2022-2023学年四川省达州市高二年级上册学期期末监测数学（理）试题及答案

2022-2023学年四川省达州市高二上学期期末监测数学（理）试题

一、单选题

1.小明家种植的芝麻晾晒后，黑芝麻和白芝麻均匀地混在一起，从中随机取出一部分，数得500粒

芝麻内含有10粒白芝麻，则小明家的芝麻100kg含有白芝麻约为（）

A.1kgB.2kgC.3kgD.4kg

【答案】B

【分析】根据比例不变及古典概型的概率公式即可求解.

【详解】设小明家的芝麻100kg含有白芝麻约为Mg,则

由题意可知，孤10=而x，解得*=2,

所以小明家的芝麻100kg含有白芝麻约为2kg.

故选：B.

2.某班学生小李参加了2022年市举办的高中数学竞赛和高中物理竞赛，与事件“小李至少有一门学

科竞赛获一等奖”互斥的事件是（）

A.小李两门学科竞赛都没有获一等奖

B.小李两门学科竞赛都获一等奖

C.小李至多有一门学科竞赛获一等奖

D.小李只有一门学科竞赛获一等奖

【答案】A

【分析】首先列出所有可能结果，再根据互斥事件的概念判断即可.

【详解】解：因为小李参加了2022年市举办的高中数学竞赛和高中物理竞赛，

则小李的获奖情况有两门学科都获一等奖、两门学科竞赛都没有获一等奖、

数学获得一等奖而物理没有获得一等奖、物理获得一等奖而数学没有获得一等奖，

事件“小李至少有一门学科竞赛获一等奖，，包含两门学科都获一等奖、

数学获得一等奖而物理没有获得一等奖、物理获得一等奖而数学没有获得一等奖这三个基本事件，

则与其是互斥事件的为：小李两门学科竞赛都没有获一等奖.

故选：A

3.设是两条不同的直线，区夕是两个不同的平面，且kuaju。,下列说法正确的是（）

A.如果左_L〃，那么a，/?B.如果a,夕，那么％

C.如果人〃那么D.如果a〃月，那么火〃/

【答案】A

【分析】逐项分析即可求解.

【详解】对于A,根据面面垂直的判定即可证明为正确选项；

对于B,如果那么女可能与夕平行，垂直，相交，故选项错误；

对于C：如果％〃月，那么a与月可能平行或相交，故选项错误；

对于D：如果a〃夕，那么修可能平行，异面，或垂直.

故选：A.

4.执行如图所示的程序框图.如果输入的。为2,输出的S为3,那么。=（）

A.9B.8C.7D.6

【答案】C

【分析】根据循环结构，得到输出S的公式，得到i,再结合框图，判断P的值.

【详解】由程序框图可知，输出的S=k>g,?+log，1+...+k）g,9=3,

则1og2（i+l）=3,得i=7,那么判断框图p=7.

故选：C

5.双曲线/■-竽=/1（助*0）的渐近线方程为（）

A.y=±2xB.y=±-x

C.尸±4xD.y=+>/2x

【答案】B

【分析】先将曲线方程化为标准方程，再求渐近线方程.

【详解】~=A（2a0）,

92

._£_____ZL=i

若2>0，一而一,

.厂厂二

若2<0,――九/_而2

一才

故渐近线方程为y=±gx,

故选：B.

6.为了了解客流量X（单位：人）对纯收入y（单位：元）的影响，对某面馆5天的客流量和纯收

入统计如表.已知X和y具有线性相关关系，且回归直线方程为a=5.02x+7.6（参考公式：

y=bx+a）,那么〃的值为（）

X100115120130135

y507589a662682

A.610B.620C.636D.666

【答案】A

【分析】先计算出元，代入回归方程得到亍，再计算

100+115+120+130+135

【详解】了==120,

5

则y=5.02x120+7.6=610,

507+589+4+662+682

则610=,得〃=61(),

5

故选：A.

