2023年长宁区高考数学二模含答案

PAGEPAGE12023年长宁(嘉定)区高考数学二模含答案考生注意：1．答题前，务必在答题纸上将姓名、学校、班级等信息填写清楚，并贴好条形码．2．解答试卷必须在答题纸规定的相应位置书写，超出答题纸规定位置或写在试卷、草稿纸上的答案一律不予评分．3．本试卷共有21道试题，总分值150分，考试时间120分钟．一．填空题〔本大题共有12题，总分值54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分〕考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．集合，，假设，那么实数_______．2．的展开式中的第项为常数项，那么正整数___________．3．复数满足〔为虚数单位〕，那么____________．4．平面直角坐标系中动点到定点的距离等于到定直线的距离，那么点的轨迹方程为______________．5．数列是首项为，公差为的等差数列，是其前项和，那么_______．6．设变量、满足条件那么目标函数的最大值为_________．7．将圆心角为，面积为的扇形围成一个圆锥的侧面，那么此圆锥的体积为___________．8．三棱锥及其三视图中的主视图和左视图如以下图所示，那么棱的长为________．2224左视图PABC主视图9．某商场举行购物抽奖促销活动，规定每位顾客从装有编号为、、、的四个相同小球的抽奖箱中，每次取出一球记下编号后放回，连续取两次，假设取出的两个小球编号相加之和等于，那么中一等奖，等于中二等奖，等于或中三等奖．那么顾客抽奖中三等奖的概率为____________．10．函数的定义域为，那么实数的取值范围是_________．11．在△中，是的中点，，，那么线段长的最小值为____________．12．假设实数、满足，那么的取值范围是____________．二．选择题〔本大题共有4题，总分值20分，每题5分〕每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．“〞是“〞的………………〔〕．〔A〕充分非必要条件〔B〕必要非充分条件〔C〕充分必要条件〔D〕既非充分又非必要条件14．参数方程〔为参数，且〕所表示的曲线是………………〔〕．〔A〕直线〔B〕圆弧〔C〕线段〔D〕双曲线的一支15．点在边长为的正方形的边上运动，是的中点，那么当沿运动时，点经过的路程与△的面积的函数的图像的形状大致是以下图中的……………〔〕11122.5yOxyOx1122.5yOx1122.5yOx1122.5〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕16．在计算机语言中，有一种函数叫做取整函数〔也叫高斯函数〕，它表示等于不超过的最大整数，如，．，，〔且〕，那么等于………〔〕．〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕〔反面还有试题〕三、解答题〔本大题共有5题，总分值76分〕解答以下各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17．〔此题总分值14分，第1小题总分值6分，第2小题总分值8分〕函数．〔1〕求函数的最小正周期和值域；〔2〕设，，为△的三个内角，假设，，求的值．18．〔此题总分值14分，第1小题总分值6分，第2小题总分值8分〕DPABC如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，∥，，，，平面．DPABC〔1〕求异面直线与所成角的大小；〔2〕求二面角的余弦值．19．〔此题总分值14分，第1小题总分值6分，第2小题总分值8分〕某创新团队拟开发一种新产品，根据市场调查估计能获得万元到万元的收益．现准备制定一个奖励方案：奖金〔单位：万元〕随收益〔单位：万元〕的增加而增加，且奖金不超过万元，同时奖金不超过收益的．〔1〕假设建立函数模型制定奖励方案，试用数学语言表述该团队对奖励函数模型的根本要求，并分析函数是否符合团队要求的奖励函数模型，并说明原因；〔2〕假设该团队采用模型函数作为奖励函数模型，试确定最小的正整数的值．20．〔此题总分值16分，第1小题总分值4分，第2小题总分值6分，第3小题总分值6分〕椭圆：〔〕的焦距为，点关于直线的对称点在椭圆上．〔1〕求椭圆的方程；〔2〕如图，过点的直线与椭圆交于两个不同的点、〔点在点的上方〕，试求△面积的最大值；MOxylPCD·〔3〕假设直线经过点，且与椭圆交于两个不同的点、，是否存在直线：〔其中〕，使得、到直线的距离、满足恒成立？