2022-2023学年高中数学北师大版高一上期末总复习：不等式(附答案解析)

2022・2023学年高中数学北师大版高一上期末总复习：不等式

一.选择题（共12小题）

17

1.（2021•重庆模拟）已知a>0,b>0,-+-=2,则a+2b的最小值为（）

ab

05

A.9B.5C.-D.巳

22

2.（2020春•昌吉市期中）若a>0,b>0,a+2b=3,则口‘的最小值为（）

ab

A.5B.6C.8D.9

3.（2021秋•驻马店期中）“x20”是“一”的（）

x+1

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D,既不充分也不必要条件

4.（2021•松原模拟）下列函数中，y的最小值为2的是（）

A.y=x+1B.y=x—Inx-1

x

C.y=ex+l-xD・j=cosx+—!—（0<x<-）

cosx2

5.（2021秋•西城区校级月考）不等式2x2-3x+l>0的解集为（）

A.（；,1）B.（-co,g）u（1,-Foo）

C.RD.0

6.（2021秋•张家港市期中）若一元二次不等式丘2-2x+女<0的解集为{xlx,则团+女

的值为（）

A.-1B.0C.-2D.2

7.（2021•涪城区校级开学）设机+〃>0,则关于工的不等式（〃一幻（〃+式）>0的解集是（

）

A.{x\x<—n^x>m]B.{xl-H<x<m]C.{xlxc-m或

x>〃}D.[x\-m<x<n}

8.（2021•江阴市开学）已知x>l,则立^的最小值是（）

x-l

A.2s+2B.2十-2C.26D.2

9.（2021春•威宁县期末）已知x>0,），>0,且x+y=2,则下列结论中正确的是（）

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79

A.士+上有最小值4B.孙有最小值1

xy

C.21+2、有最大值4D.J7+4有最大值4

10.（2021•浙江模拟）若x<0,则x+士的最大值为（）

X

A.-8B.-6C.-4D.-2

11.（2021秋♦会宁县校级期中）已知{dox2+W+c>o}={xl-g<x<2},则关于x的不等

式CX2+如-。>。的解集为（）

A.|xl-1<x<|-j-B.卜1一2<尢<；}C.{xIx<-2或x>；}D.{xlx<-l或

x>l）

12.（2021春•广东期末）已知正实数x,y满足4x+3y=4,则」—+」—的最小值为（

2x+l3y+2

二.填空题（共7小题）

13.（2021•河西区二模）函数丫="+5）>+2）作>一］）的最小值为一

X+1

14.（2021•天津一模）设a>0,b>0,且5〃〃+/;2=1,则〃的最小值为.

15.（2020秋•汕头校级期末）当x>l时，求2x+上的最小值为___.

x-l

16.（2020秋•门头沟区校级期中）不等式心+5'-6>0的解集是.

17.（2020秋•扬州期末）若存在实数x,使得不等式x2-ax+a<0成立，则实数。的取值

范围为—.

18.（2021秋•新罗区校级期中）已知不等式依2-X+Z<0有解,则实数K的取值范围为一.

19.（2021春•舟山期末）若正数a,b满足a+b+2=",则二一+」_的最小值是___,

a-1b-1

此时〃=.

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2022-2023学年高中数学北师大版高一上期末总复习：不等式

参考答案与试题解析

选择题（共12小题）

1o

1.（2021•重庆模拟）已知a>0,b>0,上+±=2,则a+2Z?的最小值为（）

ab

95

A.9B.5C.-D.二

22

【答案】c

【考点】基本不等式及其应用

【专题】整体思想；综合法；不等式的解法及应用；数学运算

【分析】由已知利用乘1法，结合基本不等式即可直接求解.

【解答】解：（1+-）（«+2/7）=1+—+—+4^9,

abba

所以a+2622.

2

故选：C.

【点评】本题主要考查了基本不等式在求解最值中的应用，乘1法的应用是求解问题的关键,

属于基础题.

2.（2020春•昌吉市期中）若a>0,b>0,a+2%=3,则2+9的最小值为（）

ah

A.5B.6C.8D.9

【考点】7/：基本不等式及其应用

【专题】11：计算题；35：转化思想；4M：构造法；5T：不等式；65：数学运算

【分析】把上+色看成（2+2x1的形式，把“1”换成，（〃+2与，整理后积为定值，然后用

abab3

基本不等式求最小值.

【解答】解：•,,3+勺」（3+3（。+2与

ab3ah

16h6a…

=（3+一++12）

3ab

48+2后耳）=9

等号成立的条件为竺="，即时取等

ab

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所以3+9的最小值为9.

ab

故选：D.

