信号与系统课件 §4.2 拉普拉斯变换的定义、收敛域_第1页
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§4.2

拉普拉斯变换的定义、收敛域一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换二、拉氏变换的收敛域三、一些常用函数的拉氏变换返回四、对单边拉氏变换的几点注意一．从傅里叶变换到拉普拉斯变换信号f(t),乘以衰减因子e-st(s为任意实数)后容易满足绝对可积条件,依傅氏变换定义:令:s+jw=s,具有频率的量纲,称为复频率。则1．拉普拉斯正变换2．拉氏逆变换其中:s=σ

+jω；若σ取常数，则ds=jdω所以:对于f(t)e-σt是F(σ

+jω)的傅里叶逆变换

两边同乘以eσt积分限:对ω为对s

为3．拉氏变换对返回考虑到实际信号都是有起因信号：采用0-系统，初始条件自动引入。（本书采用0-系统）记作：f(t)F(s)。

f(t)称为原函数，F(s)称为象函数所以：采用0_系统，相应的单边拉氏变换为：二．拉氏变换的收敛域收敛域：使F(s)存在的s的区域称为收敛域。记为：ROC(regionofconvergence)实际上就是拉氏变换存在的条件；说明6.一般求函数的单边拉氏变换可以不加注其收敛范围。返回5.等信号比指数函数增长快，找不到收敛坐标，为非指数阶信号，无法进行拉氏变换。2.有界的非周期信号的拉氏变换一定存在。1.满足的信号称为指数阶信号。三．一些常用函数的拉氏变换1.阶跃函数2.指数函数全s域平面收敛

3.单位冲激信号4．tnu(t)返回(c)0tf3(t)1eate-ate-at1(b)0tf2(t)四、对单边拉氏变换的几点注意f1(t)、f2(t)、f3(t)具有相同的单边拉氏变换式：e-at1(a)0tf1(t)1.我们所讨论的单边拉氏变换是从t=0开始积分的，因此，t<0区间的函数值与变换结果无关。如图所示：当取的逆变换时，只能给出范围内的函数值。即：又如：e-at1(a)0tf1(t)2.从图(a)可以看出，此函数在t=0时产生了跳变，这样，初始条件f(0)容易发生混淆，为使f(0)有明确意义，我们仍以f(0-)与f(0+)分别表示t从左、右两端趋于0时所得之f(0)值。对于图(a)，f(0-)=0，f(0+)=1

单边拉氏变换的这一特点，并未给其应用带来不便。因为在系统分析中，往往也是只需求解时的系统响应，而t<0的情况由激励接入前系统的状态所决定。当函数f(t)在t=0处有跳变时，其导数将出现冲激函数项。为了便于研究在t=0点发生的跳变现象，这里我们规定单边拉氏变换的积分下限从0-开始。返回这样定义的好处是：把t=0处冲激函数的作用考虑在变换之中，当利用单边拉氏变换法解微分方程时，可以直接引用已知的起始状态f(0-)

而求得完全解，无需专门计算由0-~0+的跳变；否则，若取积分下限从0+开始，对于t从0-~0+发生的跳变还需另行处理。

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