随机过程考卷

2002年《随机过程理论》考卷随机过程A(t)(i=1,2,...,n)独立同分布且RA(t)=82e-甘，0,(i=1,2,...,n)相互独立且服从［0,2兀］内的均匀分布，A(t),0,(i=1,2,...,n)相互独立。设X(t)=UA(t)cos(st+0)，求X(t)的自相关函数与功率谱密度。TOC\o"1-5"\h\zi i ii=1功率谱密度为S(s)=飞的高斯白噪声X(t)通过一线性系统后，Y(t)=IrX(a)da。x2 项求R^(t)、Sxy(s)和Y(t)的均方值E\Y2(t)］。一个随机过程Y(t)=X(t)cosst+X(t)sinst，其中s为常数，X(t),X(t)为相互独立的平稳高斯过程，1 0 2 0 0 1 2自相关函数均为Rx(t)=82cos①仲。求Y(T),Y(2T)，…,Y(NT)的联合概率密度，并讨论当T为什么值时Y(T),Y(2T),…,Y(NT)相互独立。设窄带平稳高斯随机过程为X(t)=X(t)cosst-X(t)sinst，其中s为常数，试用X(t),X(t)推导c 0s 0 0 c sSXX(s)。(希尔伯特变换)cs设X,(t)(i=1,2,...,n)为分别具有参数为七,(i=1,2,...,n)的统计独立的泊松过程。证明：Y(t)=YX,(t)服从i=1参数为人+人+…+人的泊松过程。并求Y(t)的均值和均方值。(特征函数)1 2 n1… 2,一质点在［1,5］随机移动，在1点以概率为1向右，在2、3、4点以概率3向左，3向右，在5点以概率1留在原地。求从点2到点3的三步转移概率。(转移矩阵)一、简答随机过程的正交、互不相关和互相独立及其相互关系。答：教材P49如果对任意的t,t，…t和t,t'，…t'有12n12mf3,x，…工；t,t，…t;y,y，…y;t',t，…t')XY1 2n12n1 2m12m=f(x,X，…x;t,t，…t)f(y,y，…y;t',t'，…t')X1 2n12nY1 2m12m则称X(t)和Y(t)之间是相互独立的。两个随机过程X(t)和Y(t)，如果对任意的t1和t2都有互协方差函数为0，即=(\,t2)=0

