2023年安徽省c20教育联盟中考数学最后一卷（含解析）

2023年安徽省C20教育联盟中考数学最后一卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）1．﹣2023的相反数是（）A． B．2023 C． D．﹣20232．下列运算正确的是（）A．a3÷a2＝a B．（a3）2＝a5 C．2a3+a3＝3a6 D．a2•a4＝a83．如图是某物体对应几何体的三视图，则最符合该三视图的物体应是（）A． B． C． D．​​4．2023年1月13日，安验省十四届人大一次会议第一次全体会议上，通报2022年全省经济实力实现重大跨越，全省生产总值达到4.5万亿元左右，实现从“总量居中、人均靠后”向“总量靠前、人均居中”的历史性转变．其中4.5万亿用科学记数法表示为（）A．4.5×103 B．45×1011 C．4.5×1012 D．0.45×10135．将两块直角三角尺按如图摆放，其中∠ABC＝∠D＝90°，∠A＝60°，∠DCB＝45°，若AC，BD相交于点E，则∠AED的大小为（）A．110° B．105° C．95° D．75°6．“五一”假期，小刚在家整理了2023年3月和4月的家庭支出如图所示：已知4月的总支出比3月的总支出增加了2成，则下列说法正确的是（）A．4月份其他方面的支出与3月份娱乐方面的支出相同 B．4月份衣食方面的支出比3月份衣食方面的支出增加了10% C．4月份的总支出比3月份的总支出增加了2% D．4月份教育方面的支出是3月份教育方面的支出的1.4倍7．在△ABC中，AB＝2，，∠C＝30°，则线段BC的长为（）A．4 B． C．4或 D．2或48．已知关于x的二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象如图所示，则关于x的一次函数y＝abx﹣a﹣b的图象可能为（）A． B． C． D．​9．若关于x的分式方程有增根，则m的值为（）A．1 B．2 C．3 D．410．如图，AB为半圆O的直径，点O为圆心，点C是弧上的一点，沿CB为折痕折叠交AB于点M，连接CM，若点M为AB的黄金分割点（BM＞AM），则sin∠BCM的值为​（）A． B． C． D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11．计算：﹣22+（π﹣3）0＝．12．若关于x的方程3x2﹣19x+k＝0的一个根是1，则另一个根为​．13．如图，在Rt△OAB中，∠A＝90°，∠ABO＝60°，点B的坐标为（﹣2，0），若反比例函数y＝经过点A．则k＝．​14．已知二次函数y＝ax2+2ax﹣1，（1）随着a的取值变化，图象除经过定点（0，﹣1），请写出图象经过的另一个定点坐标；（2）若抛物线与x轴有交点，过抛物线的顶点与定点（0，﹣1）作直线，该直线与x轴交于点P（m，0），且|m|≥1，则a的取值范围为．三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15．解不等式：．16．如图，在平面直角坐标系中，线段AB的两个端点的坐标分别是A（﹣1，4），B（﹣3，1）．​（1）画出线段AB向右平移4个单位后的线段A1B1；（2）画出线段AB绕原点O顺时针旋转90°后的线段A2B2，再用无刻度的直尺在边A2B2上确定一点P，使得：＝1：3（保留作图痕迹）．四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17．渡江战役纪念馆位于巢湖之滨，犹如一艘乘风破浪的巨型战舰．据统计：2023年2月份接待人数为30000人，4月份增加到36300人，求2月份到4月份接待人数的月平均增长率；如果接待人数继续保持这个增长率不变，预测6月份接待人数能否突破43500人？18．如图，下列图形是由边长为1个单位长度的小正方形按照一定规律摆放的“L”形图形，观察图形：​（1）图10中小正方形的数量是个：图2023的周长是个单位长度；（2）若图1中小正方形个数记作a1，图2中小正方形图个数记作a2…，图n中小正方形个数记作an，则a1+a2+…+an＝个（用含n的代数式表示）．