2021-2022学年上海市浦东新区高二年级上册学期期末数学试题含答案

2021-2022学年上海市浦东新区高二上学期期末数学试题

一、填空题

1.空间两点'°12)和8(-2,0,2)间的距离为

【答案】历

【分析】直接由空间中两点的距离公式得出.

［详解］I如J(l+2M+(l_0)2+(2-2)2:屈

故答案为：M.

2.直线6x-y+i=°的倾斜角为.

71

【答案】5

【分析】把直线方程化为斜截式，再利用斜率与倾斜角的关系即可得出.

【详解】设直线瓜7+1=°的倾斜角为

由直线耳-'+1=°化为＞=小+1,故tane=«,

又。€(0团，故故答案为5.

k=_A

【点睛】一般地，如果直线方程的一般式为/x+W+C=0(8=0),那么直线的斜率为-8,且

%=tan9,其中夕为直线的倾斜角，注意它的范围是(°"L

3.若两个球的表面积之比为1：4,则这两个球的体积之比为.

【答案】1:8

4

,V=-7rR}

【详解】试题分析：由求得表面积公式S=4乃长得半径比为1:2,由体积公式3可知体积比

为1:8

【解析】球体的表面积体积

4.经过点“(3,一2)且斜率为2的直线/的一般式方程为

【答案】2x-y-8=0

【分析】根据点斜式公式直接求解即可.

【详解】解：因为直线/过点“(3,一2)且斜率为2,

所以，直线/的方程为N+2=2(x-3),即2x-y-8=0.

故答案为：2x-y-8=0

5.空间向量”=（T，0，M，5=（2,",-4）,若万〃则m+”=.

【答案】2

【分析】由向量平行的坐标运算求得见〃即可求得机+〃的值.

［详解］若2/后，则（2,〃,-4）=-2（-1,0,加），贝|j〃=0,机=2,所以〃?+〃=2.

故答案为：2

6.某学院的A,B,C三个专业共有1200名学生，为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟采用分

层抽样的方法抽取一个容量为120的样本.已知该学院的A专业有380名学生，B专业有420名学

生，则在该学院的C专业应抽取名学生.

【答案】40

【详解】试题分析：该学院的C专业共有1200-380-420=400,所以，在该学院的C专业应抽取学

120

生数为400x1200=40.

【解析】本题主要考查分层抽样.

点评：简单题，分层抽样应满足：各层样本数—该层样本容量=抽样比.

7.若向量则向量£3的夹角为.

2乃

【答案】丁

【分析】直接利用空间向量的夹角公式求解.

【详解】根据题意，设向量"［的夹角为6，

向量£=（1,0,1）3=（0,1,-1）

则向量问

Z1—11

COS”=-r==——

则V2.V22

0=—

又由0404万，则3

24

故答案为：7.

8.棱长为2的正方体的外接球的表面积为.

【答案】12"

【分析】求出正方体的体对角线的长度，就是它的外接球的直径，求出半径，进而求出球的表面积.

【详解】棱长为2的正方体的外接球的直径等于其体对角线长度，

所以外接球的直径=也2+2?+22=2g

S=4万(2,)=127

故答案为：出

9.已知圆锥的底面半径为1,高为百，则该圆锥侧面展开图的圆心角夕的大小为.

【答案】兀

【解析】圆锥的底面半径为1,高为百，则圆的周长是2万，即展开图的弧长，根据勾股定理可知

圆锥母线即展开图的半径，再利用弧长公式计算.

【详解】圆锥的底面半径为1,高为打，则圆锥的母线长为』2+(百y=2,

即展开后所得扇形的半径为2,

圆锥底面圆的周长/=2%即为展开后所得扇形的弧长，

所以根据弧长公式可知2%=2。，

解得6=万

故答案为：式

10.已知样本9，1°，11，X，V的平均数是10,标准差是及，则寸=.