则称X(t)和Y(t)之间互不相关。两个互相独立的随机过程必不相关，反之不一定。(高斯随机过程的互不相关与互相独立等价)③两个随机过程X(t)和Y(t)，如果对任意的t1,t2eT，其互相关函数等于零，即Rxy(,t2)=0则称X(t)和Y(t)之间正交。而且正交不一定互不相关。(均值为零的两随机过程正交与互不相关等价)随机过程的各态历经性及实际意义。答：教材P65〜69平稳过程的各态历经性，用数学语言来说，即关于(充分长)时间的平均值，近似地等于观察总体的集合平均值。如对均方连续的实平稳过程｛X(t),te(-^,8)｝,mx=E［X(t)］是X(t)的均值，是平稳过程中所有可能出现的曲线(样本函数)的集合平均值。而对X(t)中任一现实曲线x(t)，mT=2t尸x(t)dt是x(t)在［-T,T］对时间t的平均值，称为时间平均值。显然X(t)的每一曲线都在mx的上下波动，则可以想象，当T充分长时该现实曲线x(t)可以很好地代表实平稳过程｛X(t),te(-8,8)｝的整个性质，如mT注mx。对于这样的平稳过程，称具有各态历经性，但只在一定条件下的平稳过程，才具有各态历经性。要讨论平稳过程的数字特征，就应该知道一族样本函数。而样本函数往往需要经过大量的观察实验，然后用数理统计的点估计理论进行估计才能取得，其要求是很高的。讨论平稳过程的历经性，就是讨论能否在较宽松的条件下，用一个样本函数去近似计算平稳过程的均值、协方差函数等数字特征。高斯随机过程的互不相关与互相独立等价。答：教材P159-160必要性若X1，X2,…Xn是相互独立的正态随机变量，则必有f(x,x，…，x)=f(x)f(x)…f(x),X1 1 X2 2 X1 1 X2 2 Xnn甲X(v1,v2,…,V)*xVX2".•甲Xn(Vn)=Hexp|j四i=1=exp]j2四v-1£b2v2Ii=1 i=1其中，=ElXJb；=D[XJi=1,2,…,n.b22b22000000b2n是协方差矩阵，显然，i是协方差矩阵，显然，i卫k时，Ck=0，故X/与Xk是不相关的。充分性若X1,%,…,Xn是两两互不相关的正态随机变量，则C=印X^-七)(X-B)]=0,k。i/ 、L1八平(v,v，…，v)=exp〈jVT^-—vtCvTOC\o"1-5"\h\zX12n I 2其中v=(v,v，…,v)T,p=(日,日，…,日)T，C为协方差矩阵，因而有1 2n 1 2 n平(v,v,.•.,v)=exp\jXpv-—XCv2X12n Iii2iiiIi=1 i=1=HexpIj四v-1Cv2)=n甲(v)Iii2iiiI Xjii=1 I 'i=1其中甲x.([)是正态随机变量Xi的特征函数。依特征函数性质知x1,x2，…，x〃相互独立。泊松过程是非平稳随机过程。答：教材P56，P184设｛X(t),ET｝是一个随机过程，E[X2(t)]<8，且E[X(t)]=m=const和R(t,t)=E[X(t)X(t-t)]=R(t),t=t-1X 12 1 2则称｛x(t),tgT｝为广义随机平稳。泊松计数过程均值E[N(t0+1,t0)]=Xt，均方值E[N2(t0+1,t0)]=(kt)2+人t，相关函数R(t,t)=X2tt+Xmin(t,t)，N12 12 12不符合上述定义，因此泊松过程是非平稳随机过程白噪声过程是零阶马尔可夫过程。什么叫无记忆过程？白噪声过程是无记忆过程吗？答：教材P53〜54随机过程按记忆特性分类：纯粹随机过程(无记忆)，指在一给定的t1，用X(t)定义的随机变量，与所有其他的t2，用X(t)定义的随机变量是相互独立的。白噪声是其一个重要的例子。马尔可夫过程：一阶、二阶、高阶马尔可夫过程；纯粹随机过程又称零阶马尔可夫过程。独立增量过程，独立增量过程｛X(t),t>0｝是一个马尔可夫过程。二、设随机过程X(t)=Ucos①t+Vsin①t，Y(t)=Usin①t+Vcos①t，Z(t)=-Usin①t+Vcos①t。其中s>0，U和V是两个相互独立的随机变量，且E[U]=E[V]=0，E[U2]=E[V2]=c2。(1)证明：X(t)、Y(t)和Z(t)各自是广义平稳的随机过程。(2)证明：X(t)和Y(t)不是广义联合平稳的。

(3)证明：X(t)与Z(t)是两个平稳相关的随机过程。X(t)的均值，自相关函数是各态历经的么？证明：X(t)的均值E[X(t)]=E[U]cos①t+E[V]sin①t=0均方值E[X2(t)]=E[U2]cos2①t+E[V2]sin2①t+2E[UV]sin皿cos皿=b2<sTOC\o"1-5"\h\z自相关函数R(t,t)=R(T)=b2cosOT,T=t-tX12X 1 2所以X(t)是广义平稳的随机过程，同理Y(t)和Z(t)是广义平稳的随机过程。证明：R(t,t)=E[(Ucosot+Vsinot)(Usin①t+Vcosot)]XY12 1 1 2 2=E[U2]cosotsinot+E[V2]sinotcosot+E[UV]coso(t-1)1 2 1 2 1 2=b2sino(t+1)=b2sino(t+2t),t=t-1因此R*.t2)不仅与T有关，得出X(t)和Y(t)不是广义联合平稳的。证明：R(t,t)=E[X(t)Z(t)]XZ12 1 2=E[(Ucosot+Vsinot)(-Usinot+Vcosot)]=-b2sinot,t=t-1类似的，有R(t,t)=b2sinotZX12所以X(t)与Z(t)是两个平稳相关的随机过程。(4)解：由于RX(T)=b2cosot及mX=0，故有b2cosotdT==lim胃J2T

