2021-2022学年安徽省滁州市定远县高二年级下册学期第四次月考数学试题含答案

2021-2022学年安徽省滁州市定远县第二中学高二下学期第四次月考

数学试题

一、单选题

1.若直线44的方向向量分别为"=（0,2,-1）1=0,2,4）,则（）

A.B.

c.44相交但不垂直D.44平行或重合

【答案】B

【分析】根据两直线的方向向量，求出75的值，即可得出直线44的位置关系

【详解】解:由题意

£=（0,2,-1）1=（1,2,4）

.“B=0+2x2+（-l）x4=4-4=0

.-.a-Lb,

故选：B.

2.一质点又按运动方程,（’）=-八、4（位移单位：m,时间单位：S）做运动.若质点/在

，=5s时的瞬时速度为20m/s,则常数上的值为（）

A.1B.2C.-2D.-1

【答案】C

【分析】先对已知函数求导，然后结合导数的定义运算求解.

【详解】由题意可得：s（）=-2h,则s'（5）=-104=20,所以占2.

故选：C.

3.已知点"0'-2），8（〃，，2）且线段/5的垂直平分线的方程是工+2了-2=°,则实数机的值是

（）

A.-2B.々C.3D.1

【答案】C

【分析】由题知48的中点坐标为l2人代入方程1+2歹-2=°即可得答案

【详解】解：由题知线段48的中点坐标为I2人

因为点/0'-2），8（孙2）且线段/8的垂直平分线的方程是》+2»-2=0

3,015-2=0

所以，将12〃弋入直线x+2y-2=°中，得2,解得机=3.

故选：C

4.设随机变量X~N（7，〃），若P（X>14-幻=0.3,则P（X>a）=（）

A.0-7B,0.4C.03D.06

【答案】A

【分析】根据正态曲线的对称性可得.

【详解】'：X~心、吟,若尸（%>14-0）=0.3,.・/（%<°）=0.3,则P（X>«）=l-0.3=0.7

故选：A

5.在S+我）的展开式中，含x的正整数次募的项共有

A.4项B.3项C.2项D.1项

【答案】B

【详解】S+⑸的展开式的通项为却=%（"）（叼6（04/412）为整数，3

项，即厂=0了=6/=12,故选B.

【方法点晴】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于中档题.二项展开式定

理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下

几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式（产C/""；（可以考查某一项，

也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开

式定理的应用.

6.等差数列&”｝中，$5=15,%=9,则%，4的等差中项是（）

A.9B.3C.12D.6

【答案】D

【分析】利用等差数列前〃项和公式及等差数列通项公式的性质，可以求得用=3,接着利用等差

数列通项公式的性质即可求出4,%的等差中项4.

.5（%+牝）…

【详解】•・•$5=15,%=9,-2,

/.2%=%+%=6即。3=3

2a5=%+。6=〃3+〃7=12

..ci^—6

故选：D

7.已知圆的方程为+8-3）2=4,0（4,4）是该圆内一点，过点尸的最长弦和最短弦分别为

4c和8。，则四边形488的面积是（）

A.4B.48C.872D,4上

【答案】D

【分析】由题知最长弦为直径，最短弦为是过P且与直径/c垂直的弦长，进而求得弦长，计算面

积即可.

【详解】解：由题知圆心为“（二3）,半径为r=2,

由圆的性质可知，最长的弦长为直径，故"C=4,

最短的弦长是过P且与直径/C垂直的弦长，

由于MP=及，故80=2“-MP?=2物-2=2&,

因为ACJ.BD,

=AC•BD=

所以面积为2

故选：D

8.甲、乙、丙3位大学毕业生去4个工厂实习，每位毕业生只能选择一个工厂实习，设“3位大学

毕业生去的工厂各不相同”为事件甲独自去一个工厂实习”为事件8,则「（川团=（）

2£35

A.3B.3C.4D.8

【答案】A

【分析】求出甲独自去一个工厂实习有C：*32,3为大学毕业生去的工厂各不相同有用，根据条件

概率公式，即可求解.