【答案】96

22

【详解］9+10+ll+x+y=50,x+y=20,l+l+(x-10)+(j^-10)=10(

x2+/一20(工+')=-192,(工+4-2孙-20(x+y)=-192,盯=96

7t

ii.已知异面直线”力所成角为过空间一点p有且仅有2条直线与所成角都是。，则e的取

值范围是.

【答案】"J

【分析】将直线0泊平移交于点P,并作及其外角的角平分线；根据过空间一点尸有且仅有

2条直线与“，6所成角都是e,可知4方向上有两条，4方向上不存在，由此可得范围.

【详解】将直线0，'平移交于点尸，设平移后的直线为"力'，

过点P作NaTW及其外角的角平分线44,则3.

h

J,0>一

在4方向，要使过空间一点P的直线，且与d%所成角都是6的直线有两条，则6.

,.0<-

在,2方向，要使过空间一点P的直线，且与“，”所成角都是。的直线不存在，则3；

综上所述：(63人

任生］

故答案为：<6,3A

12.如图，圆锥的底面圆直径为2,母线长S4为4,若小虫尸从点工开始绕着圆锥表面爬行一

圈到SA的中点C,则小虫爬行的最短距离为.

【答案】2遂.

【分析】分析：要求小虫爬行的最短距离，需将圆锥的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得

出结果.

详解：

由题意知底面圆的直径AB=2,

故底面周长等于2兀

设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为〃。，

4〃兀

根据底面周长等于展开后扇形的弧长得2兀=丽,

解得77=90,

所以展开图中（PSC=90°，

根据勾股定理求得PC=2后，

所以小虫爬行的最短距离为2亚.

故答案为2后

点睛：圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母

线长.本题就是把圆锥的侧面展开成扇形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决.

13.在棱长为1的正方体"88-44GA中，点分别是线段,8,82（不包括端点）上的动点,

且线段片2平行于平面A'ADD',则四面体3曲的体积的最大值是.

1

【答案】24

P、B—P〔B

【分析】由线面平行的性质定理知例"PE。,ABA»BD、,

h_P2B

设68=x,xe（0,l）,则P]P2=；£到平面44与8的距离为h,则4ABQ,

所以〃=x,所以四面体的体积为3266224,

当“一5时，四面体的体积取得最大值：牙.

1

所以答案应填：24.

【解析】1、柱、锥、台体体积；2、点、线、面的位置关系.

【思路点睛】本题考查正方形中几何体的体积的求法，找出所求四面体的底面面积和高是解题的关

键，考查计算能力，属于中档题.由线面平行的性质定理知6"〃，：4P\P?BsAAD、B,设出

9=》心（°，1）,则明=缶,£到平面,4与8的距离为x,表示出四面体片鸟物的体积,

通过二次函数的最值，求出四面体的体积的最大值.

14.在正三棱柱/SC-43c中，＞=，4=1,点p满足BP"、+"叫其中证[0,1],

则下列说法中，正确的有（请填入所有正确说法的序号）

①当4=1时，△力87的周长为定值

②当〃=1时，三棱锥「一"me的体积为定值

③当5时，有且仅有一个点尸，使得"f'BP

④当“一5时，有且仅有一个点P,使得•平面

【答案】②④

【分析】①结合2=1得到p在线段CG上，结合图形可知不同位置下周长不同；②由线面平行得到

点到平面距离不变，故体积为定值；③结合图形得到不同位置下有判断出③错误；④

结合图形得到有唯一的点P,使得线面垂直.

【详解】由题意得：BP=4BC+〃BB\,Ae[O,l]t所以P为正方形8CG瓦内一点，

①，当2时，而=前十〃画,即而=〃瓯，所以尸在线段C£上，所以周长

为网+4P+B、P,如图1所示，当点P在々，舄处时，“+阴力8£+然，故①错误；

②，如图2,当M=1时，即丽=为而+阳，即帝=2比，&[0,1],所以尸在4G上，

因为qG/c,4G(Z平面43C,BCu平面4BC,所以点p到平面4BC距

离不变，即〃不变，故②正确；

图2

2=-~BP=-BC+p~BB]

