2021年广东省春季高考数学模拟试卷十含解析

2021年广东春季高考数学模拟试卷（10）

解析版

注：本卷共22小题，满分150分。

一、单选题（本大题共15小题，每小题6分，满分90分）

1.能正确表示集合/={%6/?|0<%<2}和集合"=*€/?|/+工=0}的关系的韦恩图的是（

【答案】A

【解析】

【分析】

求出集合N的元素，即可得到两集合的关系，再用韦恩图表示出来.

【详解】

解：集合N={xeE|x2+x=0}={0,-l},集合A/={xeR|0«x<2},

：.M（N={0}且互不包含，

故选：A.

【点睛】

本题主要考查了韦恩图表达集合的关系，是基础题.

2.教育部日前出台《关于普通高中学业水平考试的实施意见》，根据意见，学业水平考试成绩以“等级”

或“合格、不合格”呈现.计入高校招生录取总成绩的学业水平考试的3个科目成绩以等级呈现，其他科目

一般以“合格、不合格”呈现.若某省规定学业水平考试中历史科各等级人数所占比例依次为：4等级15%,

B等级35%,C等级30%,。、E等级共20%.现采用分层抽样的方法，从某省参加历史学业水平考试的

学生中抽取100人作为样本，则该校本中获得A或8等级的学生中一共有（）.

A.45人B.60人C.50人D.90人

【答案】C

【解析】

【分析】

由已知求得A或3等级所占比例，乘以100即得答案.

【详解】

由题意，A、B等级人数所占比例依次为：A等级15%,3等级35%,

则A或5等级所占比例为50%，

.•.100人的样本中，获得A或8等级的学生一共有50人.

故选：C

【点睛】

本题主要考查分层抽样，明确分层抽样中每一层所占比例数相等是关键，是基础题.

3.下列函数中，值域为R且为奇函数的是（）

A.y=x+2B.y=sinxC.=D.y=2x

【答案】C

【解析】

【分析】

依次判断函数的值域和奇偶性得到答案.

【详解】

A.y=x+2,值域为R,非奇非偶函数，排除；

B.y=s/，值域为［-1』，奇函数，排除；

C.y=值域为R,奇函数，满足；

D.y=2x,值域为（0,+力），非奇非偶函数，排除：

故选：C.

【点睛】

本题考查了函数的值域和奇偶性，意在考查学生对于函数知识的综合应用.

【答案】B

【解析】

【分析】

l-x>0

根据函数的解析式知L,八，解不等式组即可得定义域

3x+l>0

【详解】

由函数y（x）=厂■—+ig（3x+i）,知

y/1-X

fl-x>01

:1八解之得：

3x+l>03

故选：B

【点睛】

本题考查了函数的表示，根据函数解析式的性质求函数的定义域，属于简单题

5・若QVZ?vO,那么下列不等式中正确的是（）

A・yj-Cl<\)­bB.a2>ab

【答案】B

【解析】

【分析】

根据不等式的性质分别对四个选项分析可得解.

【详解】

对于A,由力＜0,得一。＞—/?＞0,所以,故4项错误;

对于B,由a＜6＜0两边同时乘以。，得q2＞H，故8项正确；

对于C,由。＜匕＜0,得工〉工，故C项错误；

ab

对于。，由a＜匕＜0,得/＞/,故。项错误.

故选：B.

【点睛】

本题考查了不等式的性质，属于基础题.

6.若a,b是异面直线，且a〃平面a,则b和a的位置关系是（）

A.平行B.相交

C.b在a内D.平行、相交或b在a内

【答案】D

【解析】

试题分析：因为a,b是异面直线，且a〃平面a,当直线a〃平面a,宜线b在平面a内，...aab,或a与b

异面，那么结合线面的位置关系和异面直线的概念可知，则b和a的位置关系是平行、相交或b在a内.故

选D.

考点：本题主要是考查线面的位置关系的运用.

点评：解决该试题的关键是理解线面平行的判定定理和性质定理，然后根据异面宜线的概念可知直线b与

平面a的位置关系.

7.直线x=l的倾斜角和斜率分别是（）

A.45°,1B.135°,-1C.90%不存在D.180%不存在

【答案】C

【解析】

解：；直线x=l垂直于x轴，倾斜角为90。，而斜率不存在，

故选C.

8.将长度为1米的绳子任意剪成两段，那么其中一段的长度小于0.2米的概率是（）

A.0.2B.0.4C.0.6D.0.8

【答案】B

【解析】

【分析】

利用几何概型的长度类型概率计算公式求解.