【点评】本题考查了基本不等式在求最值中的应用，解决本题的关键是“1”的代换，是基

础题

3.（2021秋•驻马店期中）“x20”是“」一句”的（）

x+\

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【考点】充分条件、必要条件、充要条件；其他不等式的解法

【专题】整体思想；综合法；不等式的解法及应用；逻辑推理

【分析】先求出分式不等式的解集，然后结合充分必要条件与集合的包含关系的转化进行判

断.

【解答］解：由」_@，得」--《0，

X+1元+1

解不等式得X次）或

所以x20"是“一!_0”的充分不必要条件.

X+1

故选：A.

【点评】本题主要考查了分式不等式的求解，充分必要条件的判断，属于基础题.

4.（2021•松原模拟）下列函数中，y的最小值为2的是（）

A.y=x+—B.y=x-Inx-1

X

17C

C.y=ex+\-xD.y=cosx+-（0<x<—）

cosx2

【答案】C

【考点】基本不等式及其应用

【专题】整体思想；综合法；不等式的解法及应用；逻辑推理

【分析】结合基本不等式的应用条件及基本不等式分别检验各选项即可判断.

【解答】解：对于A选项，当x>0时<y=x+-^2,当且仅当xJ,即x=l时，等号成

XX

立；

当x<0时，y=x+1=-［（-*）+（-1）长-2,当且仅当-x=-l,即x=-l时，等号成立，

XXX

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故A错误；

对于5选项，y=x-bvc-\,y#=l--=—―,

xx

当尤>1时，yr>0；当0<工<1,y'<0，

所以当x>l,函数y=X-/〃/-1单调递增；当0<工<1时，，(x)=x-历式-1单调递减，

所以当x=l,函数取得最小值为0,故3错误；

对于C选项，y=e^+\-x,y'=ex-l,

当x〉0时，y'>0;当元<0,y'<0,

所以当工>0,函数)，=6+1-1单调递增；当x<0,函数y=e、+17单调递减，

即当尢=0取得最小值为2,故C正确；

对于。选项，因为0<x<巴，所以0<cosx<l,

2

Xy=cosx+--—^2Jcosx•——=2,当且仅当cosx=1，即cosx=l时，等号成立，

scosXVCOSXCOSX

但COSXH1,故。错误，

故选：C.

【点评】本题主要考查了利用基本不等式求解函数的最值，注意应用条件的检验，属于基础

题.

5.(2021秋•西城区校级月考)不等式2心-3彳+1>0的解集为()

A.(J,1)B.(-00,+00)

C.RD.0

【答案】B

【考点】一元二次不等式及其应用

【专题】计算题；转化思想；综合法；不等式的解法及应用；数学运算

【分析】利用二次不等式的解法，求解不等式2x2-3x+l>0的解集即可.

【解答】解：不等式2心-3尤+1>0,

即(x-l)(2r-l)>0,

解得：x>l^Kx<—,

2

不等式的解集为：(-8,1)U(1,+00).

故选：B.

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【点评】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题.

6.（2021秋•张家港市期中）若一元二次不等式近2-2尤+“<0的解集为{xlxw/n},则,〃+k

的值为（）

A.-1B.0C.-2D.2

【答案】C

【考点】一元二次不等式及其应用

【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；不等式的解法及应用；数学运算

k<0

【分析】由不等式与方程的关系转化为4-4也=0,从而解得.

2

m=­

I2k

【解答】解：：不等式履2-2x+k<0的解集为{xlxwm},

k<0

«4—4&2=0,

2

m=—

I2k

解得>k——\>m=—\,

故机+氏=-2，

故选：C.

【点评】本题考查了二次不等式与方程的关系应用，属于基础题.

7.（2021♦涪城区校级开学）设，"+〃>0,则关于x的不等式（加-外（〃+：0>（）的解集是（

）

A.{xlx<或x>，〃}B.{x\-n<x<m]C.或

x>n]D.{x\-m<x<n}

【答案】B

【考点】一元二次不等式及其应用

【专题】转化思想；转化法；不等式的解法及应用；逻辑推理；数学运算

【分析】将不等式进行等价转化为（无-相）（X+〃）<0,然后求出不等式的解集.

【解答】解:原不等式可化为（x-M（x+"）<0,

由m+”>0,可知m>-“，

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所以原不等式的解集为{xl-”<x<w}.

故选：B.

【点评】本题考查了一元二次不等式的解法，考查了运算能力，属于基础题.