五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19．如图，有一座高为17.2米某大厦BC，该大厦顶上竖有一个广告牌AB，已知测杆DE的高为1.2米，从测杆DE顶端D处观测广告牌顶部A的仰角为37°，测广告牌底部B的仰角为30°，求广告牌AB的高度．（结果精确到0.1米，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.41，≈1.73）​20．如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，过点C的切线垂直于AD的延长线，垂足为点E，AC，BD相交于点F．​（1）求证：点C是的中点；（2）若BD＝4，，求AD的长．六、（本题满分12分）21．为落实（安徽省教育厅关于做好2023年初中学业水平体育与健康学科考试等有关事项的通知》要求，某学校针对男生选择较为集中的四个项日开展有针对性强化训练：A．跳绳；B.50米跑；C．坐位体前屈；D．立定跳远，全校共有100名男生选择了A的项目，为了了解选择A项目男生的情况，从这100名男生中随机抽取了30名男生在操场进行测试将他们的成绩（个/分钟）绘制成频数分布直方图．（1）其中165≤x＜170这一组的数据为169，166，165，169，169，167，167，则这组数据的中位数是，众数是；（2）根据题中信息，估计该校男生共有人，D项目扇形统计图的圆心角为度；（3）如果学校规定每名男生要选两门不同的项目，张强和张远在选项目中，若第一项目都选了项日C，请用画树状图或列表法计算出他俩第二项目同时选项目A或项目B的概率．七、（本题满分12分）22．行驶中的汽车，在刹车后由于惯性，还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”．为了了解制造车间某型号汽车的刹车性能，工程师进行了大量模拟测试，得出汽车A刹车后刹车距离y（单位：m）与刹车时的速度x（单位：m/s）满足二次函数y＝0.08x2+bx+c．测得部分数据如下表：刹车时车速（m/s）0510152025刹车距离（m）06.51731.55072.5（1）求刹车距离关于刹车时的速度的函数表达式（不必写自变量的取值范围）；（2）有一辆该型号汽车A在公路上（限进100km/h）发生了交通事故，现场测得刹车距离为99m，请问司机是否因为超速行驶导致了交通事故？请说明理由；（3）制造车间生产另一型号汽车B，其刹车距离y（单位：m）与刹车速度x（单位：m/s）满足：y＝0.12x2+βx，若刹车时车速满足在10≤x≤20范围内某一数值，两种型号汽车的刹车距离相等，求β的取值范围．八、（本题满分14分）23．如图，在矩形ABCD中，点E是AD的中点，连接EC，EB，过点B作EC的垂线交CD，CE于点F，G．设．（1）求证：△BGC∽△BAE；（2）如图1，连接AG，若∠GAB＝30°，求m的值；（3）如图2，若AG平分∠DAB，过点D作AG的垂线交EC，EB及CB的延长线分别于点P，H，M．若DH•CB＝3，求EH的长．

参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）1．﹣2023的相反数是（）A． B．2023 C． D．﹣2023【分析】只有符号不同的两个数互为相反数，由此即可得到答案．解：﹣2023的相反数是2023．故选：B．【点评】本题考查相反数，关键是掌握相反数的定义．2．下列运算正确的是（）A．a3÷a2＝a B．（a3）2＝a5 C．2a3+a3＝3a6 D．a2•a4＝a8【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则以及幂的乘方运算法则、合并同类项法则分别化简，进而得出答案．解：A．a3÷a2＝a，故此选项符合题意；B．（a3）2＝a6，故此选项不合题意；C．2a3+a3＝3a3，故此选项不合题意；D．a2•a4＝a6，故此选项不合题意．故选：A．【点评】此题主要考查了同底数幂的乘除运算以及幂的乘方运算、合并同类项，正确掌握相关运算法则是解题关键．