2017步步高高考数学专用理科大一轮复习讲义课件2b教师版第四章三角函数解三角形16份

21＋cos221－cos21＋sin

α1－sin

α cos2)tan sinα

1－cos＝ ＝sinα＝cosasinx＋bcosx＝ 其中sin cos

y＝3sinx＋4cos

＝ ＝在非直角三角形中有：tanA＋tanB＋tanC＝tanAtanBtan √

15设2<θ<3π，且|cosθ|＝5，那么sin2的值为5 asinx＋bcosx＝a2＋b2sin(x＋φ)中φ的取值与a，b的值无关．( 已知cos

答 －α

π

解 1＋cos2 1＋cos2 3

6363cos10°－3sin1答 221cos10°－2sin－cos ＝2sin20°sin15°－3cos 答 －解 sin15°－3cos＝－2sin45°＝－ π π 若f(x)＝2tan 的值 答

sin2cos21－2sin222解 ∵f(x)＝2tan2sin＝2tanx＋2cossin

1sin ＝4sinxcos sin∴fπ＝466

sin若锐角α、β满足(1＋3tanα)(1＋3tanβ)＝4，则 解 由(1＋3tanα)(1＋3tantanα＋tan可 ＝3，即tan(α＋β)＝1－tanαtan33.题型一22例

，，且2sinα－sinα·cosα－3cosα＝0，则 sin2α＋cos2α＋12626答 (1)2cos 解

24cosx－4cosπ－

2π－ π－·cos π－ ＝cos22x2cos

2cos (2)∵α∈，22sinα－sinα·cosα－3cosα＝0，则(2sinα－3cosα)·(sinα＋cos∴2sinα＝3cosα， ∴cos 2 sin 3 ∴

sin2α＋cos2sinα＋cos＝sinα＋cos

8思维升华(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则，一看角，二看名，三看式子结构与特 cos9·cos9

9

1＋cos 若sin2α＝2，则tan 答 解 cos9·cos ＝cos9·cos9π·cos9π·sin＝99 ＝2sin9π·cos9π·cos＝9sin9 9＝8sin9πsinπ9＝881＋cos cos sin2α＝2sinαcosα＝sin＝∴tanα＝2，∴tan 2tanα＝4 ＝4 1－4题型二＝例 (1)已知锐角α，β满足sin 5，cosβ 3＝

＝102

(2)x＋3ax＋3a＋1＝0(a＞1)tanα、tanβα、β∈－2，2 答 解 (1)由sinα＝5，cosβ＝310且α，β为锐角 cosα＝25，sinβ＝ cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsin＝2 3 5 10 25×10－5×10＝20<α＋β<π依题意有

tanα＋tan＝

1－tanα·tan

又

∴tanα＜0tan∴－π＜α＜0 4即－π＜α＋β＜0tan(α＋β)＝1，得α＋β＝－4思维升 通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，有以下原则 tan

在△ABC中，tanA＋tanB＋3＝3tanA·tanB，则 答 — 解 (1)∵tan

tanα－β＋tan1－tanα－βtan1π 1π ＝>0，又

2tan

1 又∵tan

2

1－tan 1－ tan2α－tan

＝＋ ＝＋ tan2αtan

∵tan

744

(2)tanA＋tanB＝3(tanA·tantanA＋tan ＝－1－tanAtan 题型三

例 (1)a＝

(2)fπ＝0，f(π)＝1a，θ (1)f(x)＝sinx＋π＋ 2＝2(sinx＋cosx)－2sin2＝2cosx－ 2sin

x∈[0，π]，从而 2f(x)在[0，π]上的最大值为22

θ∈－2，2cosθ≠0，解得 思维升华三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式再研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特(1)(2014·课标Ⅱ)函数f(x)＝sin(x＋φ)－2sinφcosx的最大值 答

－4)－22sinx的最小正周期 解 (1)因为f(x)＝sin(x＋φ)－2sinφcos＝sinxcosφ－cosxsin－1≤sin(x－φ)≤1f(x)2sin(2)∵f(x)2sin

-2cos-

-21－cos＝2sin2x＋2cos2x－2＝sin(2x＋π－ 22 典 (14分)(2015·重庆)已知函数f(x)＝sin2－xsinx－3cos (2)f(x)在63思维点 (1)讨论形如y＝asinωx＋bcosωx型函数的性质一律化成 (2)y＝Asin(ωx＋φ)ωx＋φsinx (1)f(x)＝sinπ－xsinx－ ＝cosxsinx－3(1＋cos2x)＝1sin2x－3cos2x－3＝sin2x－π－3，[5分