【详解】“甲独自去一个工厂实习”为事件8,

事件8包含的基本事件有C*32=36

“3位大学毕业生去的工厂各不相同”为事件Z,

事件A包含的基本事件有团=24

242

P(A\B)=-=-

363

故选:A.

【点睛】本题考查条件概率，确定基本事件个数是解题关键，属于基础题.

-^-x^sinfl+xL/V)

/w=

9.已知4为/（x）的导函数，则/'（X）的图象是（）

C

【分析】求导后由函数性质判断

r

,21+cos=；x-sinx

f(x)=­x+sin—+x=­Xx,f(x)

【详解】4(24

则/'(-X)=-f\x),/（X）为奇函数,故排除B,D,

且2，4故排除C,

故选：A

X2y2

T+=\(a>b>0)与*2分别是其左右焦点，若附1=2处闾,

10.在椭圆〃中，则该椭圆离心率的

取值范围是（）

A.B.C.°5D.°5

【答案】B

【分析】根据椭圆定义M+圈=2。，结合附|=2|明,解得I」-丁，然后根据椭圆的几

何性质，由归周2”,求解.

【详解】根据椭圆定义归用+归用=2。，

将阿|=2|明代入得产I仔

根据椭圆的几何性质，归鸟性"J

会一

故3,即a«3c,

故3,又e<l,

所以椭圆离心率的取值范围为L3）

故选：B.

【点睛】本题主要考查椭圆的定义和几何性质，属于基础题.

11.德国数学家莱布尼茨是世界上第一个提出二进制记数法的人.二进制数被广泛应用于电子电路、

计算机等领域.某电子电路每运行一次都随机出现一个四位二进制数,其中

j_2

《0=1,2,3,4）出现0的概率为出现1的概率为3,记X=《+%+%+%,当电路运行一次时,

X的数学期望£（“）=（）

48

A.3B.2C.3D.3

【答案】C

【分析】根据二项分布求期望.

X=0,l,2,3,4,P（X=%）=C

【详解】由题意,

X~B\4,

故选:C.

12.已知MH是定义在（°什8）上的函数/（》）的导函数，且矿。）一/（》）>°,则"

y,"唳）的大小关系为（

）

A.a>c>bB.a>b>cC.b>c>aD.b>a>c

【答案】A

【分析】构造由已知及导数研究其单调性，进而比较

的大小即可.

g（x）eg，（x）*）"

【详解】令X,则//.

因为M'（x）-/（x）>°对于（0，+8）恒成立，

所以双x）>°,即g0X在（°产）上单调递增,

又12人⑶，（e人且2e3,

所以g（介g0>g|H

即a>c>6.

故选：A

二、填空题

13.已知随机变量X服从二项分布I勾，则“（2X+1）=.

7

【答案】2

【分析】由二项分布得到“（X）,即可求出“（2X+1）的值.

【详解】解：由题意

在随机变量X中，*服从二项分布I4九

,E（X）=5X：；

7

£,（2Ar+l）=2£（Ar）+l=-

:.2

7

故答案为：2.

14.某品牌的一款纯电动车单次最大续航里程X(千米)服从正态分布*(200°1°。任选一辆该款

电动车，则它的单次最大续航里程恰在1970(千米)到2020(千米)之间的概率为

.(参考公式：随机变量自服从正态分布“(")，则P(〃-b444〃+b)=0.6827,

P(〃-2cr4&4〃+2or)=0.9545P(〃-3(r4J4〃+3cr)=0.9973)

【答案】0.9759

【分析】根据正态分布求出〃和。的值，根据参考公式，即可求出单次最大续航里程恰在1970千

米到2020千米之间的概率.

【详解】解：由题意

~7^(2000,102)

,.•A=2000,cr=10，

P(19704X42020)=P(〃一3<T4X4〃+2<7)=P(〃一3b4j4〃+3<7)-；［P(〃-3b4j4〃+3b)-P(〃一2b4j4〃-

故答案为：0.9759.

15.设等差数列｛%｝的前"项和为，吗若儿>0岛<0,则数列Ml｝的最小项是第

___________项.

【答案】9

【分析】利用等差数列前"项和公式和等差数列的性质求解.