3．如图是某物体对应几何体的三视图，则最符合该三视图的物体应是（）A． B． C． D．​​【分析】根据主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看所得到的图形判断即可．解：A．圆锥的主视图和左视图都是等腰三角形，俯视图是圆（带圆心），故本选项不符合题意；B．圆柱的主视图和左视图都是矩形，俯视图是圆，故本选项不符合题意；C．长方体的三视图都是矩形，故本选项符合题意；D．该三棱柱的主视图是三角形，故本选项不符合题意．故选：C．【点评】本题考查由三视图确定几何体的形状，主要考查学生空间想象能力以及对立体图形的认识．4．2023年1月13日，安验省十四届人大一次会议第一次全体会议上，通报2022年全省经济实力实现重大跨越，全省生产总值达到4.5万亿元左右，实现从“总量居中、人均靠后”向“总量靠前、人均居中”的历史性转变．其中4.5万亿用科学记数法表示为（）A．4.5×103 B．45×1011 C．4.5×1012 D．0.45×1013【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．解：4.5万亿＝4500000000000＝4.5×1012．故选：C．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．5．将两块直角三角尺按如图摆放，其中∠ABC＝∠D＝90°，∠A＝60°，∠DCB＝45°，若AC，BD相交于点E，则∠AED的大小为（）A．110° B．105° C．95° D．75°【分析】在△BEC中，利用三角形内角和定理，可求出∠BEC的度数，再结合对顶角相等，即可得出∠AED的度数．解：在△BEC中，∠EBC＝45°，∠ECB＝30°，∴∠BEC＝180°﹣∠EBC﹣∠ECB＝180°﹣45°﹣30°＝105°，∴∠AED＝∠BEC＝105°．故选：B．【点评】本题考查了三角形内角和定理以及对顶角，牢记“三角形内角和是180°”及“对顶角相等”是解题的关键．6．“五一”假期，小刚在家整理了2023年3月和4月的家庭支出如图所示：已知4月的总支出比3月的总支出增加了2成，则下列说法正确的是（）A．4月份其他方面的支出与3月份娱乐方面的支出相同 B．4月份衣食方面的支出比3月份衣食方面的支出增加了10% C．4月份的总支出比3月份的总支出增加了2% D．4月份教育方面的支出是3月份教育方面的支出的1.4倍【分析】设3月的总支出为a，则4月的总支出为1.2a，分别表示出相关数量即可判断．解：设3月的总支出为a，则4月的总支出为1.2a，∴4月份其他方面的支出为：1.2a×15%＝0.18a，3月份其他方面的支出为：0.25a，∴4月份其他方面的支出与3月份娱乐方面的支出不相同，故选项A不符合题意；4月份衣食方面的支出为：1.2a×40%＝0.48a，3月份衣食方面的支出为30%a＝0.3a，（0.48a﹣0.3a）÷0.3a＝60%，即4月份衣食方面的支出比3月份衣食方面的支出增加了60%，故选项B不符合题意；4月份的总支出比3月份的总支出增加了20%，故选项C不符合题意；4月份教育方面的支出为：1.2a×0.35%＝0.42a，3月份教育方面的支出为0.3a，0.42a÷0.3a＝1.4，即4月份教育方面的支出是3月份教育方面的支出的1.4倍，故选项D符合题意．故选：D．【点评】本题考查了扇形统计图的应用，正确记忆扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小是解题关键．7．在△ABC中，AB＝2，，∠C＝30°，则线段BC的长为（）A．4 B． C．4或 D．2或4【分析】分两种情况讨论：①∠B为锐角时，过点A作AD⊥BC，分别在Rt△ACD和Rt△ABD中求出CD，BD从而可求出BC；②∠B为钝角时，同样的方法可求出BC．解：分两种情况讨论：①∠B为锐角时，如图，过点A作AD⊥BC，在Rt△ACD中，∵AC＝，∠C＝30°，∴AD＝，∴CD＝＝3，Rt△ABD中，∵AB＝2，AD＝，∴BD＝＝1，∴BC+BD+CD＝1+3＝4；②∠B为钝角时，如图，过点D作AD⊥BC交CB的延长线于点D，同①可求得：CD＝3，BD＝1，∴BC＝CD﹣BD＝3﹣1＝2，综上，BC的长为2或4．