2012-2021北京重点区高三（上）期末数学汇编：双曲线

2012-2021北京重点区高三（上）期末数学汇编

双曲线

一、单选题

22

1.（2019•北京海淀•高三期末（文）)双曲线与-上1的左焦点的坐标为（）

A.(-2,0)B.(-72,0)C.(-1,0)D.«0)

“实数加〃<0”是“方程工+£=1表示焦点在X轴上的双曲线”的（）

2.（2016•北京西城•高三期末（文）)

mn

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

设双曲线C：--或=1的左焦点为F,右顶点为人若在双曲线C上，有且

3.（2019北京西城•高三期末（文）)

3

只有3个不同的点P使得丽・丽=4成立，则入=（）

A.-2B.—1C.—D.0

2

4.（2018•北京石景山•高三期末（文））“帆>10”是“方程一工----匚=1表示双曲线”的

/H—10m一8

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

5.（2019•北京朝阳♦高三期末（文））已知双曲线C：1-反=1（。>0）的一条渐近线方程为4x+3y=0,6，F［分

a16

别是双曲线C的左、右焦点，点尸在双曲线上，且|P制=7,则归用=

A.1B.13C.17D.1或13

二、填空题

6.（2020•北京海淀•高三期末）已知点A（0,6），点、B、C分别为双曲线E-1=l（a>。）的左、右顶点.若AABC

为正三角形，则该双曲线的离心率为.

7.（2018・北京海淀•高三期末（文））已知双曲线以2-丁=1的一条渐近线方程为'=乙则实数”的值为

8.（2018•北京海淀•高三期末（理））点（2,0）到双曲线上-丁=1的渐近线的距离是.

4

尤2V2

9.（2012•北京海淀•高三期末（文））双曲线二-2_=1的离心率是__________.

45

尤2V2

10.（2021•北京东城•高三期末）已知双曲线M：三-与=1（a>o,b>0）,为等边三角形.若点A在y

ab"

轴上，点8,C在双曲线M上，且双曲线M的实轴为AABC的中位线，则双曲线M的离心率为.

22

11.（2018•北京东城•高三期末（文））过双曲线卞•-点=1（“>0,b>0）的右焦点/作垂直于x轴的直线，交双曲

线于A,8两点，O为坐标原点，若△O4B为等腰直角三角形，则双曲线的离心率-.

12.（2016.北京东城.高三期末（文））二-4=1,则此双曲线的离心率为.

13.（2019・上海黄浦•高三期末）双曲线f-二=1的渐近线方程为.

2

14.（2020•北京西城•高三期末）对于双曲线,给出下列三个条件：

①离心率为2;

②一条渐近线的倾斜角为30。；

③实轴长为8,且焦点在x轴上.

写出符合其中两个条件的一个双曲线的标准方程.

15.（2012•北京西城•高三期末（理））双曲线C:x2-V=i的渐近线方程为；

若双曲线C的右顶点为A,过A的直线/与双曲线C的两条渐近线交于产,。两点，且

丽=2而，则直线/的斜率为.

22

16.（2018•北京西城•高三期末（文））已知双曲线与-4=1的一个焦点是尸（2,0）.其渐近线方程为丫=±6》，

a~b~

该双曲线的方程是.

17.（2016•北京西城•高三期末（理））双曲线C：《-工=1的渐近线方程为；设Fi,F2为双曲线C的左、右焦

164

点，P为C上一点，且|PB|=4,则|PF2|=.

18.（2015•北京西城•高三期末（理））设耳，行为双曲线C：二-2=l（a>0）的左、右焦点，点P为双曲线C上一

CT16

点，如果1mHp图=4,那么双曲线C的方程为一；离心率为一.

19.（2015•北京西城•高三期末（文））设耳,用为双曲线C：，-（-Ka〉。/〉。）的左、右焦点，且直线y=2x为

双曲线C的一条渐近线，点P为C上一点，如果|巴:；卜忸6|=4,那么双曲线C的方程为一；离心率为.

20.（2016•北京朝阳•高三期末（文））双曲线C:/-L=l的渐近线方程是.

3

21.（2018・北京朝阳•高三期末（理））已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线C的离心率为0,则双曲线C

的渐近线方程为.

22.（2018•北京朝阳•高三期末（文））已知双曲线C的中心在原点，对称轴为坐标轴，它的一个焦点与抛物线

y2=8x的焦点重合，一条渐近线方程为x+y=0,则双曲线C的方程是.

