2021年广东省春季高考数学模拟试卷3含解析

2021年广东春季高考数学模拟试卷（13）

解析版

注：本卷共22小题，满分150分。

一、单选题（本大题共15小题，每小题6分，满分90分）

1.下列函数中既是偶函数，又在（0,+。）内单调递增的为（）

A.y=B.y=-%-2C.y=/D.y=-x-3

【答案】B

【解析】

【分析】

根据幕函数的基本性质对各选项中函数的奇偶性及其在（O,+8）上的单调性进行判断，可得出结论.

【详解】

对于A选项，函数y=x-2为偶函数，目.在（0,+。）上单调递减；

对于B选项，函数y=-<2为偶函数，且在（0,+8）上单调递增；

对于C选项，函数），=厂3为奇函数，且在（0,+“）上单调递减；

对于D选项，函数y=-xT为奇函数，且在（0,+“）上单调递增.

故选：B.

【点睛】

本题考查函数奇偶性和单调性的判断，熟悉幕函数的基本性质是判断的关键，考查推理能力，属于基础题.

2.已知全集U=R,集合A={x|y=lgx},集合B={y|y=&+1},那么AcC〃B=（）

A.°B.（0,1]C.（0,1）D.（l,+8）

【答案】C

【解析】

【分析】

先化简集合A和B,再求Cv5和ACJB

【详解】

由题得A={x|x>0},B={y|y>l},所以C^B={y|y<l},.".AcC（jB=（0,1）.

故答案为C

【点睛】

(1)本题主要考查集合的化简和运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)集合的运算

要注意灵活运用维恩图和数轴，一般情况下，有限集的运算用维恩图分析，无限集的运算用数轴，这实际

上是数形结合的思想的具体运用.

3.若函数/(x)=f+2(a-l)x+2在区间(f,Y]上是减函数，则实数”的取值范围是()

A.[-3,+co)B.(—00,—3]C.(—<20,5]D.[3,+oo)

【答案】C

【解析】

【分析】

根据对称轴与区间端点值之间的关系，列式可解得结果.

【详解】

因为函数/(x)=f+2(a-l)x+2在区间(-8,Y]上是减函数，

所以—(a—1)之T,解得

故选：C.

【点睛】

本题考查了利用二次函数的单调性求参数的取值范围，抓住图象的开口方向以及对称轴与区间端点的关系

是解题关键,属于基础题.

4.记S“为等差数列仅“｝的前〃项和，公差1=2,%，%成等比数列，则Sg=()

A.-20B.-18C.-10D.-8

【答案】D

【解析】

【分析】

由力,%，%成等比数列，可以得到等式/2二%4，根据等差数列的通项公式可以求出4，为，代入

等式中，这样可以求出力的值，最后利用等差数列的前“项和公式，求出$8的值.

【详解】

解：等差数列｛4｝的公差d=2,%,%，4成等比数列，

可得42=4%，即为（4+4）2=4（q+6）,解得％=-8,

则1=8x(—8)+/x8x7x2=—8.故选：D.

由等比数列的中项性质和等差数列的通项公式和求和公式，计算可得所求和.

【点睛】

本题考查等差数列的通项公式和求和公式，等比数列中项性质，考查方程思想和运算能力.

5.已知某居民小区户主人数和户主对户型结构的满意率分别如图1和图2所示，为了解该小区户主对户

型结构的满意程度，用分层抽样的方法抽取20%的户主进行调查，则样本容量和抽取的户主对四居室满

意的人数分别为（）

满意率/%

二居室户/四居、

主150人/室户主

三居室户

主250人

四居尸型

室

A.100,8B.80,20C.100,20D.80,8

【答案】A

【解析】

由题设中提供的直方图与扇形统计图可知样本容量是“=100,其中对四居室满意的人数为

20%xl00x40%=8,应选答案A.

