最小正周期为T=对于函数f(x)=2sin当2kπ+π解得4k+1所以函数fx的单调递减区间是4k+（2）因为2sinπ2所以函数fx的零点满足π2x+即x=4k−56或所以x1,x2是当x1,x则cosx当x1∈A，x2∈B（或x1则cosx当x1,x则cosx所以cosx1+26．（2022·全国·高一单元测试）已知函数f(x)=cos(π(1)求φ的值；(2)若函数f(x)在(0,3)上单调递减，试求当ω取最小值时，f(1)+f(2)+f(3)+⋅⋅⋅+f(2022)的值．【解题思路】（1）根据f(x)对称性，及余弦函数的性质可得φ=kπ(k∈Z)，结合参数范围求（2）根据（1）的结论及f(x)区间单调性可得φ=0，进而求ω的范围，利用余弦函数的周期性求ω取最小值目标式的函数值.【解答过程】（1）∵f(x)的图象关于y轴对称，∴f(−x)=f(x)，即cos(−∴φ=kπ(k∈Z)，而∴φ=0或φ=π．（2）若φ=π，则f(x)=−cosπωx，则若φ=0，则f(x)=cos由ω>0，0<x<3，得0<π∵f(x)在(0,3)上单调递减，∴3πω≤π，则当ω=3时，f(x)=cosπ3∴f(1)+f(2)+⋯+f(2022)=337[f(1)+f(2)+⋯+f(6)]=337×(cos27．（2022·全国·高一单元测试）设x∈R，函数f(x)=cos(ωx+φ)ω>0,−π(1)求ω和φ的值；(2)在给定坐标系中作出函数fx在0,π(3)若fx>2【解题思路】（1）利用最小正周期和fπ4=（2）利用列表，描点画出f(x)图像即可；（3）由余弦函数的图像和性质解不等式即可.【解答过程】（1）∵函数fx的最小正周期T=2πω=π∵fπ且−π2<φ<0，（2）由（1）知f(x)=cosx0π5π2π11ππ2x−−0ππ3π5πf110－101

fx在0,π（3）∵f(x)>22，即∴2kπ−π则2kπ+π