故选：D．【点评】本题考查勾股定理，含30°角直角三角形的性质，需要注意的是：已知SSA一般解题时需要分情况求解．8．已知关于x的二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象如图所示，则关于x的一次函数y＝abx﹣a﹣b的图象可能为（）A． B． C． D．​【分析】根据二次函数图象得出a＞0、b＜0，c＜0，再结合图象过点（1，0），即可得出ab＜0，c＝﹣a﹣b＜0，根据一次函数图象与系数的关系，即可找出一次函数y＝abx﹣a﹣b的图象经过的象限，此题得解．解：由二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象可知a＞0、b＜0，c＜0，∴ab＜0，∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象过点（1，0），∴a+b+c＝0，∴c＝﹣a﹣b＜0，∴一次函数y＝abx﹣a﹣b图象经过第二2、三、四象限，不经过第一象限，故选：C．【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，一次函数图象与系数的关系，熟练掌握一次函数图象和性质，二次函数图象和性质是解题的关键．9．若关于x的分式方程有增根，则m的值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根据题意可得：x﹣3＝0，从而可得x＝3，然后把x＝3代入整式方程x＝7﹣m中，进行计算即可解答．解：，x﹣2（x﹣3）＝m﹣1，解得：x＝7﹣m，∵分式方程有增根，∴x﹣3＝0，∴x＝3，把x＝3代入x＝7﹣m中得：3＝7﹣m，解得：m＝4，故选：D．【点评】本题考查了分式方程的增根，根据题意求出x的值后代入整式方程中进行计算是解题的关键．10．如图，AB为半圆O的直径，点O为圆心，点C是弧上的一点，沿CB为折痕折叠交AB于点M，连接CM，若点M为AB的黄金分割点（BM＞AM），则sin∠BCM的值为​（）A． B． C． D．【分析】过点M作MD⊥CB，垂足为D，延长MD交半⊙O于点M′，连接CM′，BM′，根据折叠的性质可得：∠CMB＝∠CM′B，BC⊥MM′，从而可得∠BDM＝90°，再根据黄金分割的定义可得＝，然后利用直径所对的圆周角是直角可得∠ACB＝90°，从而证明A字模型相似三角形△DBM∽△CBA，进而利用相似三角形的性质可得＝＝，最后根据圆内接四边形对角互补以及平角定义定义可得：∠A＝∠AMC，从而可得CA＝CM，再在Rt△CDM中，利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答．解：过点M作MD⊥CB，垂足为D，延长MD交半⊙O于点M′，连接CM′，BM′，由折叠得：∠CMB＝∠CM′B，BC⊥MM′，∴∠BDM＝90°，∵点M为AB的黄金分割点（BM＞AM），∴＝，∵AB为半圆O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠MDB＝90°，∵∠DBM＝∠CBA，∴△DBM∽△CBA，∴＝＝，∵四边形ACM′B是半⊙O的内接四边形，∴∠A+∠CM′B＝180°，∵∠AMC+∠CMB＝180°，∴∠A＝∠AMC，∴CA＝CM，在Rt△CDM中，sin∠BCM＝＝＝．故选：A．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，黄金分割，解直角三角形，翻折变换（折叠问题），圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11．计算：﹣22+（π﹣3）0＝﹣3．【分析】根据平方的定义和零指数幂的计算法则进行计算即可．解：原式＝﹣4+1＝﹣3．故答案为：﹣3．【点评】本题考查的是有理数的加减混合运算及有理数的乘方，熟知平方的定义和零指数幂的计算法则是解题的关键．12．