（2020、2021年）江苏省中考数学真题汇编09四边形

2020和2021年江苏省中考数学试题分类一一专题9四边形

一.选择题（共11小题）

1.（2021•泰州）如图，P为AB上任意一点，分别以AP、PB为边在AB同侧作正方形APCD.

正方形PBEF,设/CBE=a,则/AO为（）

A.2aB.900-aC.45°+aD.90°一1a

2.（2021•无锡）如图，D、E、尸分别是△ABC各边中点，则以下说法错误的是（）

A.△BDE和△OC尸的面积相等

B.四边形AEQF是平行四边形

C.若AB=BC,则四边形AEZ）尸是菱形

D.若/A=90°,则四边形AEZ）尸是矩形

3.（2021•苏州）如图，在平行四边形ABC7）中，将△ABC沿着AC所在的直线折叠得到△

AB'C,B'C交AD于点、E,连接8'D,若NB=60°,NACB=45°,AC=瓜则夕

。的长是（）

A.1B.V2C.V3D.—

2

4.（2021•扬州）如图，点A、B、C、D、E在同一平面内连接48、BC、CD、DE、EA,若

ZBCD=100°,则N4+NB+NO+NE=()

C.260°D.280°

5.（2021•连云港）正五边形的内角和是（）

A.360°B.540°C.720°D.900°

6.（2021•南通）菱形的两条对角线的长分别是6和8,则这个菱形的周长是（）

A.24B.20C.10D.5

7.（2020•南通）下列条件中，能判定回A8CZ）是菱形的是（）

A.AC^BDB.ABLBCC.AD=BDD.ACA.BD

8.（2020•盐城）如图，在菱形ABC。中,对角线AC、8。相交于点O,，为8C中点，AC

=6,BD=8.则线段。，的长为（)

C.3D.5

9.（2020•扬州）如图，小明从点A出发沿直线前进10米到达点B,向左转45°后又沿直

线前进10米到达点C,再向左转45°后沿直线前进10米到达点力…照这样走下去，小

明第一次回到出发点A时所走的路程为（）

B

A.100米B.80米C.60米D.40米

10.（2020•连云港）如图，将矩形纸片ABC。沿BE折叠，使点A落在对角线BD上的A'

处.若NDBC=24°,则NA'EB等于（）

A.66°B.60°C.57°D.48°

11.（2020•无锡）正十边形的每一个外角的度数为（）

A.36°B.30°C.144°D.150°

填空题（共15小题）

12.（2021•徐州）如图，四边形A8CQ与AEGF均为矩形，点E、尸分别在线段43、上.若

BE=FD=2cm,矩形AEGF的周长为20cm,则图中阴影部分的面积为cm2.

13.（2021•常州）如图，在平面直角坐标系xO），中，四边形0ABe是平行四边形，其中点A

在x轴正半轴上.若BC=3,则点A的坐标是.

14.（2021•盐城）若一个多边形的每个外角均为40°,则这个多边形的边数为.

15.（2021•苏州）如图，四边形ABCD为菱形，/ABC=70°,延长8c到E,在NDCE内

作射线CM,使得NECM=15°,过点力作。心CM,垂足为F,若。F=花，则对角

线8。的长为.（结果保留根号）

16.（2021•扬州）如图，在团4BCO中，点E在A。上，且EC平分N8ED,若NEBC=30°,

BE=\0,贝旭ABCQ的面积为.

17.（2021•扬州）如图，在△ABC中，AC=BC,矩形。EFG的顶点。、E在AB上，点F、

G分别在BC、4c上，若CF=4,BF=3,且DE=2EF,则E尸的长为

18.（2021•连云港）如图，菱形A8CZ）的对角线AC、3。相交于点。，OE1AD,垂足为E,

AC=8,BD=6,则OE的长为

19.（2021•南通）正五边形每个内角的度数为.

20.（2020•镇江）如图，点P是正方形ABCD内位于对角线AC下方的一点，Nl=/2,则

/BPC的度数为°.