【详解】设等差数列也｝的公差为力・FL"=*,九>。与<0,

16(《+卬6)_16(%+。9)17x2%

且3―2-2517--2-'

a8+a9>0,17%<0,，〃8<0,d<。且。8>-a9>0

又一旬所以数列MJ｝的最小项是”

故答案为:9.

〃\12./(再)-小2)3

/(x)=-x-ax+Inxv

16.已知函数2,对于任意不同的不，々气。,+叼，有x,-x2,则

实数。的取值范围为.

［答案］(-8，T］

【分析】设结合不等式可得/（演）-3*＜/（々）-3马，构造函数"G）=/（x）-3x,则

尸（网）＜尸（々），即F（x）单调递增，转化问题为/（》炫。恒成立，进而分离参数，结合基本不等式

即可求解.

“西）一-（々）.j

【详解】对于任意々'（。，长0）,有Xf

不妨设再（“2,则/（再）一/（*2）＜3（石-工2）,即/（xJ-3Xj＜/（%2）-32

设尸（x）=/（x）-3x,则尸（西）〈尸仁）,

又占＜%,所以F（x）单调递增，则F（x）N°恒成立,

为F(x)=/(x)-3x=-^x2-(3+a)x+lnx

-(3+a+1

,

F(x)=x-(3+a)+—=令g(x)=f-(3+a)x+l

所以xx

要使F（x）2。在（°，+0恒成立，只需g3=--（3+”）x+120恒成立，即3+。V'+嚏恒成立,

xH—W2、卜.——2

又X、x,所以3+〃42,即。4-1,

故答案为：（-8，T]

三、解答题

17.已知在2垢;）的展开式中，第6项为常数项.

(1)求n；

（2）求展开式中所有的有理项.

T452763T45

T.=—xT,=-----7L=-----------r

【答案】（1）〃=1°.（2）展开式中的有理项为：4,8,256x2

-10=0故〃=10

1口

T=Cr(--Y-x3

(2)设展开式中的有理项为川102

10~2reZ,r=0,l,2,---,10

n则3,故尸=2,5,8

・.・展开式中的有理项为：T2+，=Cl2°2）2-,=—4'x2

小=%（一夕=糕QY（今）=离

28,2256.r

点评：运用二项展开式的通项公式求特定项，特定项系数、常数项、有理项等，通常是先根据已知

条件"，再求二-1,有时还需先求X,再求"，才能求出7'一］.

18.已知点P到片（一2,0）,&Q°）的距离之和等于2b.

（1）求点尸的轨迹C的方程；

（2）过点G4#）的直线/与（1）中的曲线C相切，且与圆（x+2）~+/=/（r>0）也相切，求厂的

值.

x2丁

---1---=1

【答案】⑴73

（2）1

【分析】（1）由题意可知131+1尸£1=2近>|耳巴|,故可根据椭圆的定义判定曲线c为椭圆，进

而求得椭圆方程；

（2）设直线方程，将直线方程和椭圆方程联立，根据直线和椭圆相切，令判别式为零，求得直线

方程，再根据直线和圆相切，利用点到直线的距离等于半径，可求得答案.

【详解】⑴据题意有：1户用+上尸2k2>/7>|月6|,

由椭圆的定义知点P的轨迹C是以用（2，°）为焦点的椭圆，c=2,”=不，

工+J1

所以。2-'=〃=3,所以轨迹C的方程为73一.

（2）显然直线/的斜率存在，设直线/的方程为y="G+4）,

y=笈（x+4）,

联立［3/+7/=21得（3+7公卜2+56公x+112--21=0

由题意得人NX-A+WFAJ-W,-?

所以直线/的方程为，=土76+4）,即x士岛+4=0.

2,2厂小％

因为直线/与圆（x+2）~+V=/（"0）也相切，所以V3+1.

19.某班从6名班干部（其中男生4人，女生2人）中选3人参加学校学生会的干部竞选.

（1）求女生乙被选中的概率；

（2）在男生甲被选中的情况下，求女生乙也被选中的概率.

【答案】⑴5

2

⑵M

【分析】（1）直接用古典概型的概率求解即可.

（2）先算男生甲被选中的概率，再算女生乙被选中，然后根据条件概率求解.

