高等代数北大版第章习题参考答案

高等代数北大版第章习题参考答案内部编号：(YUUT-TBBY-MMUT-URRUY-UOOY-DBUYI-0128)第七章线性变换5)在P[x]中，Af(x)=f(x+1)；6)在P[x]中，Af(x)=f(x0),其中x0P是一固定的数； 。解1)当a=0时,是;当a0时,不是。2)当a=0时,是;当a0时,不是。4)是.因取a=(x,x,x),=(y,y,y),有123123A(a+)=A(x+y,x+y,x+y)11223311222233111223112231Aka=A(kx,kx,kx)1235)是.因任取f(x)P[x],g(x)P[x],并令u(x)=f(x)+g(x)则A(f(x)+g(x))=Au(x)=u(x+1)=f(x+1)+g(x+1)=Af(x)+A(g(x))，再令v(x)=kf(x)则A(kf(x))=A(v(x))=v(x+1)=kf(x+1)=kA(f(x))，6)是.因任取f(x)P[x],g(x)P[x]则.A(f(x)+g(x))=f(x)+g(x)=A(f(x))+A(g(x))，0A(kf(x))=kf(x)=kA(f(x))。0A(X+Y)=B(X+Y)C=BXC+BYC=AX+AY，A(kX)=B(kX)=k(BXC)=kAX，故A是Pnn上的线性变换。A4=B4=C4=E,ABBA,A2B2=B2A2，并检验(AB)2=A2B2是否成立。解任取一向量a=(x,y,z)，则有Aa=(x,-z,y),A2a=(x,-y,-z)，A3a=(x,z,-y),A4a=(x,y,z)，Ba=(z,y,-x),B2a=(-x,y,-z)，B3a=(-z,y,x),B4a=(x,y,z)，Ca=(-y,x,z),C2a=(-x,-y,z)，C3a=(y,-x,z),C4a=(x,y,z)，所以A4=B4=C4=E。2)因为AB(a)=A(z,y,-x)=(z,x,y)，BA(a)=B(x,-z,y)=(y,-z,-x)，3)因为A2B2(a)=A2(-x,y,-z)=(-x,-y,z)，B2A2(a)=B2(x,-y,-z)=(-x,-y,z)，所以A2B2=B2A2。3)因为(AB)2(a)=(AB)(AB(a))_=AB(z,x,y)=(y,z,x)，A2B2(a)=(-x,-y,z)，所以(AB)2A2B2。3.在P[x]中，Af(x)=f'(x),Bf(x)=xf(x)，证明:AB-BA=E。证任取f(x)P[x]，则有(AB-BA)f(x)=ABf(x)-BAf(x)=A(xf(x))-B(f'(x))=f(x)+xf;(x)-xf'(x)=f(x)所以AB-BA=E。A2B-BA2=(A2B-ABA)+(ABA-BA2)=A(AB-BA)+(AB-BA)A=AE+EA2=a，结论成立。归纳假设k=m时结论成立，即AmB-BAm=mAm1。则当k=m+1时，有Am+1B-BAm+1=(Am+1B-AmBA)+(AmBA-BAm+1)=Am(AB-BA)+(AmB-BAm)A=AmE+mAm1A=(m+1)Am。即k=m+1时结论成立.故对一切k>1结论成立。5.证明：可逆变换是双射。2n12n12n12n12n12n12n7.求下列线性变换在所指定基下的矩阵:123|1|132)[o;c,c]是平面上一直角坐标系,A是平面上的向量对第一和第三象限角12的平分线的垂直投影,B是平面上的向量对c的垂直投影，求A,B,AB在基223)在空间P[x]中，设变换A为f(x))f(x+1)_f(x)，n试求A在基c=x(x_1)…(x_i+1)1(I=1,2,…,n-1)下的矩阵A；ii!4)六个函数c=eaxcosbx,c=eaxsinbx，c=xeaxcosbx,c=xeaxsinbx，1234c=1x2eaxcosbx,c=1eaxx2sinbx，的所有实数线性组合构成实数域上一个六1212i5)已知P3中线性变换A在基n=(-1,1,1),n=(1,0,-1),n=(0,1,1)下的矩阵123其中|1|133求在基c=(1,0,0),c=(0,1,0),c=(0,0,1)下的矩阵；1237)同上，求A在n,n,n下的矩阵。解1)Ac=(2,0,1)=2c+c，Ac=(-1,1,0)=-c+c，Ac=(0,1,0)=c，113212322)取c=(1，0)，c=(0，1)，则Ac=1c+1c，Ac=1c+1c，121212222122 (22) (22)(AB)c=A(Bc)=Ac=1c+1c，2222122 (2) (2)3)因为c=1,c=x,c=x(x-1),…,c=x(x-1)…[x-(n-2)]，0122!n-1(n-1)!00n-1(n-1)!(n-1)!=x(x-1)…[x-(n-3)]{(x+1)-[x-(n-2)]}(n-1)!