信号与系统课件 第二章 连续系统的时域分析

§2.1LTI连续系统的响应第二章连续系统的时域分析1.LTI连续系统的时域分析：2.特点：比较直观、物理概念清楚，是学习各种变换时域分析法：函数的变量----t域分析法的基础

3.时域分析法主要内容：概述：求出响应与激励关系经典法零输入响应和零状态响应冲激响应与卷积积分建立线性微分方程并一、微分方程的经典解y(n)(t)+an-1y

(n-1)(t)+…+a1y(1)(t)+a0y

(t)=bmf(m)(t)+bm-1f

(m-1)(t)+…+b1f(1)(t)+b0f

(t)高等数学中经典解法：完全解=齐次解+特解。

LTI连续系统：常系数的n阶线性常微分方程

齐次解：

满足齐次方程的通解，又叫齐次解

特解：

满足非齐次方程的解，叫特解

1.齐次解举例齐次方程：特征方程：特征根：后由初始条件定特征根λn个单实特征根齐次解r重实根1对共轭复根r重共轭复根齐次解的形式由特征根定:待定系数Ci在求得全解齐次解举例解：系统的特征方程为特征根对应的齐次解为2.特解特解的函数形式与激励函数形式有关，如下表，将特解函数式→代入原方程，比较定出待定系数。激励f(t)响应y(t)的特解yp(t)举例常数常数特征根均不为0α≠特征根α=特征根α=r重特征根特征根≠±jβ有r重特征根为0特解举例如果已知：分别求两种情况下此方程的特解。

例：给定微分方程式解:(1)由于f(t)=t2，故特解函数式为将此式代入方程得到

这里，P2，P1，P0，等式两端各对应幂次的系数应相等，于是有联解得到所以，特解为(2)当f(t)=et时特解为yp(t)=Pet，这里，P是待定系数。代入方程后有：3.全解完全解=齐次解+特解注意：举例

齐次解的函数形式：仅与系统本身的特性有关特解中待定系数：特解带入非齐次方程，对比求；齐次解中待定系数：在全解求得后由初始条件定。与激励f(t)的函数形式无关又叫固有响应或自由响应特解的函数形式：又叫强迫响应由激励确定自由响应强迫响应例

描述某系统的微分方程为y”(t)+5y’(t)+6y(t)=f(t)求（1）当f(t)=2e-t，t≥0；y(0)=2，y’(0)=-1时的全解；（2）当f(t)=e-2t，t≥0；y(0)=1，y’(0)=0时的全解。解:

(1)

特征方程：λ2+5λ+6=0特解：

yp(t)=e–t其特征根：λ1=–2，λ2=–3齐次解：

yh(t)=C1e–2t+C2e–3t特解：yp(t)=Pe–t特解带入方程：Pe–t+5(–Pe–t)+6Pe–t=2e–t解得：P=1

全解=齐次解+特解例题全解：

y(t)=yh(t)+yp(t)=C1e–2t+C2e–3t+e–t其中待定常数C1,C2由初始条件确定。

y(0)=C1+C2+1=2，y’(0)=–2C1–3C2–1=–1解得C1=3，C2=–2最后得全解y(t)=3e–2t–2e–3t+e–t,t≥0（2）齐次解同上。当激励f(t)=e–2t时，其指数与特征根之一相重

特解：

yp(t)=(P1t+P0)e–2t

特解代入方程：P1e-2t=e–2t

得：P1=1但P0未定特解：

yp(t)=(t+P0)e–2t

全解全解：y(t)=C1e–2t+C2e–3t+te–2t+P0e–2t

=(C1+P0)e–2t+C2e–3t+te–2t将初始条件代入：y(0)=(C1+P0)+C2=1y’(0)=–2(C1+P0)–3C2+1=0解得：C1+P0=2,C2=–1最后得微分方程的全解：

y(t)=2e–2t–e–3t+te–2t,t≥0上式第一项的系数C1+P0=2，不能区分C1和P0，因而也不能区分自由响应和强迫响应

二．关于0-和0+状态的转换t=0+f(t)接入t=0t=0-y(j)(0-)反映的是历史状态与激励f(t)无关初始值或起始值y(j)(0+)系数匹配法（0-、f(t)）共同决定0+t可能变化f(t)=右侧是否包含δ(t)、δ,(t)---三.零输入响应和零状态响应

y(t)=yzi(t)+yzs(t)LTI系统响应第1种：自由响应+强迫响应第2种：零输入响应+零状态响应yzit):没有外加输入信号，只由起始状态所产生的响应；yzst):不考虑起始储能的作用（起始状态=0），只由系统外加输入信号所产生的响应。全响应

y(t)=yzi(t)+yzs(t)的求取方法：借助经典方法卷积积分法（后面学）1.概述

y(t)=yh(t)+yp(t)