7.若数据看,工2,，%的方差为25,则数据M+L3/+1,,3/+1的标准差为（）

A.225B.76C.75D.15

【答案】D

【分析】根据数据的方差的性质，可得g+1,3%+1,,3%+1的方差，继而得其标准差，即得答案.

【详解】,・•若3，/，/的方差为一,则附+。,⑰+。，”+匕的方差为//

，数据不与，，%的方差为25,

则数据3玉+1,3X2+L,3%+1的方差为32x25,

故数据3玉+l,3x2+1,,3x〃4-1的标准差为3x5=15,

故选:D

8.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（）

A.Ji67tB.；TtC.y/i()7t+7tD.47t

【答案】C

【分析】根据三视图判断出立体图形并根据圆锥表面积公式即可求解.

【详解】根据三视图可知该几何体为圆锥，圆锥的底面半径为1,高为3,如图:

则该几何体的表面积是7TX1X庐浮+兀、『=应京+兀-

故选：C.

9.直线x-y-2=0上两点A,B到直线x=-l的距离分别等于它们到尸(1,0)的距离，则卜目+怛尸卜

()

A.8B.9C.10D.11

【答案】C

【分析】首先确定点AB在抛物线V=4x上，然后联立直线与抛物线方程，利用韦达定理表示焦半

径的和.

【详解】根据抛物线的定义可知I,到直线尸-1距离和到点尸。,0)的距离相等的点的轨迹是以尸(1,。)

为焦点，直线产-1为准线的抛物线，抛物线方程为V=4x,

所以点是直线x-y-2=0与抛物线的两个交点，联立方程’2。，

[y=4x

得W-8x+4=0,±+*2=8,

而忸可=%,+i+w+i=io.

故选：c

10.如图，三棱柱ABC-A4G的所有棱长都相等，叫，平面A8C,M为AB的中点，N为CC,的

中点.则MN与平面BCG耳所成角的正弦值为（）

.N/3RGr715ny/33

34511

【答案】B

【分析】如图建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.

【详解】解：依题意三棱柱A8C-AAG为正三棱柱，取8C的中点O,

连接。4,过点。作。z〃BB」则OALBC,

如图建立空间直角坐标系，设正三棱柱的棱长为2,则N（（）,l,l）,

所以NM=显然平面BCC蜴的一个法向量可以为;?=（1,0,0）,

设MN与平面8CG4所成角为。，贝-in"

故MN与平面BCC国所成角的正弦值为皇

4

故选：B

11.在梯形ABC。中，AB=2OC,ACc8£>=。.在梯形ABC。内（包括边界）随机取一点M,则点

M在△A。。内（包括边界）的概率为（）

【答案】D

【分析】由题意可知，本题为几何概型中的面积比值，根据图形，转化为计算面积比值.

2

【详解】设梯形的面积为S,因为/3=20C,所以S.>=2Sg,=§S,

易得/为。,AOB,所以累=寡=1,则5®4sAM>=[s,

ABOB239

2

72

所以点“在△ADO内（包括边界）9-

s9-

故选：D

12.已知直线/:y=x+而上存在点P,使得尸到点A（T,0）和3（1,0）为的距离之和为4.若〃==为

m—\

正数，则「4，9+」1一的取值范围是（）

tn-\n-\

A.145）B.[14,+oo）C.泉+a）D.F'+e）

【答案】C

【分析】根据椭圆的定义求出点尸的轨迹方程，根据直线与椭圆有交点，联立直线与椭圆方程，根

据A±0求出加的取值范围，再根据〃=」■为正数，求出加的范围，即可得到贝IJ

多49+—1二=二49一+m-1,再根据对勾函数的性质求出二49工+—1=的取值范围.