=c，n-201n-14)因为Dc=ac-bc,Dc=bc-ac,c，2126Dc=c+ac-bc,3134Dc=c+bc+ac,4234Dc=c+ac-bc,5356下的矩阵为A=(01)01………1 (0)，，71716456=(n,n,n)X，123111011100110|||||(102|(-5|23123369123123|(-5|)3)3123|(-5|030677=(c,c=(c,c，12c)377 (77)因为(c,c，c)=(n,n,n)123123-20)7-27 7)(-10 ((-10 (2|-10)3)03)06|-10) (0)-5)-19)解因AE=aE+cE,AE=aE+cE,AE=bE+dE,AE=bE+dE,12111211222122又因AE=aE+bE,AE=cE+dE,11122121112AE=aE+bE,AE=cE+dE,22121222222122又因AE=a2E+abE+acE+bcE，2122AE=acE+adE+c2E+cdE，12111221220ba00dc0c0d00a0b1111k2313A=a+a23(k)+a，BAE=abE+b2E+adE+bdE，32111122122AE=bcE+bdE+cdE+d2E，122122(a故A3在基E11,E12,E21,E22下的矩阵为A3=(ab2123A=|(a|aaaaaaaa，3211231223解3333232131A=a+a+a，2323222121A=a+a+a，1313212111(a(aaaaa。a。aA(k)=ka+a(k)+ka，21212223233131k2333|(a|=2=2k1ka。ka3311121321221112231323Ac=a(c+c)+(a_a)c+ac，2121222122323Ac=a(c+c)+(a_a)c+ac，3131223132333313232333132323312k1123k再用Ak_2作用之,得lAk_1c=0.再由,可得l=0.同理,继续作用下去,便可得2k (10) (10) (……………(0101．))0)线性变换是数乘变换。证因为在某组确定的基下，线性变换与n级方阵的对应是双射，而与一切n级方阵可交换的方阵必为数量矩阵kE，从而与一切线性变换可交换的线性变换基下的矩阵都相同，那么是数乘变换。12nij12n12n若取11ij． ． (aA= (a)，ann)X=2…010…0)01…0……．…00…100…0)22nn1234c1124223433444解1)由题设,知03-1-100110)0，02)0)002)(11)35-2)0)002)0)002)(11)35-2)0)002)03022-10 (1022(0)00 (0)1)35-2)故A在基n,n,n,n下的矩阵为1234(1|(1B=X-1AX0 (1-4 33=40 -7Ac(11 (212341234在c,c,c,c1234(11 (2下的坐标为(0,0,0,0,)，则(x)1x=2=x3 (x4)12341234可求得基础解系为X=(-2,-3,1,0),,X=(-1,-2,0,1),。122若令a=(c,c,c,c)X，a=(c,c,c,c)X，112341212342则a,a即为A-1(0)的一组基，所以12A-1(0)=L(a,a)。121123422343123401)431234rank(A)=2，故Ac,Ac,Ac,Ac的秩也为2，且Ac1234112124)由2)知a,a是A-1(0)的一组基，且知c,c,a,a121212又(1(1 (012a,a)=(c,1212123401002151-21011)，-2，01)故A在基c,c,a,a下的矩阵为12121)35-1)35-2)-210(1 (0(1(1 (0B=0100-210022-2=(5(5 (22212-200000)0)00)c112342212343430)，0)022(1022(11234022-200100)0)0(1(11(1(11)35-2)(1022022-10)0C ( (1 (2 (121)|1|1-1|( 2 20 210023 200|1|133定义线性变换A:200)|1|133At=n(i=1,2,3)，ii1)写出由基t,t,t到基n,n,n的过度矩阵；1231232)写出在基t,t,t下的矩阵；1233)写出在基n,n,n下的矩阵。123解1)由(n,n,n)=(t,t,t)X，引入P3的一组基e=(1,0,0),e=(0,1,0),12312312e=(0,0,1)，则3所以(n,n,n)=(e,e,e)123123(1 (-122)2-1=(e,e,e)B=(e,e,e)A-1B，123123故由基t,t,t到基n,n,n的过度矩阵为123123||X=X=A-1B= 210(1 (-1 ( (3-23 2123)23 25-2) (．) (．)(-2(A(A(c,c,c)=(n,n,n)=(c,c,c)1231231231 (3-23 21 2 3) 23，25-2)123(-2(A=A=1 (3-23 21 23)2325-2)4)因A(n,n,n)=A(c,c,c)X=(n,n,n)X，123123123X123入2i1与入i2ni1iiiiii12n12n (入i2n21n (1|30 (1|30)0)0-2)20|(11111-1-11-11-1-1-11)4)A=(56-3)2-1)Acc12(31-4-1 (4-8入E-A=入E-A= =入2-5入-14=(入-7)(入+2)，故A的特征值为7，-2。-5入-2122212120入2任一非零向量为其特征向量。