零输入响应和零状态响应

y(t)=yzi(t)+yzs(t)（1）.yzi(t)零输入响应微分方程：齐次y(n)(t)+an-1y

(n-1)(t)+…+a1y(1)(t)+a0y

(t)=0Czij-----待定系数（2）.yzs(t)零状态响应微分方程：非齐次2.经典分析及求解y(n)(t)+an-1y

(n-1)(t)+…+a1y(1)(t)+a0y

(t)=bmf(m)(t)+bm-1f

(m-1)(t)+…+b1f(1)(t)+b0f

(t)

零输入响应和零状态响应其中：Czsj------待定系数yp(t)----特解（3）.y(t)全响应自由响应强迫响应零输入响应零状态响应3.

yzi(0+)、

yzs(0+)、

及各阶导数的确定由yzi(j)(0+)由yzs(j)(0+)由y(j)(0+)响应及各阶导数初始值(j=0,1,2,-------n-1)

y(t)=yzi(t)+yzs(t)

y（j)(t)=yzi(j)(t)+yzs(j)(t)

y（j)(0-)=yzi(j)(0-)+yzs(j)(0-)

y（j)(0+)=yzi(j)(0+)+yzs(j)(0+)⑴.起始条件yzs(0+)例1响应：零状态响应由0-、f(t)共同决定Czsj--由yzs(j)(0+)定响应：且

t=0_时:激励没有接入yzs

(j)(0-)=0例1零状态（前提）yzs(j)(0+)=?t>0后：⑵.起始条件yzi(0+)若有，利用δ函数匹配法t>0后：有输入微分方程=右端有没有δ函数其中：Czij要由起始条件yzi(j)(0+)定

yzi（j)(0+)=yzi(j)(0-)=y

(j)(0-)类似电路中的换路定则yzs(0+)由0-、f(t)共同决定零输入响应f(t)=0t=0-yzi(j)(0-)存在零输入响应和零状态响应举例例1：描述某系统的微分方程为y”(t)+3y’(t)+2y(t)=2f’(t)+6f(t)已知y(0-)=2，y’(0-)=0，f(t)=ε(t)求该系统的零输入响应和零状态响应。解yzi(t)形式同齐次方程：yzi

”(t)+3yzi

’(t)+2yzi

(t)=0齐次方程的特征根为：–1，–2yzi,(0+)=yzi,(0-)=y,(0-)yzi(0+)=yzi(0-)=y(0-)零输入响应：yzi

(t)=Czi1e–t+Czi2e–2t

Czi1Czi2由yzi,(0+)、yzi(0+)决定解得系数：Czi1=4,Czi2=–2（1）零输入响应yzi(t)零状态响应yzs(t)yzi(t)=4e–t–2e–2t,t>0（2）零状态响应yzs(t)

满足下列方程yzs(t)解的形式：同非齐次方程，由两部分组成形式同齐次方程的解特解（满足非齐次方程）yzs(t)=Czs1e-t+Czs2e-2t+C

(对t>0后yzs”(t)+3yzs

’(t)+2yzs(t)=6)

yzs”(t)+3yzs’(t)+2yzs(t)=2δ(t)+6ε(t)

yzs(0-)=yzs’(0-)=0零状态响应yzs(t)Czs1Czs2:由yzs(0+)

及yzs,(0+)定yzs”(t)+3yzs’(t)+2yzs(t)=6yzs(t)=Czs1e-t+Czs2e-2t+C

yzs(t)中有3各系数待定：Czs1,Czs2,CC应满足：带入方程求得：C=3

yzs(0+)=？yzs

’(0+)=？由δ函数匹配法定：

法一：分析+直接积分零状态响应yzs(t)

yzs”(t)+3yzs’(t)+2yzs(t)=2δ(t)+6ε(t)右端有δ(t)微分方程积分得：yzs”(t)含有δ(t)yzs’(t)跃变yzs(t)在t=0连续yzs’(0+)≠yzs’(0-)yzs(0+)=yzs(0-)=0[yzs’(0+)-yzs’(0-)]+3[yzs(0+)-yzs(0-)]+2

