2021-2022学年云南省楚雄州高二年级上册学期期末教育学业质量监测数学试题含答案

2021-2022学年云南省楚雄州高二上学期期末教育学业质量监测数学

试题

一、单选题

1.已知集合"邛24XTW0},5={X0<X<2},则加8=（）

A.（MB.[-⑶加[44

【答案】A

4=卜1—KxVlJ

【分析】由题知12J,再根据集合交集运算求解即可.

c--<Y<1

【详解】解：解不等式2/7-140得2--,

।4=9|2寸-X_K0}={x

所以Zc8={x[0<xWl}

故选：A

2,设z+25=3-2i,则卜+1|=（）

A.2亚B.亚C.2A/2d.72

【答案】C

[分析]设2="+及，°,6eR,则由已知条件可求出复数z,从而可求出2+1|

【详解】设」则"历则

z=Q+i,a,beRtz+2l=3=3-2i,a=l,b=2,

所以z+l=l+2i+l=2+2i

所以|z+l|=7FS=2应.

故选：C

1,-1,』,」—...

3.已知数列'4'2'16',则这个数列的第8项为（）

--_±_9___H

A.8B.16C.64D.-32

【答案】B

【分析】依据前五项的规律写出数列的通项公式，由通项公式求出数列的第8项即可.

【详解】由已知条件得

।1।2331455

•••数列2°,2',422,223,1624

产=（-l产六

则「TA4

故选：B.

4.双曲线底-3「=2的实轴长为（）

A.1B.&C.2D.2^2

【答案】B

【分析】由双曲线的标准方程可求出。，即可求双曲线的实轴长.

【详解】由4--3/=2可得：23,

2172

:.a=-a=——

2,即2,

，实轴长2。=夜,

故选：B

22

C—r+=1（47>6>0）r-口

5.已知椭圆,卜的两个焦点分别为《，心，户是椭圆上一点,

|「与|+||=10,且C的短半轴长等于焦距，则椭圆C的标准方程为（）

A.2510B.2520

x2y2_x2y2_

C.3020D.4530

【答案】B

【分析】由题可得。=5,b=lc,a2=b2+c\即求.

【详解】因为附什附|=2。=10,

所以"=5.

因为6=20,/=/+。2,

所以c=石,6=2石，

故椭圆C的标准方程为2520.

故选：B.

6.已知等比数列｛4｝的前“项和为S",公比为4,若5"吃，S&=45,则犯=（）

A.3B.6C.9D.12

【答案】B

【分析】根据等比数列前〃项和公式进行求解即可.

—）,q（M）

【详解】设"J的公比为q,因为、=95，所以<7*1,则有If\-q,

3MIL

即1+4=9,解得4=2又1-2,所以可=3,华=6

故选：B

x2/_

7.“〃〃?<0，，是“方程加〃表示的曲线为双曲线”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】根据双曲线的方程以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可.

《+廿=1

【详解】当团〃<0,则团>°且或机<0且〃>0,此时方程蔡十丁一表示的曲线一定为双曲线;

则充分性成立；

x2好,

若方程加«表示的曲线为双曲线，贝则必要性成立，

故选：C.

<tan=sinf—+—1

8.已知数列满足（26人其前〃项和为S",贝-2必=（）

_V3_1±且

A.2B.2C.2D.2

【答案】D

【分析】利用代入法可以判断出该数列的周期，利用周期性进行求解即可.

G161百

a.=—u=——a=——-«=T4=——

【详解】因为2,2-2,-32,42,•2,

S一一正

所以S"｝是周期为4的周期数列，$4=°,所以2⑼一R一2

故选：D

LV7近

9.椭圆8m-2的离心率为2,则根=（）

A.6B.10C.6或18D.10或18

【答案】C

【分析】对椭圆的焦点位置分两种情况讨论，解方程即得解.

±+上=]

【详解】解：当椭圆8m-2的焦点在x轴上时，8>〃-2>0,;.2<小<10

8-（机一2）/

则8I2J,得加=6；

《+上=1

当椭圆8m-2的焦点在夕轴上时，加_2>8,;.阳>10

（777-2）-8五、

则时2（2）,得加=18.

故选：C

10.已知经过抛物线/=2px（p>0）焦点尸的直线交抛物线于"（冷凹），两点，。为坐标

原点，直线。/交抛物线的准线/于点。，则下列说法不正确的是（）

A.必为=一夕2B\AB\=x,+x2+p

x,x2=——

C.2D.直线。B平行于X轴

【答案】C

x=myH——

【分析】根据焦点弦的性质判断B,设直线的方程为-2,联立直线与抛物线方程，消

元、列出韦达定理，即可判断A、C,求出点。的纵坐标，即可判断D.