若关于x的方程3x2﹣19x+k＝0的一个根是1，则另一个根为​．【分析】设3x2﹣19x+k＝0另一个根为α，可得1+α＝，即可解得答案．解：设3x2﹣19x+k＝0另一个根为α，根据题意得：1+α＝，解得：α＝，故答案为：．【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系列出关于α的方程．13．如图，在Rt△OAB中，∠A＝90°，∠ABO＝60°，点B的坐标为（﹣2，0），若反比例函数y＝经过点A．则k＝﹣．​【分析】解直角三角形求出A点坐标，然后用待定系数法求出解析式．解：过A作AM⊥BO于点M，∵点B的坐标为（﹣2，0），∴OB＝2，在Rt△OAB中，∠A＝90°，∠ABO＝60°，∴∠AOB＝30°，OA＝sin60°•OB＝＝，在Rt△OAM中，∠AMO＝90°，∠AOBM＝30°，∴AM＝＝，OM＝OA＝，∴点A的坐标为（﹣，），∵反比例函数y＝经过点A，∴k＝﹣＝﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解直角三角形，求得A的坐标是解题的关键．14．已知二次函数y＝ax2+2ax﹣1，（1）随着a的取值变化，图象除经过定点（0，﹣1），请写出图象经过的另一个定点坐标（﹣2，﹣1）；（2）若抛物线与x轴有交点，过抛物线的顶点与定点（0，﹣1）作直线，该直线与x轴交于点P（m，0），且|m|≥1，则a的取值范围为﹣1≤a≤1且a≠0．【分析】（1）根据二次函数的对称性进行解答即可；（2）求得过抛物线的顶点与定点（0，﹣1）的直线解析式，进一步求得与x轴的交点为（，0），即可得出，当a＞0时，，即0＜a≤1，a＜0时，，即﹣1≤a＜0．解：（1）二次函数y＝ax2+2ax﹣1的对称轴为x＝﹣＝﹣1，由二次函数图象过点（0，﹣1），对称轴为x＝﹣1，因此二次函数的图象过点（﹣2，﹣1），故答案为：（﹣2，﹣1）；（2）∵y＝ax2+2ax﹣1＝a（x+1）2﹣a﹣1，∴抛物线的顶点为（﹣1，﹣a﹣1），设过抛物线的顶点与定点（0，﹣1）的直线为y＝kx﹣1，代入（﹣1，﹣a﹣1）得，﹣a﹣1＝﹣k﹣1，∴k＝a，∴过顶点与定点（0，﹣1）的直线为y＝ax﹣1，令y＝0，则x＝，∴与x轴的交点为（，0），∵该直线与x轴交于点P（m，0），且|m|≥1，∴，∴当a＞0时，，即0＜a≤1，a＜0时，，即﹣1≤a＜0，∴﹣1≤a≤1且a≠0．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，抛物线与x轴的交点，求得过顶点与定点（0，﹣1）的直线x轴的交点为（，0）是解题的关键．三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15．解不等式：．【分析】去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成1即可．解：去分母，得3（x﹣1）﹣2（2x﹣3）＞6，去括号，得3x﹣3﹣4x+6＞6，移项，得3x﹣4x＞6﹣6+3，合并同类项，得﹣x＞3，系数化为1，得x＜﹣3．【点评】本题考查了解一元一次不等式，能根据不等式的性质正确变形是解此题的关键．16．如图，在平面直角坐标系中，线段AB的两个端点的坐标分别是A（﹣1，4），B（﹣3，1）．​（1）画出线段AB向右平移4个单位后的线段A1B1；（2）画出线段AB绕原点O顺时针旋转90°后的线段A2B2，再用无刻度的直尺在边A2B2上确定一点P，使得：＝1：3（保留作图痕迹）．【分析】（1）根据平移的性质即可画出图形；（2）根据旋转的性质和相似三角形的判定与性质即可作出图形．解：（1）如图所示，线段A1B1即为所求；（2）如图所示，线段A2B2即为所求，点P即为所求．【点评】本题主要考查了作图﹣平移变换，旋转变换，相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质构造相似三角形是解题的关键．四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17．渡江战役纪念馆位于巢湖之滨，犹如一艘乘风破浪的巨型战舰．