6.设有直线卜=人（％-3）+1,当A变动时，所有直线都经过定点（）

A.（0,0）B.（0,1）C.（3,1）D.（2,1）

【答案】C

【解析】

【分析】

将原直线方程变形为点斜式方程，即可知所有直线都经过定点（3,1）.

【详解】

原直线方程变形为y-1=根据点斜式方程可知，所有直线都经过定点（3,1）.

故选：C.

【点睛】

本题主要考查直线系过定点问题的解法，属了基础题.

x-y>0

7.不等式组<x+yNO表示的平面区域的面积为（）

0<x<2

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【解析】

【分析】

作出不等式组表示的平面区域即可求解.

【详解】

x-”0

作出不等式组<x+y20表示的区域，如图（阴影部分），

0<x<2

当x=2时，代入x-y=0,解得y=2,

代入x+y=0,解得y=-2,

所以平面区域的面积为=g|AB|-2=4.

故选：C

【点睛】

本题考查了简单的线性规划问题，考查了数形结合的思想，属于基础题.

8.将函数/（x）=Gsinx—cosx的图象向右平移彳个单位得到函数y=g（x）的图象，则g（一"的值

为()

A.-73B.-41C.73D.V2

【答案】A

【解析】

【分析】

先利用辅助角公式对已知函数进行化简，然后根据函数图象的平移可求g(x)，代入-g即可求解.

【详解】

解：：/(x)=J5sin龙一cosx=2sin[x-看)的图象向右平移y个单位得到函数y=g(x)的图象,

/.g(x)=2sin|x---—^|=-2cosx,

故选：A.

【点睛】

本题主要考查了三角函数辅助角公式及三角函数图象的平移，属于基础试题.

9.已知a、b、c分别是△ABC的内角A、B、C的对边，若竺上<cosA,则A48c的形状为()

sinB

A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.等边三角形

【答案】A

【解析】

【分析】

将原式进行变形，再利用内角和定理转化，最后可得角B的范围，可得三角形形状.

【详解】

因为在三角形中，出上vcosA变形为sinCvsin3cosA

sinB

由内角和定理可得sin(A+8)vcosAsinB

化简可得：sinAcosB<0/.COSB<0

所以8〉一

2

所以三角形为钝角三角形

故选A

【点睛】

本题考查了解三角形，主要是公式的变形是解题的关键，属于较为基础题.

10.已知等边三角形ABC的边长为1,BC=a,CA=b,AB=c＞那么+/?.c+c.

33

A.3B.-3C.-D.一一

22

【答案】D

【解析】

【分析】

利用向量的数量积即可求解.

【详解】

。。3

解析：6!-/?+/?-c+c-a=lxlxcosl20+lxlxcosl20+lxlxcosl20=——.

2

故选：D

【点睛】

本题考查了向量的数量积，注意向量夹角的定义，属于基础题.

11.如图，正方体中，两条异面直线BG与耳A所成的角是（）

A.30B.45C.60D.90

【答案】C

【解析】

【分析】

连接。①与旦A,则NB.A为所求.再根据，BQA判断即可.

【详解】

连接2A与瓦A,因为BG//〃A,则NBRA为异面直线BC,与B,D,所成的角.又，B,D,A为正三角形，故

异面直线BG与所成的角是60.

故选：C

【点睛】

本题主要考查了异面直线的角度问题，利用平行转移到同一三角形即可.属于基础题型.

12.为了提高幼儿园孩子认识数字的能力，老师任意选取两个小朋友，让他们每人从1,2,3,4,5,6

这六个数字当中任选一个数字(两人所选的数字可以相同)，如果所选出的两个数字相差不超过1,则称这

两个小朋友“心有灵犀”.两个小朋友“心有灵犀''的概率为()

5754

A.—B.—C.—D.一

121299

【答案】D

【解析】

【分析】

基本事件总数"=6x6=36,利用列举法求出这两个小朋友“心有灵犀”包含的基本事件有16个，由此能求出

两个小朋友“心有灵犀''的概率.