仁0）x=_E_E

【详解】解：由题知，焦点尸的坐标为【2）,准线/的方程为2,所以点。的横坐标为2.

M尸I—x+—忸尸|=X-,+—T+r4-r>

由抛物线的定义知।1y2,11-2,所以悭-玉+X2+P,故B正确.

y2=2px

x=my+—]x=my+—2r2八

设直线48的方程为2,联立方程组1-2得V-2pmy-p=0,

XX=也上

■>人]人0—）一

则必乂=-〃，所以4p-4；故A正确，C错误.

2PP2P2

y=——x---y,=---

因为直线。力的方程为％，所以点。的纵坐标为必，因为一»,所以直线。8平行于

x轴，故D正确.

故选：C

11.若数列｛"〃｝满足（〃一1）〃〃=（〃+1限（〃22）,《=2,则满足不等式4<870的最大正整数〃为

（）

A.28B.29C.30D.31

【答案】A

%_"+1

【分析】依题意可得""T再利用累乘法求出通项公式，再解一元二次不等式即可；

【详解】解：由（"1）。“=（”+1）%（〃22）,得%

a.a,凡334n+\2

an=ax•—•--—=2x—x—x---x---=n+〃

所以«1%为i12n-\

因为凡<870,所以〃2+〃_870<0,解得-30<〃<29,所以满足条件的最大正整数〃为28.

故选：A

12.3D打印是快速成型技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等

可粘合材料，通过逐层打印的方式来构造物体的技术，如图所示的塔筒为3D打印的双曲线型塔筒，

该塔筒是由离心率为丽的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的，己知该塔筒（数据

均以外壁即塔筒外侧表面计算）的上底直径为4cm,下底直径为6cm,高为9cm,则喉部（最细处）

的直径为（）

9724加逑8/

A.8cmB.3cmC.4cmD.3cm

【答案】D

【分析】作该塔筒的轴截面图像并建立坐标系，根据双曲线的性质求出其实轴长度即可.

【详解】该塔筒的轴截面如图所示，以C为喉部对应点，设4与8分别为上、下底面对应点，以

双曲线的对称中心为原点，焦点所在轴为X轴建立如图所示的坐标系.

3%=9,

设“（2,相），则8（3,加-9）

fv2

=1（4>0/>0）

设双曲线的方程为ab-\，

•••双曲线的离心率为V,...6=3a.

方程可化简为9/一/=9/（*）,

36-,n2=9a2,

472

将N和B的坐标代入（*）式可得181-（加-9）=9a2,Cl---------

解得3

2”述

则喉部的直径3cm.

故选：D

二、双空题

13.某地区在2020年底全面建成小康社会，随着乡村振兴战略规划的实施，该地区农村居民的收

入逐渐增加，可支配消费支出也逐年增加.现统计了该地区2016年到2020年农村居民人均消费支

出情况，对有关数据进行处理后，制成如图所示的折线图，其中变量（万元）表示该地区农村居

民人均年消费支出，则这五年该地区农村居民人均年消费支出的平均数为,方差为

.（本题第一空2分，第二空3分）

【答案】1.30.04

【分析】根据题意得该地区农村居民人均年消费支出数据为LL2，L3，L4,L6,进而根据公式求解即

可.

【详解】解：该地区农村居民人均年消费支出数据为1』2L3，L4,L6,

_Y—_1_+_1_._2_+__1._3_+__1_.4__+_1_._6一]…3

所以这五年该地区农村居民人均年消费支出的平均数一5

(1.3-1)2+(1.3-1.2)2+(1.3-1.3)2+(1.3-1.4)2+(1.3-1.6)2…

s2=--------------------------------------------------=0.04

方差5

故答案为：L3；0,04

三、填空题

14.《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一.现有一道和书中内容类似的题目：把100个

面包分给5个人，使每人所得面包个数成等差数列，且较多的三份面包个数之和的§是较少的两份

面包个数之和，则最少的一份面包个数为.

【答案】10

【分析】设每人所得的面包个数从小到大依次为。-2九a-d,a,a+d,a+2d,

由题意列方程组求出a,d,即可得到结论.