据统计：2023年2月份接待人数为30000人，4月份增加到36300人，求2月份到4月份接待人数的月平均增长率；如果接待人数继续保持这个增长率不变，预测6月份接待人数能否突破43500人？【分析】（1）设这两个月的月平均增长率为x，根据4月份增加到36300人得：30000（1+x）2＝36300，解方程取符合题意的根即可得答案；（2）列式计算，再和43500比较即可．解：（1）设这两个月的月平均增长率为x，根据题意得：30000（1+x）2＝36300，解得：x＝0.1＝10%或x＝﹣2.1（不合题意，舍去）；∴这两个月的月平均增长率是10%；（2）∵36300×（1+10%）2＝43923＞43500，∴6月份接待人数能突破43500人．【点评】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列方程．18．如图，下列图形是由边长为1个单位长度的小正方形按照一定规律摆放的“L”形图形，观察图形：​（1）图10中小正方形的数量是2023个：图2023的周长是8100个单位长度；（2）若图1中小正方形个数记作a1，图2中小正方形图个数记作a2…，图n中小正方形个数记作an，则a1+a2+…+an＝n²+4n个（用含n的代数式表示）．【分析】（1）不难看出第n个图中小正方形的个数为：2n+3，周长为：4n+8，从而可求解；（2）结合（1）进行求解即可．解：（1）∵图1中小正方形的个数为：5＝3+2，周长为：2×（3+1）+2×2＝2×4+4；图2中小正方形的个数为：7＝4+3，周长为：2×（4+1）+2×3＝2×5+6；图3中小正方形的个数为：9＝5+4，周长为：2×（5+1）+2×4＝2×6+8；…，∴图n中小正方形的个数为：n+2+n+1＝2n+3，周长为：2（n+3）+2n+2＝4n+8，∴图1010中小正方形的数量是：2×1010+3＝2023；图2023的周长是：4×2023+8＝8100，故答案为：2023，8100；（2）a1+a2+…+an＝5+7+9+…+（2n+3）＝＝n2+4n．故答案为：n2+4n．【点评】本题主要考查图形的变化规律，解答的关键是由所给的图形总结出存在的规律．五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19．如图，有一座高为17.2米某大厦BC，该大厦顶上竖有一个广告牌AB，已知测杆DE的高为1.2米，从测杆DE顶端D处观测广告牌顶部A的仰角为37°，测广告牌底部B的仰角为30°，求广告牌AB的高度．（结果精确到0.1米，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.41，≈1.73）​【分析】过点D作DF⊥AC，垂足为F，根据题意可得：DE＝CF＝1.2米，从而可得BF＝16米，然后在Rt△DBF中，利用锐角三角函数的定义求出DF的长，再在Rt△ADF中，利用锐角三角函数的定义求出AF的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．解：过点D作DF⊥AC，垂足为F，由题意得：DE＝CF＝1.2米，∵BC＝17.2米，∴BF＝BC﹣CF＝16（米），在Rt△DBF中，∠BDF＝30°，∴DF＝＝＝16（米），在Rt△ADF中，∠ADF＝37°，∴AF＝DF•tan37°≈16×0.75＝20.76（米），∴AB＝AF﹣BF＝20.76﹣16≈4.8（米），∴广告牌AB的高度约为4.8米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．20．如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，过点C的切线垂直于AD的延长线，垂足为点E，AC，BD相交于点F．​（1）求证：点C是的中点；（2）若BD＝4，，求AD的长．【分析】（1）连接OC，由切线的性质得到OC⊥CE，而AE⊥CE，得到OC∥AE，因此∠OCA＝∠EAC，由等腰三角形的性质得到∠OCA＝∠OAC，因此∠EAC＝∠OAC，即可证明问题；（2）设圆的半径是r，由勾股定理求出CG的长，由勾股定理得到r2＝（r﹣1）2+22，求出r，即可得到OG的长，由三角形中位线定理即可求出AD的长．