因此，yzs’(0+)=2+yzs’(0-)=2零状态响应yzs(t)对t>0时:yzs”(t)+3yzs’(t)+2yzs(t)=6yzs(t)=Czs1e-t+Czs2e-2t+3求得yzs(t)=–4e-t+e-2t+3，t≥0yzs’(0+)=2+yzs’(0-)=2注意：yzi(t)、yzs(t)顺序问题？例1：已知y(0-)=2，y’(0-)=0，f(t)=ε(t)零输入响应和零状态响应举例求该系统的零输入响应和零状态响应。已知y(0+)=3，y’(0+)=1，f(t)=ε(t)描述某系统的微分方程为y”(t)+3y’(t)+2y(t)=2f’(t)+6f(t)例2：

⑴零输入响应：yx

(t)=Cx1e–t+Cx2e–2t

零状态响应：yf(t)=Cf1e-t+Cf2e-2t+C

其中Cx1Cx2由yx

‘(0+)、yx(0+)决定，而

yx（j)(0+)=yx(j)(0-)=y

(j)(0-)其中

Cf1Cf2由yf'(0+)、yf(0+)决定yf

(j)(0+)利用δ函数匹配法例1微分方程yf(j)(0-)=0与y(j)(0±)无关同例1yf(t)=–4e-t+e-2t+3，t≥0

y（j)(0+)=yx(j)(0+)+yf(j)(0+)

⑵

例2

首先求出yf(t)yf(j)(0+)yx(j)(0+)解：⑴

零状态响应yf(t)

求得：yf(0+)=0yf/(0+)=2利用

y（j)(0+)=yx(j)(0+)+yf(j)(0+)求得：yx(0+)=3yx/(0+)=-1yx

(t)=Cx1e–t+Cx2e–2t

⑵零输入响应yx(t)yx(t)=4e–t–2e–2t,t>0例3：描述某系统的微分方程为y”(t)+3y’(t)+2y(t)=2f’(t)+6f(t)

f(t)=ε(t)时，求零状态响应。分析：LTI系统零状态响应：线性和微分特性设f(t)作用于系统：零状态响应yf1(t)根据LTI系统微分特性：

yf1(t)=T[0,f(t)]

即：满足y”(t)+3y’(t)+2y(t)=f(t)yf1’

(t)=T[0,f’(t)]

根据LTI系统线性特性：

yf(t)=2yf1’

(t)+6yf1(t)冲激响应求解举例2解

（1）零输入响应同上：例1：描述某系统的微分方程为y”(t)+3y’(t)+2y(t)=2f’(t)+6f(t)已知y(0-)=2，y’(0-)=0，f(t)=ε(t)求该系统的零输入响应和零状态响应。故令yzs”(t)=aδ(t)+r1(t)

yzs’(t)=r2(t)yzs(t)=r3(t)[ri(t)为不含δ(t)的某函数]代入式(1)，有（2）零状态响应yzs(t)满足方程---------方法二

yzs”(t)+3yzs’(t)+2yzs(t)=2δ(t)+6ε(t)(1)

yzs(0-)=yzs’(0-)=0

利用δ(t)系数匹配，得a=2所以yzs(t)=r3(t)（2）yzs’(t)=r2(t)（3）yzs”(t)=2δ(t)+r1(t)（4）对式(3)从0-到0+积分得yzs(0+)–yzs(0-)=0对式(4)从0-到0+积分得yzs’(0+)–yzs’(0-)=2故yzs(0+)=0，yzs’(0+)=2aδ(t)+r1(t)+3r2(t)+2r3(t)=2δ(t)+6ε(t)yzs(t)=Czs1e-t+Czs2e-2t+3求得yzs(t)=–4e-t+e-2t+3，t≥0

yzs”(t)+3yzs’(t)+2yzs(t)=2δ(t)+6ε(t)(1)yzs(0-)=yzs’(0-)=0§2.2冲激响应和阶跃响应概述：1.学习了2种求LTI系统响应的方法自由响应+强迫响应零输入相应+零状态响应