C21

P=-=—

【详解】（1）女生乙被选中事件的概率2

（2）设“男生甲被选中”为事件A,“女生乙被选中”为事件8,

则一c2I戢5I）眸）5

20.如图，在四棱锥尸一/8S中，底面Z8C。是直角梯形，

AB//CD,BAD=90,AB=AD=2DC=2,AP=PD=>/2平面PZZ）_L平面/BCD

（1）证明：平面PC£>_L平面尸ZB；

（2）求直线必与平面尸。夹角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析

正

⑵3

【分析】（1）利用空间向量的坐标运算，求出平面PCD,平面P48的法向量，即可证明;

(2)利用线面夹角的向量运算求解.

【详解】(1)设/行8c的中点分别为连接尸O00£,因为/尸=尸£),

所以

因为平面尸力。平面46CQ,平面夕4)c平面Z3CQ=Z2POu平面尸力。，

所以尸。工平面ABCD,AD.OEu平面/6CQ,所以「。14D,PO1OE,

因为底面ABCD是直角梯形，AB"CD,/网8c的中点分别为Cf^E,

所以4B〃OE,又NB4D=90,所以/Z)，OE.

以。为原点，。/为x轴，°E为歹轴，。尸为z轴，建立空间直角坐标系如图所示,

已知AB=AD=2DC=2,AP=PD=叵,则。(0,0,0),/(1,0,0),。(-1,0,0)

P(0,0,l),5(l,2,0),C(-l,l,0)

=(-1,o,-1),nc=(O,I,O),E4=(I,0,-1),ZB=(0,2,0)

J/MPD=0

设"?=(X],%,zj是平面PCD的一个法向量，则DC=0

-x}_Zj=0

即[凹=0,令X|=l,贝护=(l'0,T).

nPA=0

设"=(々,%,z?)是平面48的一个法向量，则旧•”=(),

=0

一「=0，令七=1,则"=(1，°/),

因为=(1,0,-1>(1,0,1)=0,所以前J.G,

即平面PCO,平面

(2)P8=(L2，T),设直线P8与平面PCD的夹角为。，

Jn*H瓯褶辐=福¥,

直线尸B与平面PCQ夹角的正弦值为3.

21.北京时间2月20日，北京2022年冬奥会闭幕式在国家体育场举行.北京2022年冬奥会的举行

激发了人们的冰雪兴趣，带火了冬季旅游，某旅游平台计划在注册会员中调查对冰雪运动的爱好情

况，其中男会员有1000名，女会员有800名，用分层抽样的方法随机抽取36名会员进行详细调查,

调查结果发现抽取的这36名会员中喜欢冰雪运动的男会员有8人，女会员有4人.

（1）在1800名会员中喜欢冰雪运动的估计有多少人？

（2）在抽取的喜欢冰雪运动的会员中任选3人，记选出的3人中男会员有X人，求随机变量X的分

布列与数学期望.

【答案】（1）60。（人）

（2）分布列答案见解析，数学期望：2

【分析】（1）根据分层抽样的定义求出男女会员中喜欢冰雪运动的比例，进而求解;

（2）根据超几何分布计算概率.

【详解】（1）用分层抽样的方法随机抽取36名会员，

1000“

----x36=20

其中男会员有1800（人），女会员有16人，

84

—X1000+—x800=600

所以在1800名会员中喜欢冰雪运动的估计有2016（人）.

（2）X可能的取值有°」，2,3,

C©_48_12

尸—。）告于0尸（”）=

--5

VX],44UJJ/22055

^C；_I12_28（»CC；_5614

（）C]22055'尸（）C|220

255

所以X的分布列为

X0123

1122814

P

55555555

所以“的期望"⑶=°£+1X£+2X||+3X+2

22.已知函数名（”）=历占“'）="

⑴令"心”…讨论函数/⑺的单调性；

（2）求证：对任意的正整数〃，当时，有x-g（x）Z也"（x）

【答案】（1）答案不唯一，具体见解析：（2）证明见解析.

【分析】（1）求导GT）,分〃?=0,m<0,加>。讨论求解:

⑵将证X"Ag（4跖成立，转化为证"时w成立,根据丹