2－2f(x2－2

.[7分当

π，[8分 3 从而当

5π时，f(x)单调递增，[10分 6≤当 2≤2x－3≤π，即12≤x3时，f(x)单调递减．[12分综上可知，f(x)在π，5π上单调递增；在5π，2π上单调递减．[14分 3 (1)讨论三角函数的性质，要先利用三角变换化成y＝Asin(ωx＋φ)，φ的确定一定[方法与技巧式整理为[与防范利用辅助角，asinx＋bcosx转化时一定要严格对照和差，防止弄错辅助角计算形如y＝sin(ωx＋φ),x∈[a，b]形式的函数最值时，不要将ωx＋φ的范围和x的范围A组(时间：40分钟

1．若sin6－α＝3，则cos3 7答 解

2

sin2α＝3cos答 6

＝解 因为 ＝

1－sin 1－sin

＝

31 31答 5

＋6－sin

5，则sinα＋6 解 ∵cosα＋π－sinα＝3 3 ∴cos sin 3 ∴2cosα－2sin∴sinα＋5π＝－3sinα＋1cos 6

若sin2α＝5，sin(β－α)＝10，且α∈4，π，β∈π，2，则 解 ∵sin2α＝ ∴α∈π，π，cos2α＝－2 5 2 4∴cos(β－α)＝－3＝cos2αcos(β－α)－sin＝－25×－310－5×10＝ 5 10 又 44

f(x)＝sin(2x＋θ)＋区间

对称，则 π 答 解 ∵f(x)＝sin(2x＋θ)＋ 由题意知 33 3由

kπ－7π≤x≤kπ－π 已 θ)＝3，则sin2θ－2cos2θ的值 4答 4解 41＋tan ＝3，解得tan1－tan∵sin2θ－2cos2θ＝sin2θ－cos2sinθcos

2 2sinθ＋cos sinθ＋cos2tan

2 21＋tan 1＋tan ＋若tan 1＋

α∈

π

π的值 答 －

tanα＝3

解 由tanα＋1＝10得sinα＋costan cos sin ∴sin sinαcos ∵α∈(π，π，∴2α∈ 5∴cos5∴sin(2α＋π＝sin2αcosπ＋cos2αsin ＝2×3－4)＝－ α、βsinα－sin

cosα－cos

答 －解 ∵sinα－sinβ＝－1，cosα－cos 2两式平方相加得：2－2cosαcosβ－2sinαsin2 2∵α、βsinα－sin2 4 1－cos2α－β＝－4

739f(x)＝2cosx(sinx＋cos7344 (1)f5π＝2cos5πsin5π＋cos4 4 4＝－2cosπ－sinπ－cos (2)f(x)＝2sinxcos＝sin2x＋cos＝ 2T＝2π＝πf(x)2由 得 8 f(x)的单调递增区间为 2

2，x∈R((2)若函数f(x)的图象与直线

π2

(1)f(x)＝ ＋1cosωx＋ －1cosωx－(cossin 2sin ＝23sinωx－1cos f(x)的值域为ωf(x)π，所以2π＝πω 再由 2kπ＋π 解得

f(x)

B组(时间：20分钟

π

πtan

1＋sin

1＋sin

sin

1＋sin

cosβ解 由tan

cosβ得cos

cosβsinαcosβ＝cosα＋cosαsin∴sin(α－β)＝cos

∵α∈(0，π，β∈(0，π ∴α－β∈(－π，π，π－α∈(0，π

π－α)

1sin sinβ 3

解 依题意有sinαcosβ－cosαsinβ＝sin(α－β)＝3 故 cosα＝1，∴sinα＝4 sin＝sinαcos(α－β)－cos＝4 3 37×14－7×14＝2若f(x)＝3sinx－4cosx的一条对称轴方程是x＝a，则a

①，4；②4，2；③2，4；④4答 解 因为f(x)＝3sinx－4cosx＝5sin(x－φ)其中tanφ＝4且0＜φ＜π，则 a－φ＝kπ＋π，k∈Za＝kπ＋π＋φ，k∈Ztanφ＝40＜φ＜π，所以 kπ＋3π＜a＜kπ＋π，k∈Zk＝04

． x∈

，则函

sin 的最小值 答 2－cos解 方法 因为

sin2x

sin2x

2－cos2x＝sin2x 所以k就是单位圆x2＋y2＝1的左半圆上的动点P(－sin2x，cos2x)Q(0,2)所成直线的斜率．又kmin＝tan60°＝3，y＝sin2x的最小值为 方法

sin2x

2sinxcos ＝2tanx＝2tanx＋2tan∵x∈(0，π，∴tan 1 1 ∴2tanx＋2tan 2tanx·2tanx＝(tanx＝3x＝π时取等号 即函数的最小值为15f(x)＝2cos2ωx－1＋2