下面一节的内容，针对零状态响应的求取，找寻一种好方法。2.把一激励信号（函数），分解为冲激函数或阶

冲激响应

阶跃响应跃函数之和(积分），只要求出了系统对冲激函数或阶跃函数的响应，利用LTI系统的特性，在系统的输出端，叠加得到系统总的零状态响应，那么系统对冲激或阶跃信号的零状态响应，就是下面要学习的内容。一、冲激响应1．定义

由单位冲激函数δ(t)所引起的零状态响应称为单位冲激响应，简称冲激响应，记为h(t)。

h(t)=T[{0},δ(t)]2．系统冲激响应的求解冲激响应的数学模型对于LTI系统,可以用一n阶微分方程表示

令f(t)=(t)

则y(t)=h(t) 响应及其各阶导数(最高阶为n次)激励及其各阶导数(最高阶为m次)h(t)解的形式例:当特征根均为单根时

由于(t)及其导数在t≥0+时都为零，因而方程式②与n,

m相对大小有关

①与特征根有关举例右端的自由项恒等于零，这样原系统的冲激响应形式与齐次解的形式相同。

解：求特征根冲激响应例1求系统的冲激响应带ε(t)两种求待定系数方法：δ平衡求0+法奇异函数相平衡求待定系数法法一：求0+值确定系数代入h(t)，确定系数C1,C2，得注意：系数a同注意：系数a同代入微分方程，利用δ(t)系数匹配:a=1b=-2所以：对式(1)从0-到0+积分得:h,

(0+)–h,(0-)=–2对式(2)从0-到0+积分得:h(0+)–h(0-)=1法二：用奇异函数项相平衡法求待定系数根据系数平衡，得不用求h(0+)、h,(0+)解法三：线性时不变性质法解：求冲激响应

设h1(t)满足简单方程将边界条件代入h1(t)式，解得C1=1/2，C2=-1/2，则由系统的线性时不变特性冲激响应求解举例2

例2

描述某系统的微分方程为y”(t)+5y’(t)+6y(t)=f”(t)+2f’(t)+3f(t)求其冲激响应h(t)。解

根据h(t)的定义有h”(t)+5h’(t)+6h(t)=δ”(t)+2δ’(t)+3δ(t)(1)h’(0-)=h(0-)=0先求h’(0+)和h(0+)。由方程可知，h(t)中含δ(t)故令h”(t)=aδ”(t)+bδ’(t)+cδ(t)+r1(t)

h’(t)=aδ’(t)+bδ(t)+r2(t)h(t)=aδ(t)+r3(t)[ri(t)为不含δ(t)的某函数]代入式(1)，有aδ”(t)+bδ’(t)+cδ(t)+r1(t)+5[aδ’(t)+bδ(t)+r2(t)]+6[aδ(t)+r3(t)]=δ”(t)+2δ’(t)+3δ(t)整理得aδ”(t)+(b+5a)δ’(t)+(c+5b+6a)δ(t)+r1(t)+5r2(t)+6r3(t)=δ”(t)+2δ’(t)+3δ(t)利用δ(t)系数匹配，得a=1，b=-3，c=12所以h(t)=δ(t)+r3(t)（2）h’(t)=δ’(t)-3δ(t)+r2(t)（3）h”(t)=δ”(t)-3δ’(t)+12δ(t)+r1(t)（4）对式(3)从0-到0+积分得h(0+)–h(0-)=–3对式(4)从0-到0+积分得h’(0+)–h’(0-)=12故h(0+)=–3，h’(0+)=12微分方程的特征根为–2，–3。故系统的冲激响应为h(t)=C1e–2t+C2e–3t，t>0代入初始条件

h(0+)=–3，h’(0+)=12求得C1=3，C2=–6,所以h(t)=3e–2t–6e–3t,t>0结合式(2)得h(t)=δ(t)+(3e–2t–6e–3t)ε(t)对t>0时，有h”(t)+6h’(t)+5h(t)=03.基本单元的冲激响应