【详解】

解：基本事件总数"=6x6=36,

所选出的两个数字相差不超过1,基本事件有：

(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(2,3),(3,2),(3,3),(4,3),(3,4),(4,4)(4,5),(5,4),(5,5),(5,6),(6,5),(6,6),共有

16个.

164

-

，两个小朋友“心有灵犀''的概率为p3-6-9-

故选：D.

【点睛】

考查古典概型的应用，基础题.

13.若直线立一丁+1=0与圆Y+y2+2x—4y+l=0有公共点，则实数攵的取值范围是()

A.[-3,+8)B.(-00,—3]C.(0,+oo)D.(—00,+8)

【答案】D

【解析】

【分

—k—2+1

由题意得圆心到直线的距离d=।/1W2,解不等式即可得解，

【详解】

圆/+:/+2；（:一4），+1=0的圆心为（一1,2）,半径为2，

|-A：-2+l|（1V«

由题意可知圆心到直线的距离d=!/化简得3k--+->0.

+1k3j3

故ke（-oo,+o。）.

故选：D.

【点睛】

本题考查了直线与圆的位置关系，考查了计算能力，属于基础题.

14.设a>0,b>o,若君是5〃与5”的等比中项，则,+工的最小值为（）

ab

1

A.8B.4C.1D.-

4

【答案】B

【解析】

【分析】

利用等比中项可得a+b=l,由：+：=［：+:）（4+3,利用基本不等式即可求解.

【详解】

因为石是5"与5"的等比中项，

则=5".5，，所以a+h=l,

当且仅当时取等号，

2

故选：B

【点睛】

本题考查了基本不等式求最值，注意验证等号成立的条件，属于基础题.

15.元旦将近，调查鲜花市场价格得知：购买2只玫瑰与1只康乃馨所需费用之和大于8元，而购买4只

玫瑰与5只康乃馨所需费用额小于22元；设购买2只玫瑰花所需费用为A元，购买3只康乃馨所需费用

为B元,则48的大小关系是().

A.A>BB.A<BC.A=BD.AB的大小关系不确定

【答案】A

【解析】

【分析】

设出玫瑰与康乃馨的单价，根据题意列出不等式，求出48的表达式，利用不等式的性质求解即可.

【详解】

设玫瑰与康乃馨的单价分别为乂丁(单位为：元)，则彳"，二^,2x=A,3y=B.

4x+5y<22

A+->8(1)

ARa\，

所以有x=—,y=—,因此｛In

23卜若<22⑵

(1)x5+(2)x(-l)可得：A>6：

⑴x2+(2)x(-l)可得：B<6,因此A>B.

故选：A

【点睛】

本题考查了数学阅读能力，考查了不等式性质的应用，考查了数学建模思想，考查数学运算能力.

二、填空题

16.出+8P-log636=.

【答案】29

【解析】

【分析】

根据指数、对数的运算性质可得结果.

【详解】

解：原式=4+33-log^6?=4+27—2=29.

故答案为：29.

【点睛】

本题考查指数、对数的计算，属基础题.

17.某四面体的三视图如图所示，则该四面体的体积为.

【解析】

【分析】

根据三视图作出三棱锥的实物图，计算出三棱锥的底面积和高，然后利用锥体的体积公式可计算出该几何

体的体积.

【详解】

根据三视图可知，该四面体侧棱R4_L底面ABC,且A8=4，AC=4，PA=4,是正方

体的一个角，

【点睛】

本题考查几何体体积的计算，涉及到几何体的三视图，解题的关键就是将几何体的实物图作出，考查空间

想象能力与计算能力，属于中等题.

18.已知两点A（1,O）、3（0,2）,点P是圆^+1）2+^=1上任意一点，则AR4B的面积的最小值为

【答案】2--

2

【解析】

当点尸到直线AB的距离最小时，AR4B的面积的最小，所以圆上的点到直线的最小距离是圆心到直线的

距离减去半径。

4r-

直线AB的方程为2x+y—2=0,所以。=d—r=一尸一1,又|人即=6，

A/5

所以S=；|AB|〃=2-半。

19.第24届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础进行设计的.如图所示，会标是由

四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.如果小正方形的面积为1,大正方形的面积为

25,直角三角形中较小的锐角为6,那么tan（e+?）=.