t*T0cosotdT=0因此X(t)的均值是各态历经的。(用定理证)设X(t)=ucosot+Vsinot是X(t)的一个代表性样本函数，u和v分别是随机变量U和V的样本值。(用定义证，自相关函数的各态历经性定理要计算四阶矩，通常不用)R(T)=X(t+T)X(t)XT=lim—!—JT[ucoso(t+t)+vsino(t+t)]Ucosot+vsinot]dt2T-t「 1T=lim u2coso(t+t)cosot+v2sino(t+t)sinot+uvsino(2t+t)dtT*2T-t]+uvsin]+uvsin①(2t+e)dtu2+v2 1 cos3E+lim—2 T*2TI4u2—v2sin3(2T+e)+sin3(2T-e)uvcos3(2T+E)+cos3(2T-e)—lim—j'—[cos①(2t+t)+cos①e] [cos①(2t+t)—cos①eu2+v2 cos3E2由此式看出，自相关函数的时间平均依赖于被选择的样本函数。对于不同的样本函数，u和v的值不同，自相关函数时间平均值也不同，因此X(t)没有自相关函数的各态历经性。三、设平稳随机过程X(t)的自相关函数RX(e)—e-E0令Y(t)—X(t)cos(301+0)，其中3>0，0为［0,2兀］均匀分布的随机变量，且X(t)与0相互独立。求Y(t)的自相关函数和功率谱密度。TOC\o"1-5"\h\z解：R(t,t)—E[cos(3t+0)cos(3t+0)]Z12 01 02=E[—cos(3t-3t)+Lcos(3t+3t+20)]2 01 02 2 01 02=!cos3(t-1)+^{cos3(t+1)E[cos20]-sin3(t+1)E[sin20]}2 01 2 2 01 2 01 2=Lcos3(t一t)=Lcos3e—R(e),e—t一t2 01 2 2 0Z 1 2R(t,t)—E[Y(t)Y(t)]Y12 1 2—E[X(t)cos(3t+0)X(t)cos(3t+0)]1 01 2 02—E[X(t)X(t)]E[cos(3t+0)cos(3t+0)]1 2 01 02—R(e)R(e)—R(e),e—t-1XZ Y 1 2=2e-Hcos3e,e=t-12 兀— 、s、〜S(3)—1 ，S(3)——[0(3-3)+0(3+3)],、 1 ,、 ,、 1 ,、 ，、1S(3)———S(3)*S(3)—Y 2兀XZc,、、+—、2"1+(3—3)21+(3+3)2/四、已知R(e)—e-e2，如果Y(t)=X(t)+dX(t)，求R(e)o(教材P124题3.4)X dt Y解q(E)-E[Y(t)Y(t-E)]—E{X(t)+X(t)][X(t-e)+乂(t-e)]}—E[X(t)X(t-e)+X(t)X(t-e)+X(t)X(t-e)+X(t)X(t-e)]

=R(T)-R"(T)+R'(T)-R'(T)X X X X=R(T)-R"(T)=(3-4t2)e-t2「1,g|VB五、X(t)是一个平稳的高斯随机过程，其功率谱密度为七(3)=]0’其他其中B为常数。(参考教材P179题5.5)1.求X(t)的一维概率密度。2.求X(t)的二维联合概率密度，并问当ti,t2是什么关系时X叩X(t2)相互独立。解：1.R(t)=2—iBej®Tdw=—fBcos①tdw=-TsinBT,t=t一t日2(t)=limR(t)=lim-!-sinBT=0所以^=0TOC\o"1-5"\h\zX TT8 TS—T X— 1 Bb2(t)=E[X2(t)]=R(0)=lim——sinBT=一X J0—T —…、 1I X2I B所以X(t)的一维概率密度为fX(X)=-j==—-exp「^--j其中bX=—X X2.p=["(t),气(t)K=0E[x(t)X(t)]=R(t,t)=R(T),T=t-11 2 X12X 1 2E[X2(t1)]

E[X(t)X(tE[X2(t1)]

E[X(t)X(t)]2 1E[X(t1)X(t2)T

E[X2(t2)]BsinBtTsinBtTB1—,T=t—t— 1 2所以X(t)的二维概率密度为f(X,X;T)=—1—exp[-1[x,XX12 2—|C|2 1212]C-1X1X2X(t),X(t)相互独立等价于X(t),X(t)互不相关。因此C=C=0，1 2 1 2 12 21sinBT即一T所以Bt=k-,(k=±1,±2,…)，即t1,t2应满足t1-12=石,(k=±1,±2,…)的条件时X(t1),X(t2)相互独立。(相似题：教材P179题5.9)高斯随机过程，它的均值和相关函数完全刻画了该过程的统计特性。N-,、—六、如图，设X(t)为高斯白噪声随机过程，其自相关函数为Rx(T)=苛5(t)，T为延迟。(教材P126题3.19图)1.求X(t),Z(t)的互相关函数Rxz(T)。2.求Z(t),X(t)的互相关函数R(t)。ZX解：1.系统冲激响应为h(t)=\§(t)-5(t-T)]*u(t)=u(t)-u(t-T)R^(t)=Rx(t)*h(-t)=%5(t)*[u(-t)一u(-t-T)]=%\u(-T)-u(-t-T)]2.R^(t)=Rx(t)*h(T)=%5(t)*\u(t)-u(t-T)]=%\u(t)-u(t-T)]N七、如图所示系统中，自相关函数为苛5(t)的白噪声分成两路经过频率响应特性分别为H(肿)和H