二．阶跃响应g(t)=T[ε(t)，{0}]线性时不变系统满足微、积分特性§2.3卷积积分信号的时域分解与卷积积分卷积的图解法一、信号的时域分解与卷积积分1．信号的时域分解预备知识问

f1(t)=?p(t)直观看出任意信号分解考虑：任意f(t)用许多窄脉冲表示出来如图：第k个窄脉冲出现的时刻：k△τ“0”号:脉冲高度f(0),宽度为△τ，用p(t)表示为：f(0)△τ

p(t)“1”号:

脉冲高度f(△τ),宽度为△τ，用p(t-△τ

)表示为：

f(△τ

)△τ

p(t-

△τ

)信号f(t)分解为冲激函数叠加2.任意信号作用下的零状态响应yzs

(t)f(t)根据h(t)的定义：δ(t)

h(t)

由时不变性：δ(t

-τ)h(t-τ)f(τ)δ(t

-τ)由齐次性：f(τ)h(t-τ)由叠加性：‖f(t)‖yzs(t)卷积积分3.卷积积分的定义

已知定义在区间（–∞，∞）上的两个函数f1(t)为f1(t)与f2(t)的卷积积分，简称卷积；记为

例变量，t为参变量。结果仍为t的函数。和f2(t)，则定义积分f(t)=f1(t)*f2(t)注意：积分是在虚设的变量τ下进行的，τ为积分二、卷积的图解法卷积过程可分解为四步：（1）换元：

t换为τ→得f1(τ)、f2(τ)（2）反转平移：由f2(τ)反转→f2(–τ)平移t→f2(t-τ)（3）两信号重叠部分相乘：

f1(τ)f2(t-τ)（4）相乘后图形积分：τ从–∞到∞对乘积项积分。注意：t为参变量例图解法计算卷积举例例1

f(t)、h(t)如图所示，求yzs(t)=h(t)*f(t)解h(t)函数：换元为h(τ)

f(t)函数：换元为f(τ)、反折h(τ)τf(-τ)τf(t)h(t)tt122并平移t22t

f(t-τ)h(τ)图解法计算卷积举例(2)0≤t≤1⑴t≤0

f(t-τ)：

yzs(t)=0

f(t-τ)2th(τ)(3)1≤t≤221h(τ)t1h(τ)tf(t)1τ<t≤0,h(τ)=0图解法计算卷积举例(4)2≤t≤3(5)3≤t≤+∞h(τ)t323tt-1h(τ)2例2f1(t)、f2(t)如图所示，求f(t)=f1(t)*f2(t)f1(t)t-222解f1(t)函数：换元为f1(τ)f2(t)函数：换元为f2(τ)、反折、移位tf2(t)t2¾f2(-τ)τ-2¾τf1(τ)2-22tf2(t-τ)卷积计算τf1(τ)2-22（1）-∞<t<-2

没有重叠，f(t)=0（2）-2<t<0tf2(t-τ)f1(τ)f2(t-τ)-2tτ（3）0<t<2f1(τ)f2(t-τ)tt-2τ卷积计算（4）2<t<42τf1(τ)f2(t-τ)tt-22（5）4<t

没有重叠，f(t)=0f2(t-τ)f1(τ)4τ卷积计算例3

f1(t)=3e-2tε(τ)，f2(t)=2ε(t)求

f(t)=f1(t)*f2(t)3e-2τε(τ)2ε(t-τ)t解：分析：（1）t<0:f(t)=f1(t)*f2(t)=0（3）ε(t-τ):t-τ>0即τ<t（2）ε(τ):τ>0（4）积分限：0<τ<t求某一时刻卷积值图解法一般比较繁琐，确定积分的上下限是关键。但若只求某一时刻卷积值时还是比较方便的。例：f1(t)、f2(t)如图所示，已知f(t)=f2(t)*f1(t)，求f(2)=？f1(-τ)f1(2-τ)解：（1）换元（2）f1(τ)得f1(–τ)（3）f1(–τ)右移2得f1(2–τ)（4）f1(2–τ)乘f2(τ)（5）积分，得f(2)=0（面积为0）§2.4卷积积分的性质卷积代数运算

与冲激函数或阶跃函数的卷积微分积分性质卷积的时移特性相关函数

卷积积分是一种数学运算，它有许多重要的性质（或运算规则），灵活地运用它们能简化卷积运算。一、卷积代数运算1．交换律证明卷积结果与交换两函数的次序无关一般选比较简单函数进行反转和平移证明：证明2．分配律系统并联，框图表示：