③，当2时，即2,如图3,〃为8c中点，N为BC的中点，尸是MN上一动

点，易知当切=°时，点尸与点N重合时，由于△/8C为等边三角形，N为8C中点，所以

ANLBC,又18c,”4nZN=，，所以8N_L平面,因为4°u平面,则

BP±AF,当〃=1时，点P与点M重合时，可证明出'附1平面8CC£,而平面8CC©,

ROA'M1BM,即4P裂尸,故③错误；

M

图3

U=-BP=ABC+-BB.DD

④，当20寸，即2,如图4所示，。为6片的中点，E为CG的中点，则「为

OE上一动点，易知48，"瓦，若48,平面“与尸，只需即可，取用G的中点R连接

A#,BF,又因为平面8"百，所以吊/J.8/,若/田1瓦P,只需8f_L平面4”即

尸即可，如图5,易知当且仅当点P与点E重合时，8f8厂故只有一个点尸符合要求,

使得43J.平面”与尸，故④正确

故选：②④

【点睛】立体几何的压轴题，通常情况下要画出图形，利用线面平行，线面垂直及特殊点，特殊值

进行排除选项，或者用等体积法进行转化等思路进行解决.

二、单选题

15.下列几何体中，多面体是（）

【答案】B

【分析】判断各选项中几何体的形状，从而可得出多面体的选项.

【详解】A选项中的几何体是球，是旋转体；B选项中的几何体是三棱柱，是多面体；

C选项中的几何体是圆柱，旋转体；D选项中的几何体是圆锥，是旋转体.

故选B.

【点睛】本题考查多面体的判断，要熟悉多面体与旋转体的基本概念，考查对简单几何体概念的理

解，属于基础题.

16.类比平面内“垂直于同条一直线的两条直线互相平行”的性质，可推出空间中有下列结论：

①垂直于同一条直线的两条直线互相平行；

②垂直于同一条直线的两个平面互相平行；

③垂直于同一个平面的两条直线互相平行；

④垂直于同一个平面的两个平面互相平行.

其中正确的是（）

A.①②B.②③C.③④D.①④

【答案】B

【分析】垂直于同一条直线的两条直线可能平行、相交、或异面，判断①；由直线与平面平行的性

质判断②；由平面平行的判定定理判断③；垂直于同一个平面的两个平面平行或相交，判断④.

【详解】垂直于同一条直线的两条直线平行、相交、或异面，①错误；

垂直于同一个平面的两条直线互相平行，由直线与平面平行的性质知②正确；

垂直于同一条直线的两个平面互相平行，由平面平行的判定定理知③正确；

垂直于同一个平面的两个平面平行或相交，④错误；

故选：B

【点睛】本题考查命题的真假判断，考查空间点线面的位置关系，属于基础题.

17.“直线的方向向量与平面的法向量垂直”是“直线与平面平行”的（）

A.充要条件B.充分非必要条件

C.必要非充分条件D.既非充分又非必要条件

【答案】C

【分析】根据直线与平面平行的性质及判定定理可得.

【详解】直线/的方向向量与平面的法向量垂直，不一定得到直线与平面平行，例如直线在平面内

的时候就不满足，

当直线,与平面a平行时，可以得到直线的方向向量与平面的法向量垂直，

二前者不能推出后者，后者可以推出前者，

•••前者是后者的必要不充分条件，

即“直线的方向向量与平面的法向量垂直”是“直线与平面平行”的必要不充分条件.

故选：C

18.已知集合4是集合8的真子集，则下列关于非空集合48的四个命题：

①若任取xe/,则xe8是必然事件；

②若任取xe/,则xe5是不可能事件；

③若任取xeB,则xe4是随机事件：

④若任取则是必然事件.

其中正确的命题有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【分析】、

由题意作出韦恩图，结合必然事件、不可能事件和随机事件的定义对选项一一判断即可得出答案.