n-\m-\n-\

【详解】解：因为尸到点A（-1,0）和8（1,0）为的距离之和为4,且|阴=2<4,

所以点尸的轨迹是以A（—1,0）和3（1,0）为焦点的椭圆，且c=l,。=2,所以b=J7=？=百，

所以椭圆方程为$=1,

43

22

（AXy

22—1

又直线y=x+与?+1~=1有交点，所以，43,消去>得7冗2+87^1+4加-12=0,

y=x+Jm

所以△=64/%-4乂7（46一12）之0,解得m47,又加之0,所以机w[0,7]

tnm

又为正数，所以-->0,解得勿>1或机<0,

所以lvm47,

49149149i

匚匕।、i-----1----=-----1--------=------\

所以加一1n—\m-\m_]m-l，

m-\

40

令”〃?一1,则0<Y6,因为y=+f在(0,6]上单调递减,

49、49,85491、85

所以一+ry+6=7-,M即n--+-,

t66m-\n-\6

即4的9取1值范围是「8三5，+8、.

m-\n-\L«7

故选：c

二、填空题

13.棱长为4的正方体的所有顶点都在球。的表面上，则球。的体积为.

【答案］32X/3JT

【分析】根据正方体的性质结合球的体积公式即得.

【详解】由题意，球。为正方体的外接球，则球。的直径为正方体的对角线长，

设外接球的半径为R,可得2R=46，即R=2石,

所以球。的体积为V=yx（2^）'=32扃.

故答案为：326兀.

14.如图是某核酸采集点6次核酸采集人数的茎叶图，则这6次核酸采集人数的方差为.

Ill79

1120022

【答案】3

【分析】首先求平均数，再根据方差公式求解.

1117+1119+1120+1120+1122+1122

【详解】这6次核算采集人数的平均数是=1120,

6

所以6次采集人数的方差为

17-1120)2+(1119-1120)2+2x(1120-1120)2+2x(1122-1120)2]=3.

故答案为：3

5已知F是双曲线的一个焦点，C的离心率呜，是C上关于原点对

称的两点，|尸例|一忻'|=6.则双曲线C的标准方程为.

【答案】二一金=1

916

【分析】利用对称性，结合双曲线的定义，得2a=6,再结合离心率，求得双曲线的方程.

【详解】根据双曲线的对称性，不妨设左焦点尸，右焦点F,

如图，点“在右支，点N在左支，线段尸尸和MN互相平分，

所以四边形是平行四边形，=

所以|府卜|硒|=四/|—|MF|=6,则为=6,又得"=3,c=5,b2=c2-a2=\6,

916

故答案为：———=I

916

-）2

16.己知P是椭圆C:3+B^=l（O<e<l）上的动点，C的焦点为4、F],设伊娟=｛,俨闾=为，

（24+4）（24+4）的最小值为〃e）,贝lj/（e）=.

【答案】36-4/

【分析】由椭圆的定义可得｛+弓=2。=4,设点P（x,y）,其中—24x42,计算出4的取值范围，可

得出⑵+幻（24+4）=-（/；-2）2+36,利用二次函数的基本性质可求得/（e）.

【详解】因为0<e<l,则4>4-4e2>0,则/=4,b2=4-4e2,：.c=^（r-tr=2e>

所以，设椭圆C的左焦点为耳（-2e,0）,则其右焦点为g（2e,0）,

由椭圆的定义可得4+弓=2a=4,

设点P（x,y）,其中-24x42,y2=4-4e2-（l-e2）?,

所以，（2q+弓）（2乃+｛）=（4+/;）（4+4）=（4+4）（8-4）=—42+4｛+32=—（4-2）2+36,

22222

则｛=J（x+2e）2+=^x+4ex+4e+4-4e-（l-e）x

=y]e2x2+4ex+4=+2|=2+exe[2-2e,2+2e],所以，-2eW「2&2e,

故当4-2=2e或「2=-2e时,（24+幻（24+的取最小值/（e）=36—4/.

故答案为：36-4/.

三、解答题

17.已知圆C过原点，圆心C在射线y=x(xNO)上，圆心C到y轴距离为2.