2

23.（2015•北京朝阳•高三期末（文））双曲线C:土r-y2=i的离心率是；渐近线方程是

三、双空题

24.(2021•北京海淀•高三期末)已知双曲线犬-十=1的左右焦点分别为《，鸟,点"(-3,4),则双曲线的渐近

线方程为:\MFt\-\MF2\=.

参考答案

1.A

【分析】

根据双曲线方程，可求得c的值，即可得答案.

【详解】

由题意可知焦点在X轴上，c2=a2+h2=4,即c=2,

所以左焦点坐标为(-2,0),

故选：A.

【点睛】

本题考查双曲线的几何性质，属基础题.

2.B

【分析】

当削7<0时，分两种情况讨论，则即可判断两者之间的关系.

【详解】

解：若曲线U+二=1是焦点在X轴上的双曲线，则〃2>0,”<0,因此％<0；

mn

若加?<o,当“<o,〃>o时，此时双曲线的焦点在y轴上；

当初>o,〃<o,此时双曲线的焦点在x轴上；

因此加〃<o”是“曲线看+工=1是焦点在x轴上的双曲线”的必要而不充分条件.

mn

故选：B.

【点睛】

考查必要不充分条件的判断，基础题.

3.D

【分析】

设出P的坐标，求出双曲线C：V一3=i的左焦点为尸，右顶点为人利用推出九的表达式，通过二次函数的性

3

质，转化求解即可.

【详解】

2

解：双曲线C：/一旦=1的左焦点为/(-2,0),右顶点为4(1,0).设尸(机，〃)，可得：m--=\9推

33

出n2=3m2-3,

~PF=(-2-m，-〃),(1-/n,-n),丽•丽=4,

可得入=+2)(m-1)+/=4m2+m-5,机e(-oo,-1JU[1,+oo),

如图：

当为=0时，有且只有3个不同的点尸使得而.⑸=zl成立，

故选。.

【点睛】

本题考查双曲线的简单性质的应用，函数的最值的求法，考查数形结合以及转化思想的应用.

4.A

【详解】

试题分析：方程」----匚=1表示双曲线，贝解得加＜8或小＞10,故，＜8”是“方程

/n-10zn-8

22

—.....匚=1表示双曲线”的充分而不必要条件，故选A.

/H-108

考点：1.双曲线的方程；2.充分必要条件

5.B

【分析】

利用双曲线的渐近线方程，求出。，然后利用双曲线的定义转化，即可求解，得到答案.

【详解】

由题意，双曲线的一条渐近线方程为4x+3），=0,

a16

44,_____

可得一=：，解得a=3,又由c=h+分2=5，

a3

又由白，鸟分别是双曲线C的左、右焦点，点尸在双曲线上，且归国=7,

可得点P在双曲线的左支上，所以|尸囚-|尸周=6,可得|尸周=13,故选B.

【点睛】

本题主要考查了双曲线的定义和双曲线的标准方程，以及双曲线的简单几何性质的应用，其中解答中根据双曲线的

几何性质，确定双曲线的标准方程是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

6.2

【解析】

根据AABC为等边三角形求出“的值，可求出双曲线的焦距，即可得出双曲线的离心率.

【详解】

由于“5C为正三角形，则tanZABC=*=£=5得叫L

(_____C2

所以，双曲线的半焦距为C=VZK=2,因此，该双曲线的离心率为©=—=9=2.

a1

故答案为：2.

【点睛】

本题考查双曲线离心率的计算，解题的关键就是求出双曲线方程中的几何量，考查计算能力，属于基础题.

7.1

【详解】

双曲线，-丁=]的一条渐近线方程为y=47ix,y=x

故4=1.

故答案为1.

8.|石

【详解】

由双曲线的方程，可得双曲线的一条渐近线的方程为y=；x,级x-2y=0,

2_2y/5

所以点(2,0)到渐近线的距离为d=

【详解】

c3

试题分析：由题意得标=4力2=5nc2=9ne=£=：

a2

考点：双曲线离心率

10.五

【解析】

可根据实轴为的中位线，得出8C,再根据对称性及为等边三角形，表示出5的坐标，代入双曲线方

程，得到关系式求解离心率.

【详解】

实轴长为2a,则8c=4a,BC关于丫轴对称

不妨设8在双曲线左支，则其横坐标为2a,根据AABC为等边三角形，NABC=60可得%=々5。

故4C(-2a,-^a),将B的坐标代入双曲线方程有

!书=],则4=人则eg

故《=拒

故答案为：V2

【点睛】

双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率（或离心率的取值范围），常见有两种方法:

①求出a,c,代入公式e=£；

a

②只需要根据一个条件得到关于a,b,c的齐次式，结合炉=/一M转化为小c的齐次式，然后等式（不等式）两边

分别除以a或/转化为关于e的方程（不等式），解方程（不等式）即可得e（e的取值范围）.