【详解】因为集合/是集合8的真子集，所以集合N中的元素都在集合8中，集合5中存在元素

不是集合力中的元素，作出其韦恩图如图：

对于①：集合/中的任何一个元素都是集合8中的元素，任取xe/,则xeB是必然事件，故①

正确；

对于②：任取xeN,则xe8是随机事件，故②不正确；

对于③：因为集合Z是集合8的真子集，

集合8中存在元素不是集合/中的元素，

集合8中也存在集合力中的元素，

所以任取则xe』是随机事件，故③正确；

对于④：因为集合”中的任何一个元素都是集合8中的元素，

任取则是必然事件，故④正确;

所以①③④正确，正确的命题有3个.

故选：C.

19.在正四棱柱中，顶点用到对角线8"和到平面48cA的距离分别为〃和a,则

下列命题中正确的是

h_

A.若侧棱的长小于底面的变长，则Z的取值范围为（°，1）

h_72273

B.若侧棱的长小于底面的变长，则2的取值范围为（三'亍

A（理伪

C.若侧棱的长大于底面的变长，则”的取值范围为3

hQ拒5、

一（----,+℃）

D.若侧棱的长大于底面的变长，则”的取值范围为3

【答案】C

【详解】设侧棱长是'，底面的变长是。，点用到对角线'A的距离"即为直角三角形斜

41ab

BR=6a,B、B=b,h=J

边82上的高,,2/+/,点用到平面48cA的距离分别a即为直角三角

形△与历1斜边3m上的高,

若侧棱的长小于底面的边长,

A,B错误;

若侧棱的长大于底面的边长,

即心，

选C

20.如图，在正方体"88-4AGA中，点°为线段8。的中点.设点户在线段8£上，直线

°尸与平面48。所成的角为a,则Sina的取值范围是（）

D、「

[%]¥刀除平][#，1]

A.3B.3C.33D.3

【答案】C

sina=^_________1_________

3J14PL+耳.

【分析】设出正方体棱长，表达出VI"414；14,判断出v=sma在ae[0,2]是

严格减函数，从而求出最值，得到取值范围

【详解】设正方体的棱长为2,

以。为原点，为x轴，°C为》轴，DD为z轴，建立空间直角坐标系，

Z八

/B

则4(2,0,2),8(2,2,0),。(0,0,0),。(1/,0),尸(°,2,2),04a42

DA{=(2,0,2),D5=(2,2,0),OP=(a-1,1,2),

n-DA}=2x+2z=二0

设平面"加的法向量石=(x,%z),则，£>5=2x+2y=0

取x=l,得万=(1,-1,-1),

sina=g(而砌=-Bi=占七产=且

\a-4\

所以।"QP•四五-*+5忑3

V3]_且_________1___________且]________

Vra-l5—T-r3.25—Vf146.

S)+(^y严」+(^yd『十才

y-------

因为04a42,所以10_4在“€[0,2]上单调递减,

5

y=+一

由复合函数单调性可知14单调递增,

所以y=sina在ae[0,2]是严格减函数,

V3x|2-4|_V2

(sin/3*Jq-iy+53

所以"2时,sina取最小值

、6|0-4|272

(sma)max=-x2=—

"=0时，sina取最大值{(。7)+5'

也2」

所以sina的取值范围是353.

故选：C.

【点睛】方法点睛：线面角最值求解，常常用到以下方法:

一是向量法，建立空间直角坐标系，需要引入变量，转化为函数的最值问题进行求解;

二是定义法，常常需要作出辅助线，找到线面角，求出最值，常用知识点有正弦定理,余弦定理,

基本不等式等;

三、解答题

43

甲、乙两位同学上课后独自完成自我检测题，甲及格概率为乙及格概率为

21.S,求:

(1)求甲、乙两人都及格的概率；

(2)求至少有一人及格的概率；

(3)求恰有一人及格的概率.

12

【答案】(1*

23

⑵五

11

⑶五

【分析】(1)根据独立事件的乘法公式求解即可：

(2)先求出两人都不及格的概率，再根据对立事件概率求解即可；

(3)根据独立事件的乘法公式求解即可；

43

【详解】(1)解：因为甲及格概率为《，乙及格概率为二，

„4312

1,——X——--

所以，甲、乙两人都及格的概率5525.