【详解】设每人所得的面包个数从小到大依次为a-2d,a-d,a,a+d,a+2d,

则a-2d+a-d+a+a+d+a+2d=5。=100,

所以。=20

a-2d+a-d=—(a+a+d+a+2d>)40-3"=』(60+3")

因为3、7,所以3、，,所以"=5,

所以最少的一份面包个数为a-2d=10.

故答案为：10

15.抛物线/=-2以上有一动点尸，其焦点为尸,'(-9,5),则阳+阳|的最小值为

【答案】15

【分析】根据抛物线的定义得到归日+PHTPC|+|&],进而结合几何图形可确定最小值.

过p作准线的垂线为PC交准线为点c,

根据抛物线的定义可知归日=忸1,

所以「尸㈤尸/|=1尸1+|尸才|,

因为尸为抛物线上的动点，所以当尸为点P时，

|PF|+\PA\=|PC|+附取到最小值为AB=6-（-9）=15,

故答案为：15.

16.动点P与定点/（2，°）的距离和它到定直线x=8的距离的比是1:2,则动点尸的轨迹方程是

—+—=1

【答案】1612

【分析】设动点P（X/）,用坐标表示已知条件并化简即可.

7（x-2）2+/-1占+且=1

【详解】设P（XJ），则lX~8l2,化简得：16+-12".

---+----=1

故答案为：1612.

【点睛】本题考查动点轨迹方程，解题方法是直接法，即设动点坐标为（羽田，用坐标表示出题中动

点满足的几何条件，然后化简即可.

四、解答题

17.已知等差数列｛“"｝的前”项和为S，,公差1、°，出是％，%的等比中项,邑=75.

（1）求｛""｝的通项公式；

（2）求数列〔"M+iJ的前”项和刀，.

【答案】⑴""=6〃-3

n

（2）18n+9

]"=6,

【分析】（1）根据等差数列的公式列方程求解得3，,进而得通项公式;

（2）结合（1）得616〃-3-6〃M+3人再根据裂项求和法求解即可.

/3+4d）=Q+d）2,

【详解】（1）解：由题意知〔$5=5卬+10"=75,

[d=6,

因为d=所以L=%

所以能二6〃-3

1

二]

②解：因为_（6n-3）_（6n+3）u61p6〃_-3_6〃+3j

.1/111111]_1(11〃

T=--------1--------------1-------1------------

“6(399156/7-36〃+3厂6〃+3厂18〃+9

18.已知的内角4'C所对的边分别为a,8,c,且3bcosC=5asin/-3ccosB

⑴求sin/；

(2)若0=3,6=5,求“SC的面积.

3

【答案】⑴S

(2)6

【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再根据两角和的正弦公式计算可得；

（2）首先根据同角三角函数的基本关系求出cos",再利用余弦定理求出J最后根据面积公式计

算可得；

【详解】(1)解：因为36cosc=5asin4-3cc°s8,

所以3sin8cosC=5sinsin-3sinCcosB,

所以3sin8cosC+3sinCcosB=3sin(3+C)=5sin2A,

g|j3sinJ=5sin2A,

.sin4=3

因为sm/xO,所以5

cosA=Vl-sin2A=—

(2)解:因为a<“，所以/<8,所以5

22

因为。2=b+c-2bccosA,a=3,b=5,

,4

9=25+C2-2X5CX-,

所以5,所以c—8c+16=0,

解得c=4,

113

—6csin=~x5x4x—=6

故”8c的面积为225

19.如图，在棱长为。的正方体。中，E、F分别是棱/8、8c上的动点，且

(2)当三棱锥4-8射的体积取得最大值时.，求平面4族与平面8E/的夹角余弦值.

【答案】(1)证明见解析

⑵3

【分析】(l)建立空间直角坐标系，设NE=8F=x,表示出E、尸的坐标，根据空间向量法得到

AFGE=Q,即可得证；

(2)利用基本不等式求出三棱锥片-8EF的体积的最大值，从而求出乙过5作于。，

即可得到80,"尸，则'SQF是二面角4-EF-8的平面角，再根据锐角三角函数计算可得.