⑴求圆c的标准方程；

(2)直线x+y-6=0与圆C交于AB两点,求|A8|.

【答案】⑴(x-2)?+(y-2)2=8

(2)276

【分析】(1)根据圆心C在射线y=x(x20)上，圆心C到丫轴距离为2可得圆心坐标为(2,2),设出

圆的标准方程，再利用圆过原点即可求解；

(2)利用圆心直线的距离，圆的半径，结合垂径定理即可求出弦长.

【详解】(1)由圆心C在射线y=x(xN°)上，圆心C到y轴距离为2,

设圆C的标准方程为(x-2>+(y-2)2=/什>0),

又圆C过坐标原点，得r=26，圆C的标准方程为(x-2>+(y-2)2=8.

(2)由(1)知半径r=20，

圆心C(2,2)到直线x+y-6=0的距离d

V1+1

由垂径定理可得：用回=242_/=2#.

18.在某校2022年春季的高一学生期末体育成绩中随机抽取50个，并将这些成绩共分成五组:

[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],得到如图所示的频率分布直方图.在[50,70)的成绩为不达

标，在[70,100]的成绩为达标.

(1)根据样本频率分布直方图求。的值，并估计样本的众数和中位数(中位数精确到个位)；

(2)以体育成绩是否达标为依据，用分层抽样的方法在该校2022年春季的高一学生中选出5人，再从

这5人中随机选2人，那么这两人中至少有一人体育成绩达标的概率是多少？

【答案】(1)0=0.020,众数为65,中位数为73；

【分析】(1)根据各组频率和为1可求出。的值，然后根据众数和中位数的定义求解即可；

(2)根据分层抽样的概念可知不达标的学生有2人，达标的学生有3人，然后利用列举法，根据古

典概型概率公式即得.

【详解】(1)由题知(0.004+0.008+0.032+0.036)x10=1,

得a=0.020,

由直方图可知众数为65；

因为(0.004+0.036)x10=0.4,(0.004+0.032+0.036)x10=0.72,

设中位数为x,则0.004x10+0。36x10+(x-70)x0.032=0.5,

得x=73.125*73,

所以中位数为73；

(2)分层抽样的方法从不达标和达标的学生中共选出5人，

则不达标的学生有2人记为AB,达标的学生有3人记为a,b,c,

从这5人中选2人的情况有AB,Aa,Ab,Ac,Ba,Bh,Be,ab,“c,6c共10种，

这两人中至少有一人是“达标”的情况有4a,A4Ac,Ba,Bb,Bc,ab,ac,bc共9种，

o

设加="这两人中至少有一人达标”，则

所以，这两人中至少有一人达标的概率是三9.

19.在等比数列｛q｝中，q=1,%-%=63,｛《,｝的前”项和为5”.

⑴求4和S“；

(2)d=lna“Z=a+a++bn,求7“.

【答案】(l)%=e"T,S"=U

1-e

(-2)7；=n七(n」-｝｝

【分析】(1)设等比数列｛%｝公比为9,根据条件求出夕，利用公式求出处和S”即可,

(2)由(1)求出2的通项公式，然后利用等差数列求和公式计算即可.

【详解】3)设等比数列｛4｝公比为4,

%=1,。2•%=e，,

233

/.a2-a3=以q•a、q=q=e,

解得4=e,

n

(2).an=e-',

:.hH=\nan=n-\,

:.Tn=bt+b2++b„

=0+1+2++(n-l)

n(n-l)

--2-,

20.如图，在四棱锥P-ABC£＞中，PAL面ABC。，ABVAD,A£)〃8C,点E,尸分别为的

中点，AB=BC=2,AD=PA=4.

p

(1)证明：直线/平面PBC；

(2)求二面角尸—CD—3的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

⑵立.

3

【分析】(1)依题意可得即可得到EF//BC,从而得证：

(2)连接AC,即可求出AC、CD,从而得到AC，C£>,再由线面垂直的性质得到R4LCD,即可

得到平面PAC,则二面角P-C£>-A得平面角为ZACP,再由锐角三角函数计算可得.