43

(2)解：因为甲及格概率为与，乙及格概率为二，

432

(1—)(1—)=—

所以，两人都不及格的概率为5525,

nI223

H=1------=—

所以，至少有一人及格的概率2525.

43

(3)解：因为甲及格概率为与，乙及格概率为《，

c4八3\"4、311

R=—x(l——)+(1——)x-=——

所以，恰有一人及格的概率555525.

22.某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对

该部门的评分，绘制频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据分组区间为140,50),

(2)求该企业50名职工对该部门评分的平均数(同一组数据用该区间的中点值表示)；

(3)从评分在KO,60)的职工的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在［50,6。)的概率.

【答案】(1)«=0.006

(2)80

3

⑶10

【分析】（1）根据频率和为1求解即可；

（2）直接根据频率分布直方图计算平均数即可；

（3）先计算各组的频数，再结合古典概型公式计算即可；

【详解】⑴解：因为（0・004+a+0.018+0.022x2+0.028）xl0=l,解得。=0.006；

所以。=0・0。6

（2）解：可估算样本平均数为

x=45x0.04+55x0.06+65x0.22+75x0.28+85x0.22+95x0.18=80.♦

（3）解：由题知，50x0.004x10=2人，50x0.006x10=3,

所以，评分在口0,50）的职工有2人，记为48,

评分在［50,60）的职工有3人，记为a,b,c,

所以，从中随机抽取2人，所有的情况为：（48）,（4。）,（46）,（4c）,

共］0种,

其中，此2人评分都在［50,60）的有（。，6），（"，。），0,。），3种，

P=—

所以，此2人评分都在KO,60）的概率10.

23.正方体的棱长为2,E,尸分别为8名、8的中点，求：

（1）异面直线力"与2后所成的角；

（2）求点尸到平面4。出的距离.

275

arccos-----

【答案】⑴15

3层

⑵5

【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解即可：

（2）根据空间距离的向量方法求解即可.

【详解】（1）以.为原点，“"“AG，。。所在直线为x轴，了轴，z轴建立空间直角

坐标系，则/（2，0，2）,尸（0,1,2）,£）,（0,0,0）,4（2,0,0）,£（2,2,1）,

"=（-2,1,0）,*=（2,2,1）

2y[5

arccos----

所以异面直线4尸与"E所成的角为15.

(2)丽=(2,0,0),屏=(2,2,1),

设百=(x/,z)是平面的法向量，

n-D^Af=2x=0

«

则忻•Z)E=2x+2y+z=0,令y=T,得7=(0,-1,2)

又麻=(0,1,2),

d_\n-D^F\_375

所以点尸到平面40石的距离।川5.

24.如图，圆柱的轴截面”8。是正方形，点£在底面圆周上(点E异于A、B两点)，点F在

上，且4F1DE,若圆柱的底面积与的面积之比等于".

(1)求证：4F上BD；

(2)求直线DE与平面ABCD所成角的正切值.

【答案】(1)证明见解析

V5

⑵5

【分析】(1)利用线面垂直的判定定理，结合圆的性质，可得答案;

(2)根据线面角的定义，结合面面垂直性质，利用几何法，可得答案.

【详解】(1)根据圆柱性质，，平面/BE.

因为E8u平面/8E,所以Q41E8.

因为“8是圆柱底面的直径，点E在圆周上，

所以又4Ec4D=4,故仍，平面D4E.

因为NFu平面。/E,所以EB1AF.

又4F1DE,且=故/尸_L平面OEB.

因为。8u平面。E8,所以“尸，D8.

(2)因为平面48CQ1平面H8E,所以过E作E/7J.48,

由平面NBCOc平面=则平面/BCD,即为。E与平面/BCD所成角,

设圆柱的底半径为「，因为圆柱的轴截面力88是正方形,

S=-AB-EH=r-EH

△4BE的面积为2圆柱的底面积5=42,