21.（2020•宿迁）如图，在矩形ABCD中，AB=\,AD=V3,P为A。上一个动点，连接

BP,线段BA与线段BQ关于BP所在的直线对称，连接PQ,当点P从点A运动到点。

时，线段PQ在平面内扫过的面积为.

22.（2020•常州）如图，点C在线段AB上，且AC=2BC,分别以AC、BC为边在线段4B

的同侧作正方形ACDE、BCFG,连接EC、EG,则tanNCEG=.

23.（2020•常州）数学家笛卡尔在《几何》一书中阐述了坐标几何的思想，主张取代数和几

何中最好的东西，互相以长补短.在菱形ABCZ）中，AB=2,ND4B=120°.如图，建

立平面直角坐标系xO»使得边AB在x轴正半轴上，点。在y轴正半轴上，则点C的

24.（2020•扬州）如图，在团ABCD中,25=60°,25=10,BC=8,点E为边A8上的一

个动点，连接EZ）并延长至点F,使得力F=/£以EC、M为邻边构造团EFGC,连接

EG,则EG的最小值为.

D

G

25.（2020•连云港）如图，将5个大小相同的正方形置于平面直角坐标系中，若顶点例、N

的坐标分别为（3,9）、（12,9）,则顶点A的坐标为

A

26.（2020•无锡）如图，在菱形A8CD中,ZB=50°,点E在C£>上，若AE=AC,则/

27.（2021•南通）如图，正方形4BCO中,点E在边A。上（不与端点A,。重合），点A

关于直线BE的对称点为点F,连接CF,设NABE=a.

（1）求/BCF的大小（用含a的式子表示）；

（2）过点C作CGL4凡垂足为G,连接。G.判断。G与C尸的位置关系，并说明理

由；

（3）将△ABE绕点B顺时针旋转90°得到△CBH,点E的对应点为点H,连接BF,HF.当

△BF”为等腰三角形时，求sina的值.

28.（2021•徐州）如图1,正方形A8CD的边长为4,点P在边AO上（P不与A、£＞重合），

连接P8、PC.将线段PB绕点尸顺时针旋转90°得到PE,将线段PC绕点尸逆时针旋

转90°得到P凡连接ER£4、FD.

（1）求证：

①△2/叶的面积S=如以

29.（2021・无锡）己知四边形A8CQ是边长为1的正方形，点E是射线BC上的动点，以

（1）如图，若点£在线段BC上运动，EF交CD于前P,A尸交C£＞于点0,连接CF,

①当m—号时，求线段CF的长；

②在△PQE中，设边QE上的高为儿请用含机的代数式表示〃，并求6的最大值；

（2）设过8C的中点且垂直于BC的直线被等腰直角三角形AEF截得的线段长为y,请

直接写出y与，"的关系式.

30.（2021•盐城）如图，D、E、P分别是△ABC各边的中点，连接OE、EF、AE.

（1）求证：四边形ADE尸为平行四边形；

（2）加上条件后，能使得四边形ADEF为菱形，请从①/BAC=90°；②AE平

分NBAC；③AB=AC这三个条件中选择1个条件填空（写序号），并加以证明.

31.（2021•宿迁）已知正方形ABC。与正方形4EFG,正方形AEFG绕点A旋转一周.

rp

（1）如图①，连接BG、CF,求力的值；

（2）当正方形AEFG旋转至图②位置时，连接CF、BE,分别取CF、BE的中点M、N,

连接MN、试探究：MN与BE的关系，并说明理由；

（3）连接BE、BF,分别取8E、BF的中点N、Q,连接QMAE=6,请直接写出线段

QN扫过的面积.

32.（2021•宿迁）在①AE=CF；②OE=OF；③BE〃。厂这三个条件中任选一个补充在下面

横线上，并完成证明过程.

己知，如图，四边形4BCD是平行四边形，对角线AC、8。相交于点。，点E、尸在4c

上，（填写序号）.

求证：BE=DF.

