第三课时两角和与差的正切公式

第三两角和与差的正能利用两角和与差的正切进行简、求值、证明从间的联系入手，引导学生

tanα＋tan1－tanαtantanα·tantanα－tan1＋tanαtanπtanα·tan两角和与差的正切的变tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtantanα＋tanβ＋tanαtantanα＋tantanαtanβ＝1－ tanα－tanβ＝tan(α－β)(1＋tanαtantanα－tanβ－tanαtantanα－tantanαtan

S(α＋β)，C(α＋β)，T(α＋β)，S(α－β)，C(α－β)，T(α－β)这6个和与差的三角函数之间1.

α，β∈R，使tan(α＋β)＝tanα＋tanβ成立tanα＋tan对任意的 都成立1＋tanα·tan提示两角和的正 的适用范围是

tan(α－β)直接展开2提示π的正切值不存在22.(多选题)已知α，β为任意角，则下列等式恒成立的有( A.sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβB.cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsin tanα－tan1＋tanα＋tan答案2解析D中，α，β，α－β为π＋kπ，k∈Z时不成立，A，B，C中的等式恒成立2已知tanα＝2

答案解

tan

1－tantan75°－tan

1＋tan75°·tan答 解析原式＝tan(75°－15°)＝tan60°＝题型 的正用、逆用、变形【例1 (1)若tan

tan 77771－3tan

＝266663＋tan75° 求值：tan23°＋tan37°＋3tan23°tan 3答案 3解析(1)tan＝tan（α＋β）－tanα1＋tan（α＋β）tan 1－tan60°tan 原式

tan60°＋tan

∵tan23°＋tan37°＝tan60°(1－tan23°tan∴原式＝3－3tan23°tan37°＋3tan23°tan37°＝思维升华探究T(α±β)的逆用及变形应用的解题策4“1”的代换：在T(α±β)中，如果分子中出现“1”1＝tanπ41－tan

3tanα＋tan 3tanα＋tan

＝

1－tan整体意识：若化简的式子中出现了“tanα±tanβ”及“tanα·tanβ”两个整体，常考虑tan(α±β)的变形1－tan1】1＋tan；1－tantan10°＋tan35°＋tan10°tan35°；(3)(1＋tan18°)(1＋tan27°).1＋tan解

tan45°＋tan1－tan 1－tan15°tan＝tan(45°＋15°)＝tan60°＝tanα＋tan(2)由1－tanαtan

tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)tan10°＋tan35°＝tan45°(1－tan10°tan＝1－tan10°tan所以tan10°＋tan35°＋tan10°tan(3)(1＋tan18°)(1＋tan27°)＝1＋tan18°＋tan27°＋tan18°tan27°＝1＋tan45°(1－tan18°tan27°)＋tan18°·tan27°＝2.题型二【例2】(1)设tanα，tanβ是方程x2－3x＋2＝0的根则tan(α＋β)的值为( (2)已知sin α为第二象限角，且tan(α＋β)＝－3，则tanβ的值为 33A.－ 33—答案

D.解析(1)由题意知tanα＋tanβ＝3，tanα·tan＝所以 tanα＋tanβ＝3＝－3.＝1－tanα·tan 2(2)∵α为第二象限角，∴cosα<0，cosα＝－23∴tanα＝－3tan

tan（α＋β）－tan1＋tan（α＋β）·tan-3＋ 3 31＋（－3）×－3 思维升华用＝β－(β－)，2＝(＋β)＋(－)等关系，把待求的三角函数与已

】

3 π

题型三【例3 (1)在△ABC中，tan答案π

1

tanB＝－2，则角 tanA＋tan 解析

1－tanAtan44

(2)α，β均为钝角，且(1－tanα)(1－tanβ)＝2解∵(1－tanα)(1－tan∴1－(tanα＋tanβ)＋tanαtan∴tanα＋tanβ＝tanαtantanα＋tan 1－tanαtan 44思维升华探究利用T(α±β)求角的步(1)求值：根据题设条件求角的某一三角函数值【训练3】已知α为锐角，且tan(α＋β)＝3，tan(α－β)＝2，则角α等于 8π83

4π4 答案解析∵tan

＝

＝

又∵α

8要熟练掌握两角和与差的正切及其变形，在题目中只要见到tanα±tanβ，tanαtanβ时，要有灵活应用T(α＋β)的意识.当所要化简(求值)的式子中出现特殊的数值如“1”“3”3值所对应的特殊角的正切值去代换，如“1＝tan 3＝tanπ”，这样可3构造出有利于应用的条件，从而可以进行化简和求值33

133答案

解

1＋tan

2，解得tan

1－tanA＋B＝45°，则(1＋tanA)(1＋tanB) D.答案解析(1＋tanA)(1＋tan＝1＋(tanA＋tanB)＋tanAtan＝1＋tan(A＋B)(1－tanAtanB)＋tanAtan＝1＋1－tanAtanB＋tanAtan3－tan

3tan18°A.tan B.tan D.tan答案解析∵tan60°＝tan60°－tan∴原式 ＝tan(60°－18°)＝tan1＋tan60°tan

3答案

5＝解 5 4＝3，故选＝

下列式子结果为3的是 ①tan25°＋tan35°＋3tan25°tan35°；②2(sin35°cos25°＋cos35°·cos1＋tan 1－tan③1－tan tan 答案解析对于①利用正切的变形可得原式＝3；对于②原式可化为2(sin35°cos25°＋cos35°sin25°)＝2sin60°＝3.tan45°＋tan对于③原式

＝tan60°＝1－tan45°tan对于④原式＝1＝3— —

已知答案7

2＝－3，则tan2 解析

. .

已知A，B都是锐角，且tan

＝sin 5＝

答案π

5解析∵B为锐角，sinB＝5，∴cosB＝25，∴tantanA＋tan

＋ ＋

1－tanAtan

sinα＋cos已 ＝3，tan(α－β)＝2，则 sinα－cos答案3sinα＋cos tan解析

sinα－cos

＝3，则tanα＝2.tanα－1因为tan(α－β)＝2，所以故4tan（β－α）－tan 4 1＋tan（β－α）tan 已知tanα，tanβx2－3x－3＝0解由已知有

tanα＋tan ＝3 ＝31－tanαtan

已知tanα，tanβ6x2－5x＋1＝0

＋β)α＋β的值

2解∵tanα，tanβ6x2－5x＋1＝0∴tanα＋tanβ＝5，tanαtan

tanα＋tan＝

561－tanαtan

又 π<β< 445sinα＝54533答案

tanβ＝－3 43435解析sinα＝5α5则cosα＝25，tan5所以

tanα＋tan

1 1－tanαtan

又

3333

3B.333答案π

D.2解析

π－

∴

∴

∴

＝－7已知 tan ＝－7

α，β∈(0，π)2α－β的值解∵tan(α－β)＝1，tan tan（α－β）＋tan

∴tan

1

tan

7又tan7又tan（α－β）＋tan＝

＝ 31－tan（α－β）tan

44

xOyOxα，β边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为 210，5求tan(α＋β)α＋2β的值解