结论：并联系统冲激响应等于子系统冲激响应之和3．结合律证明系统级联，框图表示：

结论：串联系统冲激响应等于子系统冲激响应的卷积

二、与冲激函数的卷积1.f(t)*δ(t)=δ(t)*f(t)=f(t)证：信号f(t)分解为冲激函数叠加f(t)δ(t)f(t)=f(t)*δ(t)*=f(t)δ(t)=f(0)筛选特性与冲激函数的卷积—推广证：2.f(t)*δ(t–t0)=f(t–t0)与δ（t-t0)卷积相当于函数延迟t0f(t)f(t)=f(t)*δ(t-t0)δ(t-t0)*=推广：

f(t-t1)*δ(t–t2)=f(t–t1-t2)

δ(t-t1)*δ(t–t2)=δ(t–t1-t2)f(t)δ(t-t0)=f(t0)

3.若f1(t)*f2(t)=f(t)卷积的时移特性证：则

f1(t-t1)*f2(t-t2)=f1(t-t2)

*f2(t-t1)=f(t-t1-t2)

f1(t-t1)*f2(t-t2)=[f1(t)*δ(t-t1)]*[f2(t)*δ(t-t2)]=[f1(t)*δ(t-t2)]*[f2(t)*δ(t-t1)]=f1(t-t2)*f2(t-t1)且f1(t-t1)*f2(t-t2)=[f1(t)*δ(t-t1)]*[f2(t)*δ(t-t2)]=[f1(t)*f(t2)]*[δ(t-t1)*δ(t-t2)]=f(t)*δ(t-t1-t2)=f(t-t1-t2))

f1(t-t1)*f2(t-t2)=f1(t-t2)*f2(t-t1)=f(t-t1-t2)卷积的时移特性—应用f1(t-t1)

t1f2(t-t1)

t1f2(t-t2)

t2f1(t-t2)

t2f(t-t1-t2)

t1+t2f(t-t1-t2)

t1+t2**==与阶跃函数的卷积ε(t)*ε(t)=tε(t)3.f(t)*ε(t)推广：注意：ε(t)*ε(-t)不存在卷积性质例题1.ε(t+3)*ε(t-5)例1解：2.e-2tε(t+3)*ε(t-5)方法一.

ε(t+3)*ε(t-5)分析：

ε(τ+3)：τ>-3ε(t-τ-5)：τ<t-5ε(t+3)*ε(t-5)分析：

t-5>-3

,t>2ε(t+3)*ε(t-5)=(t-2)ε(t-2)1.ε(t+3)*ε(t-5)卷积性质例题ε(t+3)*ε(t-5)例1解：方法二.ε(t)*ε(t)=tε(t)ε(t+3)*ε(t-5)=tε(t)*δ(t+3-5)分析：

=[t-（-3）-5)]利用性质及结论

f1(t-t1)*f2(t-t2)=f(t-t1-t2)

=(t-2)ε(t-2)三、卷积的微积分性质1.

若f(t)=f1(t)*f2(t)=f1(t)*f2(t)则f（1）(t)=f1（1）(t)*f2(t)=f1(t)*f2（1）(t)证明：f（1）(t)=

同理：f（1）(t)=

卷积的积分性质若f(t)=f1(t)*f2(t)=f1(t)*f2(t)2.则证明：f(-1)(t)==f1(t)*f2(-1)(t)卷积的积分性质3.在f1(–∞)=0或f2(–1)(∞)=0的前提下，同理：f(-1)(t)==f2(t)*f1(-1)(t)=f1（-1）(t)*f2(t)f1(t)*f2(t)=f1’(t)*f2(–1)(t)f1(-∞)=f2(-∞)=0卷积性质的推广例1杜阿密积分：LTI系统：（1）利用定义式直接进行积分：对于容易求积分的函数比较有效。如指数函数、多项式函数等。（2）图解法：特别适用于求某时刻点上的卷积值。（3）利用性质：比较灵活。

卷积的求解：重点、难点求解卷积的方法可归纳为：推广：f(i)(t)=f1(j)(t)*f2(i-j)(t)