8.(2021•江阴市开学)已知x>l,则三里的最小值是()

x-l

A.20+2B.2^3-2C.2点D.2

【答案】A

【考点】基本不等式及其应用

【专题】计算题；转化思想；整体思想；转化法；不等式的解法及应用；数学运算

【分析】化简巴匚=上二生生2=》-1+2一+2,结合x>l,利用基本不等式求最值

X—1X—1X-1

即可.

【解答】解：.,・工一1>0.

X2+2X2—2x+2x+2

X2—2,x+1+2(x—1)+3

一x-1

(x-1)2+2(%—1)+3

―

=x-\+——+2226+2,

x-1

(当且仅当x-l=上，即x="+l时，等号成立).

X-1

故选：A.

【点评】本题考查了基本不等式的应用，同时考查了化简运算能力及整体思想与转化思想,

属于中档题.

9.(2021春•威宁县期末)己知犬>0,y>0,且x+y=2,则下列结论中正确的是()

A.一+一有最小值4B.xy有最小值1

xy

C.2.,+2.v有最大值4D.J7+J7有最大值4

【答案】A

【考点】基本不等式及其应用

【专题】计算题；转化思想；综合法；不等式；数学运算

【分析】根据条件可得出±+±=±(x+y)(±+±),然后根据基本不等式即可求出±+

xy2yxy

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然后即可判断选项A正确；根据x+y=2可得出孙<1从而判断8错误；根据基本不等式即

可求出2、+2)》4,从而判断选项C错误；根据J7+正=也+2而<2即可判断选项D错

误.

【解答】解：,y>0,且x+y=2,

2=x+y^2^[xy,当且仅当%=y=l时取等号，

孙(，

二.孙有最大值1,选项3错误；

2+2=L(x+y)(2+2)=_L(4+在+^)=2+2+工》4,当且仅当尤=y=l时取等号，

xy2xy2yxyx

.•.*+*有最小值4,选项A正确;

xy

2x+2.v》242「2；=2H7=4,当且仅当x=y=1时取等号，

.•2+2>,有最小值4,选项C错误；

G+G=+tjy)2=Jx+y+=^2+2^xy^2,

.•.《+J7有最大值2,选项。错误.

故选：A.

【点评】本题考查了基本不等式的应用，考查了计算能力，属于基础题.

10.(2021•浙江模拟)若x<0,则x+£的最大值为()

x

A.-8B.-6C.-4D.-2

【答案】C

【考点】基本不等式及其应用

【专题】整体思想；综合法；不等式的解法及应用；数学运算

【分析】由x+±=_[(_x)+(_3)],然后结合基本不等式即可直接求解.

XX

【解答】解：因为x<0,则一x>0,

则xH—=—[(—X)+(—)]<—2^1(—x),(—)=—4,

XXVX

当且仅当r=-±,即尤=-2时取等号，此时取得最大值-4.

X

故选：C.

【点评】本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题中要注意对应用条件的检验，属于

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基础题.

11.（2021秋•会宁县校级期中）已知（52+hx+c>

I—<x<2,则关于x的不等

3

式CX2+Q尤-〃>0的解集为（）

A.|xl-1<x<B.I-2<x<C.{xlx<-2或x〉；}D.{xl无<一1或

丹233

【答案】D

【考点】一元二次不等式及其应用；其他不等式的解法

【专题】转化思想；转化法；不等式的解法及应用；逻辑推理

【分析】利用一元二次不等式的解集与一元二次方程根之间的关系，结合根与系数的关系,

表示出力，c,再利用一元二次不等式的解法求解不等式即可.

【解答】解：由题意可知，-■!■和2为方程ax2+bx+c=0的两个根，且。<0,

3

75

所以不等式c%2+〃工一/?>0,即——ax2+ax+—b>0

33

即2x2-3x-5>0,解得—1或x>9,

2

所以不等式的解集为或X>|}.

故选：D.

【点评】本题考查了一元二次不等式的解集与一元二次方程根之间关系的理解与应用，一元

二次不等式的解法的应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题.

12.（2021春•广东期末）已知正实数x,y满足4x+3y=4,则一!一+—!—的最小值为（

2x+l3y+2

【答案】A

【考点】基本不等式及其应用

【专题】计算题；转化思想；整体思想；转化法；不等式的解法及应用；逻辑推理；数学运

算

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【分析】将4x+3y=4变形为含2x+l和3y+2的等式，即2(2元+1)+(3)，+2)=8,再将式子

换元，由基本不等式换“1”法求解即可.

【解答】解：由正实数x,y满足4x+3y=4,可得2(2x+l)+(3y+2)=8,

令a=2x+l,b=3y+2,可得2。+〃=8,

匚匚+1111/1、八，、11c2〃0心1°C

J，T-----+-----=—+——(一+一)x(2〃+/?)x—=—x(2+—+—+1-x(3+2

2x+l3y+2abab88ba8

即，+42L(3+2向，

abS

即_L+J_23+正，当且仅当口时取等号,

。。84ha

所以答案为3+1，

84

故选：A.