假设存在，求出的值；假设不存在，请说明理由．MOxylPCD·21．〔此题总分值18分，第1小题总分值4分，第2小题总分值6分，第3小题总分值8分〕数列的各项均为正数，其前项和为，且满足．数列满足，，且等式对任意成立．〔1〕求数列的通项公式；〔2〕将数列与的项相间排列构成新数列，，，，…，，，…，设该新数列为，求数列的通项公式和前项的和．〔3〕对于〔2〕中的数列的前项和，假设对任意都成立，求实数的取值范围．2023学年长宁、嘉定高三年级第二次质量调研数学试卷参考答案与评分标准一．填空题〔本大题共有12题，总分值54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分〕1．2．3．4．5．6．7．8．9．10．11．12．二．选择题〔本大题共有4题，总分值20分，每题5分〕每题有且只有一个正确选项．13．A14．C15．B16．D三、解答题〔本大题共有5题，总分值76分〕17．〔此题总分值14分，第1小题总分值6分，第2小题总分值8分〕〔1〕，……………〔每对一步得1分〕〔4分〕所以，的最小正周期，值域为．……………〔6分〕〔2〕由，得，………〔2分〕因为，所以，故，．……〔5分〕因为在△中，，所以，…………〔6分〕所以，．…………〔8分〕18．〔此题总分值14分，第1小题总分值6分，第2小题总分值8分〕〔1〕法一：以、、所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，………………〔1分〕那么，，，，………〔2分〕所以，，，………〔3分〕因为，所以，．……〔5分〕所以，异面直线与所成角的大小为．…………………〔6分〕〔1〕法二：连结，因为，所以，………〔1分〕由∥，得，所以，………………〔2分〕所以，于是，即，…………〔4分〕又平面，所以，所以平面，故．所以，异面直线与所成角的大小为．………………〔6分〕〔2〕由〔1〕平面，所以是平面的一个法向量．〔1分〕设平面的一个法向量为，因为，，那么由得取，那么，，故．……〔5分〕设与的夹角为，那么．……………〔7分〕由图形知二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值为．……〔8分〕19．〔此题总分值14分，第1小题总分值6分，第2小题总分值8分〕〔1〕设函数模型为，根据团队对函数模型的根本要求，函数满足：当时，①在定义域上是增函数；②恒成立；③恒成立．…………〔3分，每项得1分〕对于函数，当时，是增函数；，所以恒成立；但时，，即不恒成立．因此，该函数模型不符合团队要求．………………〔6分，每项得1分〕〔2〕对于函数模型，当即时递增．………………〔2分〕当时，要使恒成立，即，所以，；……………………〔4分〕要使恒成立，即，恒成立，得出．………………………〔6分〕综上所述，．…………………〔7分〕所以满足条件的最小正整数的值为328．………〔8分〕20．〔此题总分值16分，第1小题总分值4分，第2小题总分值6分，第3小题总分值6分〕〔1〕点关于直线的对称点为，……………〔1分〕因为在椭圆上，所以，又，故，………………〔3分〕那么．所以，椭圆的方程为．……〔4分〕〔2〕由题意，直线的斜率存在，设的方程为，由得，………………〔1分〕由△，得．………………〔2分〕设，，那么，，且，，所以，．…………………〔3分〕令，那么，所以，，因为〔当且仅当时等号成立〕，此时．……………〔5分〕所以，当且仅当，即时，△的面积取最大值．…………〔6分〕〔3〕当直线的斜率不存在时，的方程为，此时，，等式成立；………………〔1分〕当直线的斜率存在时，设直线的方程为，由得，……〔2分〕设，，那么，，由题意，与一个小于，另一个大于，不妨设，那么，所以，，………………〔4分〕即，解得．…………〔5分〕综上，存在满足条件的直线，使得恒成立．………………〔6分〕21．〔此题总分值18分，第1小题总分值4分，第2小题总分值6分，第3小题总分值8分〕〔1〕由，即，所以，两式相减得，，…………………〔1分〕故，………〔2分〕因为，所以．………〔3分〕又由得．所以，数列是首项为，公差为的等差数列．所以，数列的通项公式为．…………〔4分〕〔2〕由题意，数列是首项为，公比为的等比数列，故．…………〔1分〕所以，………〔3分〕数列的前项和，数列的前项和．…〔5分〕所以，．………………〔6分〕〔3〕当为偶数时，设〔〕，由〔2〕知，，，由，得，…………〔1分