【详解】

如图所示；

线段AB=1,若剪成两段，其中一段的长度小于0.2米，

则AOO.2或DB=Q.2,

0.2+0.2

所以其中一段的长度小于0.2米的概率是p0.4,

故选：B

【点睛】

本题主要考查几何概型的概率的求法，属于基础题，

9.函数^=$布（2》+着］的一条对称轴是（）

7tTCTC

A.x=B.x=0C,X——D.X=一

663

【答案】C

【解析】

【分析】

k兀jr

根据正弦函数的对称轴方程，即可得对称轴x=——+—MeZ.进而可知正确选项；

26

【详解】

*—兀,兀..k兀7V.„

令2xH—k.7iH—,则x-1—，&eZ.

6226

故选：C.

【点睛】

本题考查了正弦函数的性质，根据对称轴方程求对称轴，属于简单题；

10.在AA3C中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若sinA:sinB:sinC=3:7:8,则AA8C的

形状是

A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定

【答案】C

【解析】

【分析】

由正弦定理三=工=三;可推得。：匕：。=3:7:8,再由余弦定理计算最大边的余弦值即可判断三角

smAsinBsinC

形形状.

【详解】

因为sinA:sinB:sinC=3:7:8,所以a:8:c=3:7:8,设a=3k,b=k,c=8A，则角。为△ABC

9A-2+4QA-2-64A-21n

的最大角，由余弦定理可得cosC=,=—二＜0,即一＜C＜乃，故A43C是钝角三角

42公72

形.

【点睛】

本题考查用正弦定理和余弦定理解三角形，属于基础题.

11.如图，在平行四边形A3CQ中，点E是边C£＞的中点，点E是AE的中点，则5尸=＜)

3131

A.-AB+-ADB.--AB+-AD

4242

1313

C.-AB+-ADD.——AB+-AD

2424

【答案】B

【解析】

【分析】

把向量AB，AO作为基底，利用平面向量基本定理和向量的加减法法则求解.

【详解】

解：因为F是AE的中点，所以AF=，AE,

2

11

因为点E是边CO的中点，所以OE=—£>C=—AB,

22

所以8/=4/一48・

^-AE-AB.

2

=-（AD+DE）-AB.

2

11

22

31

=--AB+-AD,

42

故选：B

【点睛】

此题考查了平面向量基本定理和向量的加减法法则，利用「数形结合的思想，属于基础题.

12.在数列｛4｝中，4=一!，%,=1-----（〃>D,则4（）19的值为（）

a

4n-\

41

A.-B.----C.5D.以上都不对

54

【答案】A

【解析】

【分析】

列举出数列的前几项，找到数列的周期，由此求得4019的值.

【详解】

,1,14,11

依题意%=1-----=5c,。3=1------=1，°4=1-----=一-7=4，故数列是周期为3的周期数列，故

a1a25%4

«2019=a3=—,故选A.

【点睛】

本小题主要考查递推数列，考查数列的周期性，考查合情推理，属于基础题.

13.已知％>0,丁>0,2%+），=2,则孙的最大值为（）

A.—B.1C.—D.-

224

【答案】A

【解析】

【分析】

化简xy=4（2x・y）,再利用基本不等式求最大值得解.

2

【详解】

解：vx>0,y>0,且2x+y=2,

：.xy=W[J'：））2=,当旦仅当户!’y=l时取等号,

2-2222

故则xy的最大值为工，

2

故选A

【点睛】

本题主要考查基本不等式求显值，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.

14.如图所示是一样本的频率分布直方图，则由图形中的数据，可以估计众数与中位数分别是（）

八频率/组距

0.1------------------

0.04_______

-0l5101520~~

A.12.5；12.5B.13；13C.13；12.5D.12.5；13

【答案】D

【解析】

分析：根据频率分布直方图中众数与中位数的定义和计算方法，即可求解频率分布直方图的众数与中位数

的值.

详解：由题意，频率分布直方图中最高矩形的底边的中点的横坐标为数据的众数，

所以中间一个矩形最该，故数据的众数为W±”=i2.5,

2

而中位数是把频率分布直方图分成两个面积相等部分的平行于y轴的直线横坐标，

第一个矩形的面积为0.2,第二个矩形的面积为0.3,故将第二个矩形分成3:2即可，

所以中位数是13,故选D.

点睛：本题主要考查了频率分布直方图的中位数与众数的求解，其中频率分布直方图中小矩形的面积等于

对应的概率，且各个小矩形的面积之和为1是解答的关键，着重考查/推理与计算能力.

15.正方体ABC。-A瓦G2中，平面a经过片。且与AG平行，该正方体被平面分成两部分几何体，

其体积比为（）

A.1:3B.1:4C.1:11D.1:12

【答案】c

【解析】

【分析】

利用中位线得线线平行，进而得线面平行，确定。，容易求得体积比.