【点评】本题考查基了利用基本不等式求最值，考查了推理论证和运算求解能力，属于基础

题.

二.填空题(共7小题)

13.(2021•河西区二模)函数y=(；±5)以的最小值为9.

x+1

【答案】9.

【考点】基本不等式及其应用

【专题】整体思想：综合法；不等式的解法及应用；数学运算

【分析】利用换元法，然后结合基本不等式即可求解.

【解答】解：因为x>-l,设f=x+l,则f>0,

(x+5)(x+2)(Z+l)(r+4).,4,〜厂才，<n

y=--------=-----=r+—+522Jf1-5=9»

x+1ttVt

当且仅当，=4,即r=2时取等号，此时取得最小值9.

t

故答案为：9.

【点评】本题主要考查了基本不等式在求解最值中的应用，属于基础题.

A

14.(2021•天津一模)设〃>0,b>0,旦5出?+匕2=1,则a+b的最小值为-.

一5一

【答案】

5

【考点】基本不等式及其应用

【专题】转化思想；转化法；不等式的解法及应用；数学运算

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【分析】由己知先用〃表示a,然后代入到所求式子后，利用基本不等式即可求解.

【解答】解：因为a>0,b>0,且5M+从=1,

\-b2

所以a

5b

因为a>0,

所以0<b<l,

a+b=------

当且仅当上=竺，即6=,，〃时取等号,

5b5210

4

则a+b的最小值一.

5

故答案为：—.

5

【点评】本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题的关键是应用条件的配凑.

15.（2020秋•汕头校级期末）当x>l时，求2x+8的最小值为10.

x-1

【答案】10.

【考点】基本不等式及其应用

【专题】计算题；方程思想；定义法；不等式的解法及应用；逻辑推理；数学运算

【分析】将2x+8转化为积为定值的形式后即可利用基本不等式进行求解.

X—1

【解答】解：当x>l时，2x+-^=2（x-l）+-^+2^2^2（x-l）--^-j-+2=10,

X>1

当且仅当8，即x=3时等号成立，所以2x+f-的最小值为10.

2（%-1）=---x-1

、x—1

故答案为：10.

【点评】本题主要考查基本不等式的运用，考查学生的逻辑推理和运算求解的能力，属于基

础题.

16.（2020秋・门头沟区校级期中）不等式心+5工-6>0的解集是_（-8广6）口（h+00）_.

【答案】（―℃,—6）°（1,+oo）.

【考点】一元二次不等式及其应用

【专题】转化思想；定义法；不等式的解法及应用；逻辑推理；数学运算

【分析】利用一元二次不等式的解法求解即可.

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【解答】解：不等式X2+5.X—6>0可变形为(x+6)(x—1)>0,

解得尢<-6或x>1,

所以不等式心+5犬-6>0的解集是(-8,-6)°(1,+00).

故答案为：(-co,+oo).

【点评】本题考查了一元二次不等式的解法，考查了运算能力，属于基础题.

17.(2020秋•扬州期末)若存在实数x,使得不等式x2-ox+a<0成立，则实数“的取值

范围为―

【答案】(-8,0)°(4,+OO).

【考点】一元二次不等式及其应用

【专题】转化思想；判别式法；转化法；不等式的解法及应用；数学运算

【分析】解法1、根据题意利用判别式>0,即可求出a的取值范围.

解法2、讨论x-l>0和x-1=0、x-l<0时，不等式转化为a与旦的关系，构造函数

X—1

f(x)='L,求出f(x)的最值即可得出a的取值范围.

x-l

【解答】解：解法1、存在实数X,使得不等式心+。<0成立，

所以△=(一〃)2-4〃>0,

解得。<0或a>4,

所以实数a的取值范围是(-8,0)U(4,+00).

解法2、不等式4-以+〃<0可化为X2<a(x-1),

当x-l>0,即x>l时，不等式化为〃>心；

x-1

设/(尤)=旦，其中X>1;

x-1

所以"x)=^=a-l)；"：-l"l=(xT)+2+士221(x7).占+2=4,

当且仅当x=2时取等号；

所以实数。>4；

当x-l=0,即x=l时，不等式化为1<0,显然不成立；

当x-l<0,即x<l时，不等式化为“<与；

X-1

设/⑴二二，其中X<1;

x-l

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FKl、l、X2(%-1)2+2(X—1)+1,、c1,«I,..1-„

所以/(x)=--=