【答案】7

【解析】

【分析】

由已知条件可得每个直角三角形的两条直角边的长度之差为1、斜边的长度为5,设直角三角形的两条直

角边分别为。与。+1,勾股定理求出。即可得直角三角形三边长，求出tan。，代入两角和的正切公式即可

得解.

【详解】

由小正方形的面积为1知每个直角三角形的两条直角边的长度之差为1,

由大正方形的面积为25知每个直角三角形的斜边的长度为5,

设直角三角形的两条直角边分别为a与«+1,

则/+（4+1）2=25n2a2+2。—24=0,解得a=3或a=T（舍去），

则直角三角形的两条直角边为3、4,斜边为5,

R/、tan6+tan——+1

所以tan6=二，tan0+—=---------------==7.

4I4,八乃，3

、)1-tantan—1——

44

故答案为：7

【点睛】

本题考查三角函数，两角和与差的正切公式，属于基础题.

三、解答题

20.已知数列仅“｝为正项等比数列，满足%=4,且。5，34，%构成等差数列，数列｛〃J满足

2=log2%+log2a”+i・

(1)求数列｛%｝,也,｝的通项公式；

1

(2)若数列｛么｝的前〃项和为S“，数列｛%｝满足c“=ki,求数列｛qj的前〃项和

一1

【答案】(1)。“=2"-1,b“=2〃—l；(II)T„=^—

2〃+1

【解析】

【分析】

(I)先设等比数列｛4｝的公比为q(q>0),根据为=4,且％,34，%构成等差数列，求出4，即可得出｛4｝

的通项公式，再由a=log2a„+log2a“+|，可得出也｝的通项公式；

(H)先由等差数列的前〃项和公式求出S„,再由裂项相消法求出7；即可.

【详解】

解：(I)设等比数列｛q｝的公比为q(q>0),由题意，得

%+4=64=>4+/=6解得4=2或q=-3(舍)

又%=4=%=1所以a“==2'-'

bn=log2a„+log2«,(+1=n-l+n=2n-\

(H)s=〃(4+")=〃[i+(2i)]=〃2.

"22

.0，11______U

""4n2-l2｛2n-l2n+1)'

,n(\n(ii)n

i一一+i—++--------=—

3j(35J—12n+l)\2〃+l

【点睛】

本题主要考查等差数列与等比数列，以及求数列的前〃项和，熟记等差数列与等比数列的通项公式即可求

解，属于常考题型.

21.如图所示，圆柱。。中，母线与底面垂直，BC是。的直径，点。是。的圆周上异于3,C

(2)若BD=2,CD=4,AC=6,求圆柱。。的表面积.

【答案】⑴证明见解析；⑵(8召+10)万

【解析】

【分析】

(1)推导出ABJ_CD,BD1CD,从而CZ)J_平面般，由此能证明平面平面AOC.

(2)由勾股定理求出BC，AB<由此能求出圆柱。|。的表面积.

【详解】

证明：(1)由己知可知A3,平面BCD,CDu平面BCD,

：.AB±CD

•・•点。是O。的圆周上异于异于8,。的点，BC是的直径，

..NBOC是直角，即比)J_CL>

又・ABu平面ABD，BDu平面A8Z),ABBD=B,

\C0A平面4犯，

•••CDu平面ADC，

，平面43£>J_平面ADC.

(2)在RtABCD中，BD=2,CO=4,NBDC=90°,

*'-BC=dBD。+CD。=>/22+42=275>

由(1)知平面8cO，BCu平面BCD,

ABIBC,即NABC=90。

AB=>JAC2-BC2=j62-(2>/5)2=4

•・.圆柱a。的表面积为：

本题考查面面垂直的证明，考查圆柱的表面积的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养，属

于中档题.

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