【详解】

如图，

取中点M，上底面中心为。，连接,则0M//AG,AC,//平面MBR,即平面MBR

为平面a,

x

所以与-444=§S=§“5Sqe1Gq=J^VABCO-ABIGD,，

所以被a分成的两部分体积比为：1:11.

故选：C.

【点睛】

本题考查了空间几何体的计算和空间想象能力，属于中档题.

二、填空题

16.已知圆£：/+>2=1,圆。2：1+/一2x—2y+l=0,则圆G与圆02的位置关系为.

【答案】相交

【解析】

【分析】

利用圆心距与半径之和、半径之差的绝对值的大小关系可判断两圆的位置关系.

【详解】

由题设有G(0,0),rt=i,C2(l,l),r2=l,故居。2|=J(O-iy+(O-l)2=及一

所以彳一与=o<|GGl<2=，i+G，故圆G与圆。2的位置关系为相交.

故答案为：相交.

【点睛】

本题考查圆与圆的位置关系的判断，此类问题一般可通过圆心距与半径之和、半径之差的绝对值的大小关

系来判断，本题属于基础题.

17.cos275+cos215+cos75cos15的值等于・

【答案】-

4

【解析】

_,15

试题分析：原式可化为41?15+cos215+sinl5cos15=l+-sin30

24

考点：三角恒等变形、诱导公式、二倍角公式、同角三角函数关系.

18.在等边三角形ABC中，边长为2,则A86C=

【答案】-2

【解析】

ABBC=—BABC=—2x2xcos60=—2-

19.某数学小组进行社会实践调查，了解到某桶装水经营部在为如何定价发愁.进一步调研，了解到如下

信息：该经营部每天的房租、人员工资等固定成本为20()元，每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售

量的关系如下表：

销售单价/元6789101112

日均销售量/桶480440400360320280240

根据以上信息，你认为该经营部把桶装水定价为元/桶时能获得最大利润.

【答案】11.5

【解析】

【分析】

通过表格可知销售单价每增加1元、日均销售量减少40桶，进而列出表达式，利用二次函数的简单性质

即得结论.

【详解】

通过表格可知销售单价每增加1元、日均销售量减少40桶，设每桶水的价格为(6+x)元(0<x<13),

公司日利润y元,则了=(6+X-5)(480-40%)-200=-40x2+440x+280(0<x<13),

440

•.•-40<0,...当x=--------=5.5时函数y有最大值，

2x40

因此，每桶水的价格为6+5.5=11.5元，公司日利润最大，

故答案为：115

【点睛】

本题主要考查了二次函数模型的应用以及二次函数求最值，属于基础题.

三、解答题

20.已知数列｛凡｝为正项等比数列，满足。3=4,且%，3%，4构成等差数列，数列也｝满足

2=log2%+log2a”+i・

(1)求数列也｝的通项公式；

，、2，、

(2)若数列也｝的前〃项和为S“，数列若“｝满足%=h一,求数列匕｝的前〃项和7“.

〃+1

1

【答案】(1)«„=2-：bn=2n-\(2)T,=--

n+i

【解析】

【分析】

(1)由题意，根据等比数列性质，以及等差中项可求得公比，即可求得a“，代入可求得么;

(2)由(1)可求得"的前n项和S“，带入求得c“，再利用裂项相消求得7；.

【详解】

解：(1)设等比数列｛%｝的公比为式4>0),由题意，得

%+。6=6%=q+/=6解得g=2或夕=一3(舍)

又％=4=%=1所以%=a/i=2"T

bn=log,an+log2an+l=n-\+n=2n-]

gc一〃(伪+么)一〃(1+(2〃-1)]_“2

(、/)3——1—几

"22

“n(n+1)(〃n+l)

1

T4111112〃

"I223nn+l)n+\

【点睛】

本题考查了数列的知识，掌握等差等比数列的性质、通项是解题的关键，同时也需要掌握好数列求和的裂

项相消，属于较为基础题.

21.如图，在三棱柱4耳£一ABC中，AB=AC,。为8C中点，平面ABC,平面8CC4,80，耳。.

(1)求证：AC〃平面A4。；

(2)求证：A4J.BG.

【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析

【解析】

【分析】

(1)连结A1交A用于点o,连结OD,得到O0I4C,从而证明4cl平面ABQ.

(2)由AB=AC,得到ADLBC,由平面ABC,平面BCCg,得到AO1平面8CGA，从而得到

AD±BCX,可以得到8G，平面AgO,再得到AgLBG.

【详解】

证明：(1)连结AB交AB］于点。，连结8.

因为4gG—45C是三棱柱，所以是平行四边形，所以。为A1中点.

有因为。为BC中点，所以4c.

又4c(Z平面AB,D,O0U平面AB}D,所以4cl平面AB}D.

(2)因为AB=AC，。为中点，所以ADJ.BC.

又因为平面4?。，平面8CGA