【详解】(1)证明：如图建立坐标系

设AE=BF=x,则4(。，°，。)，与q(-x,a,-a)

所以4尸=(-x,a,-a),C,E=(a,x-a,-a)

A\FGE=-X〃+4(X-Q)+〃2=o

所以

所以4尸LCE；

(2)解：由(1)可知8E=a-x,BF=x,

—*n2

2

V=-x(a-x)a<--X+")=—a

所以三棱锥用一曲的体积66[2」24

a

x=—

当且仅当》=。一》，即2时取得最大值，

过8作SOLE尸于。，又平面/8C。，EFu平面/BC。，

所以BBJEF,乂BB[CBD=B,平面88Q

所以平面8与。，4。(3平面84。，

所以8QJ.E尸

所以/B、DF是二面角B.-EF-B的平面角,

BE=BF=-BD=-EF=-yjBE2+BF,2=—a

在直角三角形8EF中，2224

BBr-cr.sinZ.B.!DB

tanNB、DB=当巴=26tanZB}DB=---------——,,

所以BD，又COSN5Q8且sin2N8Q8+cos2N8Q8=l

cosZB,DB=-COS/BQB=-L

解得3或।3(舍去),

因此平面B'EF与平面BEF的夹角余弦值为3.

20.甲、乙两名同学玩摸球游戏，在一个不透明的纸箱中装有大小相同的6个球，其中编号为1的

球有3个，编号为2的球有2个，编号为3的球有1个，规定每人一次性取其中的3个，取出编号

为1的球记1分，取出编号为2的球记2分，取出编号为3的球记3分.首先由甲取出3个球，并

不再将所取球放回原纸箱中，然后由乙取出剩余的3个球.规定取出球的总积分多者获.

(1)求甲不输的概率；

(2)从概率的角度分析先后取球的顺序是否影响比赛的公平性.

13

【答案】⑴20

⑵先后取球的顺序不影响比赛的公平性

【分析】(1)根据题意，记编号为1的球为〃，40,编号为2的球为"，e,编号为3的球为/,进

而列举基本事件，结合古典概型概率公式和对立事件公式求解即可k

(2)结合(1),分别求甲、乙获胜的概率即可判断.

【详解】(1)解：记编号为1的球为“，4°,编号为2的球为编号为3的球为/,

cef,def,共20种.

因为6个小球的总分为3x1+2x2+1x3=10分，

所以若要甲不输，则甲要至少得5分.

设事件A表示“甲不输”，则]包含abc，abd，abe，acd，ace，bcd，bce,共7个基本事件，

所以'/20,

尸(4)=1一二="

故甲不输的概率2020.

(2)解：由甲先取球时，若甲获胜，得分只能是7分或6分，

即取出的3个小球中有.I个编号为3的球和2个编号为2的球，或有1个编号为3的球和1个编号

为2的球和1个编号为1的球，有a/；aef,bdf,bef,cdf,cef,def,共7种情况，

P=—

即甲获胜的概率]20.

若甲、乙平局，则各得5分，包含abf，acf，bcf，ade，bde，cde,共6个基本事件，

P-y=——=—

所以甲、乙平局的概率.2010,

nI377

rs=1-------=--

所以甲输，即乙获胜的概率102020,

因此甲、乙获胜的概率相同.同理，由乙先取球时，甲、乙获胜的概率也相同.

故先后取球的顺序不影响比赛的公平性.

21.已知函数/(尤)=8+—.

(1)若/(X)是偶函数，求4的值；

(2)若对任意X*@+°°),不等式/(x)》a+l恒成立，求〃的取值范围.

【答案】⑴0

⑵E

【分析】(1)由偶函数的定义得出。的值；

2xt

<e-e+le2'-e，+l

(2)由/(x))a+l分离参数得“一.7,利用换元法得出e*-l的最小值，即可得出。

的取值范围.

【详解】(1)因为/(X)是偶函数，所以/(^)=/(丫)，

即b+(1+”)e'=er+(l+，故〃=0.

(2)由题意知—+0+“)尸2a+1在(0,+©)上恒成立,

则诉'-1内2-'+1,又因为xe(O,⑹，所以e，>l,

<C2A—e'+1

则"-ex-l,令e'T=/(t>0),则e』+l,

(f+l)2-(/+1)+1t2+t+l,1

可得tt£,

又因为t,当且仅当，=1时，等号成立，所以“43,即4的取值范围是L°°,”.

^_£=1

22.已知双曲线416.

(1)过点N°'l)的直线与双曲线交于S,T两点，点N能否是线段ST的中点，为什么？

(2)直线/：'=丘+'"("*士2)与双曲线有唯一的公共点”，过点M且与/垂直的直线分别交x轴、

y轴于，（x,0）,8（°/）两点.当点M运动时，求点P（x，N）的轨迹方程，并说明该轨迹是什么曲线.

【答案】（1）不能，理由见解析

二上1

（2）P的轨迹方程为10。25,其中P的轨迹是焦点在x