11.—

2

【分析】

利用已知条件列出方程农=一6,转化为e2-e-1=0求解即可.

【详解】

过双曲线三=1（«>0,6>0）的右焦点尸作垂直于x轴的直线，交双曲线于A,B两点，。为坐标原点，若

△048为等腰直角三角形，

可得c=£,^ac=c1-a1,可得：/-e-l=0,e>\,解得e=匕或.

a2

故答案为匕坦.

2

【点睛】

本题主要考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题.常见双曲线离心率的求法有:

1、直接求出a，c,求解e；2、变用公式e=£=Jl+”整体求出e；3、构造的齐次式解出e等.

【详解】

由双曲线的方程:7-亮=1,贝1］。=4,8=3,所以c=Ja2+=5，

169

c

所以双曲线的离心率为6=£=：5.

a4

13.y=±5/2x

【详解】

双曲线炉-?=1中，a=l,b=@q=6所以双曲线/一：=1的渐近线方程为、=土夜x.

故答案为丫=±0乩

14.=1,答案不唯一

1648

【解析】

根据双曲线的性质，选择其中两个条件，求出”,Ec,即可得到满足题意的一个的双曲线标准方程.

【详解】

若选择①③，所以e=£=2,2a=8,解得”=4,c=8,所以匕?=°2一/=&三4?=48,

a

因为焦点在X轴上，所以双曲线的标准方程为《-£=1.

1648

若选择其它，可以得到其它的双曲线的标准方程.

故答案为：--^=1,答案不唯一.

1648

【点睛】

本题主要考查双曲线的简单性质的应用，属于基础题.

15.x+y=Q,±3

【详解】

本题主要考查双曲线的性质及其应用.

K思路分析』写出直线/及双曲线的渐近线的方程，然后求出P,。的坐标，再借助丙=2而求出相应的％值.

把方程V-y2=l中的1换为0,得x—y』,整理即得渐近线方程x土y=0；

由M-y2=i得4(1,0),设直线/的方程为y=A(x—1)；

①当QO时，由仁(1)得户占尸占所"〔占合〉则丽十占一占)；同理得

由羽=2通知1-=解得左=-3.

由①②得直线的斜率为&=±3

评注：考虑到双曲线的对称性，对参数&分%>0和&<0两种情况进行讨论是必要的.把微量的关系式刀=2而转

化为它们的坐标关系式也是解决这个问题的关键之一.

2

16.x2-^-=l

3

【详解】

因为双曲线，-，=1的一个焦点是F（2,0）,所以c=2,双曲线的渐近线方程为>=±，》=土百x,即6=岛

①，又0=7^3=2,②联立②，解得二［，所以双曲线方程为/-9=1,故答案为/一卷=1・

17.金,12

【详解】

试题分析：双曲线C：片一片=1中a=4,b=2,则渐近线方程为y=±1x,

1642

由题意P在双曲线的左支上，则IPF2I-|PF1|=2a=8,

/.|PF2|=12

故答案为尸土白，⑵

考点：双曲线的简单性质.

18.--^-=1;6

416

【详解】

试题分析：因为怛用-伍周=4,所以加=4,得a=2,所以双曲线C的方程为1-5=1；所以离心率为

考点：1.双曲线的标准方程；2.双曲线的离心率.

【详解】

试题分析：因为怛用-1尸闾=4,所以2。=4,得。=2,由直线y=2x为双曲线C的一条渐近线，可知，=2,得

6=4所以双曲线C的方程为上-片=1；所以离心率为e=£=立正=途.

416a2

考点：1.双曲线的标准方程；2.双曲线的离心率.

20.y=±^3x

【详解】

令V-工=0,解得：y=±&

3

即双曲线C:Y一：=1的渐近线方程是y=±N/3X.

故答案为y=±Gx

21.y=±x

【详解】

2o

因为双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，所以可设双曲线的方程为*■-亲■=1(。出>0),因为双曲线C的离心

I92

率为应,c=任,；c2=2a1=ai+b\:.b=a,^=\,：.双曲线的方程为*■一方=1.,/；>0)渐近线方程为

y=+-x=±x,故答案为y=±x.

a

【方法点晴】本题主要考查利用双曲线的简单性质、双曲线