12111222121234的属于特征值2的全部特征向量为kc+kc+kc(k,k,k不全为零)，其中112233123112213314441234123-631-1入-2-1123112221c+(2-3)c。2333123123-10入12311221211322331312313入31112322123i量为k飞(k丰0)，其中331231234-4-1800123|(3)||| | 11232320.在上题中,哪些变换的矩阵可以在适当的基下变成对角形在可以化成对角形的情况下，写出相应的基变换的过度矩阵T，并验算T-1AT。解已知线形变换A在某一组基下为对角形的充要条件是有n个线形无关的特征向量,故上题中1)~6)可以化成对角形,而7)不能.下面分别求过渡矩阵T。 (0| |,, (0| |,,T-1AT=3-1，-1，(23)3-13)3-1|，T-1AT=，T-1AT=-1 (1-3)123123||00100T||00100，(1 0101)(0||(0||-||||1)(1||0||0|| (0 (00-1)|0-|0-1)|=|||=|ii)-10)即过渡矩阵为|(0| (0T00-14i)6-14i)))n矩阵都不可能是对角阵。xnD基下的矩阵都不可能是对角形。123123|=|=|| (0 (0() (01)() (01)20)0||515)01)2-5 ( (A12341123421233443故求得A在基n,n,n,n下的矩阵为12340B=X-1AX=0 (06-57 2543-2-2)212324112212 (0 (0 (2124233331234444412343)因为-1-101-4-2163)1，1-2)所求可逆阵为T=(231-1-101-4-21633)11-2)T-1AT=(00-2))为对角矩121212证11122212121212121122121122121212niii0入0a00故BaeV，即证V是B的不变子空间。00000000(BeV,入00下的矩阵是一若当块。证明：1n11证1)由题设,知nn21123223………………….nWAa=W,有11122nn112223nn1223...n一1n于是Ke+Ke++Ke=W1223...n一1nKe+Ke++Ke=W，…，Ke=W1324...n一2n1nnn3)设W,W是任意两个非平凡的A-子空间，则由2)知c=W且c=W,n1n2An1227．求下列矩阵的最小多项式：00)00)|,0 (1|(00 (1|(00 (101)01)A3A二补充题参考解答1)如果(A+B)2=A+B那么AB=0;2)如果,AB=BA那么(A+B-AB)2=A+B-AB.证1)因为A2=A,B2=B,(A+B)2=A+B由(A+B)2=(A+B)(A+B)=A2+AB+BA+B2,故A+B=A+AB+BA+B,又2AB=AB+AB=AB-BA=A2B-B2A=A2B+ABA=A(AB+BA)=A0=02)因为A2=A,B2=B,AB=BA所以(A+B-AB)2=(A+B-AB)(A+B-AB)=A2+BA-ABA+AB+B2-AB2-A2B-BAB+ABAB=A+AB-AAB+AB+B-AB-AB-ABB+AABB=A+AB-AB+AB+B-AB-AB-AB+AB=A+B-AB。111n212nn1nnV的全体线性变换与Pnn同构,故V的全体线性变换组成的线性空间是n2维1)在P[x]中有一次数n2的多项式f(x),使f(A)=0;2)如果f(A)=0,g(A)=0,那么d(A)=0,这里3)A可逆的充分必要条件是:有一常数项不为零的多项式f(x)使f(A)=0。证1)因为P上的n维线性空间V的线性变换组成的线性空间是n2维的，所以aAn2+aAn2一1++aA+aE=0，10令f(x)=axn2+axn2一1+0i这就是说，在P[x]中存在一次数n2的多项式f(x),使f(A)=0。即证。2)由题设知d(x)=u(x)f(x)+v(x)g(x)因为f(A)=0,g(A)=0，所以d(A)=u(A)f(A)+v(A)g(A)=0。3)必要性.由1)知,在P[x]中存在一次数n2的多项式f(x),使f(A)=0。即aAn2+aAn21++aA+aE=0，n2n2110afxaxnaxnaxaa，0n2n21100aAn2+aAn21+n2n21+aA+aE=0，10得aAn2j+aAn2j1+…+aE=0n2n21j令f(x)=axn2j+axn2j1+…+a(a0)，即f(x)为所求。n2n21jj充分性.设有一常数项不为零的多项式f(x)=axn2+axn21+n2n210即aAm+aAm1+…+aA+aE=0，mm110所以aAm+aAm1+…+aA=aE，mm110aAm+aE).A=E，am1a0AaAm+…+aE)=E，am10入为nn11零作为一个特征值。0iijj0nniijj2)假定．aij00a12n11(a)(a)可能与对角矩阵相似。.证明:对任一n根n复系数矩阵A,存在可逆矩阵T,使T-1AT证:存在一组基t，…，t,…,t…,t,使与矩阵A相应的线性变换A在该基111rs1,sr1若尔当标准形J，且(At=入t+t|11111121|s1ss1s2s