【详解】(1)证明：点民尸分别为PAJD的中点，

AD//EF,

AD//BC,：.EF//BC,

平面PBC,3Cu平面PBC,

：.EFH^PBC.

(2)解：.ABYAD,AD//BC,..AB1BC,

连接AC,由AB=BC=2得AC=JM2+BC2=2/,

AD=4,CD=ylAB2+(AD-BC)2=272.

所以AC2+C£>2=AO2,

ACVCD,

9_L底面ABC。，AC,Su底面ABC。，：.PALAC,PALCD,

PA,AC是平面PAC内两相交直线，

\CDA平面PAC,

PCu平面PAG，CO，PC,

，二面角P-C£>-A得平面角为N4CP,

AP=4,：.PC=jAC2+A产=2娓，cosZACP=-=

所以二面角P-8-A的余弦值为赵，

3

即二面角尸—8-8的余弦值为史.

3

21.已知过圆0:*2+y2=/(r>0)上一点40,5)的直线/与该圆另一交点为8,。为原点，记

ZAOB=a,ae[(),兀].

⑴当|A用=56时，求a的值和/的方程;

(2)当|A却=5时，/(x)=-sinx+2cosjc.sina+2cos%-1,求的单调递增区间.

【答案】(1)。=与，/的方程为瓜+y-5=0或VIr—y+5=0；

77rjr

(2)单调递增区间为2lat--,2lat--(AeZ).

o6

【分析】(1)利用余弦定理求出cosa=-g,结合ae[(),可，得到a的值，设出/的方程为依-y+5=0,

利用垂径定理求出3得到直线方程；

(2)根据|阴=5,得到a代入f(x)中，化简得至lJ〃x)=2cos"E)-g,利用整体法得到

函数的单调递增区间.

【详解】(1)点A(0,5)在圆0:/+丫2=/(,>0)上,

二产=25.

M=5G,|Q4|=|Q8|=5,

|OA『+|。02TAB-_25+25—751

cosa=

2\OA\-\OB\2x5x52

cre[0,7c],

5

由条件得。到/的距离为〃=

2

.，不与x轴垂直,

设/的方程为丁=履+5,即履—y+5=0,

5_5

，，7F7F=2>

解得：k=—>/3，或％=6，

所以/的方程为氐+y-5=0或瓜-)，+5=0；

(2)当|阴=5时，a=jf

由f(x)=-sinx+2cosx•sina+2cos2a-1得

/(x)=-sinx+Gcosx——=2cos

当且仅当2匕i一元4尤+四eZ),

6

BP2kK--<x<2kn--{k&i)^,f(x)单调递增，

66

所以f(x)的单调递增区间为12E-7,2航-m(ZeZ).

oo

(备注：/(x)=2sinxj-］也是对的).

22.古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积等于圆周率兀与椭圆的长半轴长、短半轴长

4

的乘积.已知椭圆「的中心为原点，焦点E，居均在x轴上，离心率等于不，面积为157r.

⑴求「的标准方程；

⑵若直线/与圆加：/+丫2=16相切，且直线/与「交于C,。两点，求△<%>£)面积的最大值.

【答案】⑴工+工=1;

259

代

【分析】(1)由题可得而=15,然后根据离心率结合条件即得；

(2)当直线/斜率不存在时，可得500=^,当直线/斜率存在时，设直线/方程为)=履+，〃，联

立椭圆方程根据韦达定理及弦长公式可表示出S&8D,结合条件即得.

91

【详解】⑴设椭圆「的方程为二+4=1（。＞匕＞0）,

ab

由兀出?二15兀，得ab=15,

由£=±,得c='〃，JIlJb=\/a2-c2=-a,

a555

解得。=5,所以匕=3,

所以椭圆r的方程为三+£=i；

259

（2）圆〃的方程为V