【解答】（1）证明：连接OC交BD于G，∵CE切圆于C，∴半径OC⊥CE，∵AE⊥CE，∴OC∥AE，∴∠OCA＝∠EAC，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC，∴∠EAC＝∠OAC，∴＝，∴C是的中点；（2）解：设圆的半径是r，∵OC⊥BD，∴DG＝BD＝2，∵DC＝，∴CG＝＝1，∴OG＝r﹣1，∵OB2＝OG2+BG2，∴r2＝（r﹣1）2+22，∴r＝2.5，∴OG＝OC﹣CG＝2.5﹣1＝1.5，∵AO＝OB，∴OG是△BAD的中位线，∴AD＝2OG＝3．【点评】本题考查切线的性质，圆周角定理，勾股定理，平行线的性质，三角形中位线定理，关键是由勾股定理列出关于圆半径的方程，求出圆的半径．六、（本题满分12分）21．为落实（安徽省教育厅关于做好2023年初中学业水平体育与健康学科考试等有关事项的通知》要求，某学校针对男生选择较为集中的四个项日开展有针对性强化训练：A．跳绳；B.50米跑；C．坐位体前屈；D．立定跳远，全校共有100名男生选择了A的项目，为了了解选择A项目男生的情况，从这100名男生中随机抽取了30名男生在操场进行测试将他们的成绩（个/分钟）绘制成频数分布直方图．（1）其中165≤x＜170这一组的数据为169，166，165，169，169，167，167，则这组数据的中位数是169，众数是169；（2）根据题中信息，估计该校男生共有500人，D项目扇形统计图的圆心角为108度；（3）如果学校规定每名男生要选两门不同的项目，张强和张远在选项目中，若第一项目都选了项日C，请用画树状图或列表法计算出他俩第二项目同时选项目A或项目B的概率．【分析】（1）根据中位数和众数的定义求解即可；（2）A项目男生人数除以其所占百分比可得总人数，360°乘以D项目对应百分比可得圆心角；（3）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．解：（1）将这组数据重新排列为165，166，167，167，169，169，169，所以这组数据的中位数是169，众数为169，故答案为：169，169；（2）估计该校男生共有100÷20%＝500（人），D项目扇形统计图的圆心角为360°×（1﹣20%﹣35%﹣15%）＝108°，故答案为：500，108；（3）列表如下：ABDA（A，A）（B，A）（D，A）B（A，B）（B，B）（D，B）D（A，D）（B，D）（D，D）由表知，共有9种等可能结果，其中他俩第二项目同时选项目A或项目B有2种结果，所以他俩第二项目同时选项目A或项目B的概率为．【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求出事件A或B的概率．七、（本题满分12分）22．行驶中的汽车，在刹车后由于惯性，还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”．为了了解制造车间某型号汽车的刹车性能，工程师进行了大量模拟测试，得出汽车A刹车后刹车距离y（单位：m）与刹车时的速度x（单位：m/s）满足二次函数y＝0.08x2+bx+c．测得部分数据如下表：刹车时车速（m/s）0510152025刹车距离（m）06.51731.55072.5（1）求刹车距离关于刹车时的速度的函数表达式（不必写自变量的取值范围）；（2）有一辆该型号汽车A在公路上（限进100km/h）发生了交通事故，现场测得刹车距离为99m，请问司机是否因为超速行驶导致了交通事故？请说明理由；（3）制造车间生产另一型号汽车B，其刹车距离y（单位：m）与刹车速度x（单位：m/s）满足：y＝0.12x2+βx，若刹车时车速满足在10≤x≤20范围内某一数值，两种型号汽车的刹车距离相等，求β的取值范围．【分析】（1）把（0，0），（5，6.5）代入y＝0.08x2+bx+c可得刹车距离关于刹车时的速度的函数表达式为y＝0.08x2+0.9x；（2）结合（1）令y＝9