33.（2021•扬州）如图，在△4BC中，/54C的角平分线交8C于点£）,DE//AB,DF//AC.

(1)试判断四边形AFOE的形状，并说明理由：

(2)若NB4C=90°,且A£>=2位,求四边形AFCE的面积.

34.(2021•连云港)如图，点C是BE的中点，四边形ABCO是平行四边形.

(1)求证：四边形ACED是平行四边形；

(2)如果A8=AE,求证：四边形ACEZ)是矩形.

35.(2021•连云港)在数学兴趣小组活动中，小亮进行数学探究活动.

(1)△4BC是边长为3的等边三角形，E是边AC上的一点，且AE=1,小亮以BE为

边作等边三角形BEF,如图1.求CF的长；

(2)ZXABC是边长为3的等边三角形，E是边AC上的一个动点，小亮以8E为边作等

边三角形BEF,如图2.在点E从点C到点A的运动过程中，求点F所经过的路径长;

(3)ZXABC是边长为3的等边三角形，M是高CZ)上的一个动点，小亮以2M为边作等

边三角形BMN,如图3.在点时从点C到点D的运动过程中，求点N所经过的路径长；

图3图4

（4）正方形ABC。的边长为3,E是边CB上的一个动点，在点E从点C到点B的运动

过程中，小亮以8为顶点作正方形BFG”，其中点F、G都在直线AE上，如图4.当点

E到达点8时，点RG、H与点B重合.则点H所经过的路径长为,

点G所经过的路径长为.

2020和2021年江苏省中考数学试题分类一一专题9四边形

参考答案与试题解析

一.选择题(共11小题)

1•【解答】解：•・,四边形P3砂为正方形，

・・・NPBE=9U°,

/CBE=a,

：.ZPBC=90°-a,

•・•四边形APC。、P5M是正方形，

：.AP=CP,NAPF=NCPB=90°,PF=PB,

在△APF和△CPB中，

AP=CP

Z.APF=乙CPB,

PF=PB

：.^APF^/\CPB(SAS),

AZAFP=ZPBC=90°-a.

故选：B.

2.【解答】解：A.连接ER

•；D、E、b分别是△ABC各边中点，

：.EF//BC,BD=CD,

设EF和3C间的距离为儿

1I

S4BDE=•h,S^DCE=2co•h,

:$BDE=S4DCE,

故本选项不符合题意；

B.*：D、E、产分别是△ABC各边中点，

J.DE//AC,DF//AB,

：.DE//AF,DF//AE,

・・・四边形AEQ尸是平行四边形，

故本选项不符合题意；

C・・・Q、E、F分别是△A5C各边中点，

:.EF=*BC,DF=

若AB=BC,则尸E=£＞凡

四边形AEDF不一定是菱形，

故本选项符合题意；

D；四边形是平行四边形，

...若NA=90°,则四边形AED尸是矩形,

故本选项不符合题意；

故选：C.

3.【解答】解：..•四边形A3。是平行四边形，

：.AD//BC,AB//CD,NADC=60°,

：.ZCAE=ZACB=45°,

:将△ABC沿4c翻折至△AB'C,

：.AACB'=N4C8=45°,NAB'C=/8=60°,

AZA£C=180°-ZCAE-ZACB'=90°,

：.AE=CE=苧4C=V3,

VZA£C=90°,ZAB'C=60°,ZADC=60°,

：.ZB'AO=30°,ZDCE=30°,

:.B'E=DE=1,

：.B'D=>JB'E2+DE2=V2.

故选：B.

VZBC£>=100°，

AZCBZ)+ZCDB=180°-100°=80°,

ZA+ZABC+ZE+ZCDE=3600-ZCBD-ZC£)B=360°-80°=280°,

故选：D.

5.【解答]解：正五边形的内角和是：(5-2)X1800=3X180°=540°,

故选:B.

6.【解答】解：如图所示，

11

根据题意得40=2X6=3,BO=]X8=4,

•：四边形4BCD是菱形，

：.AB=BC=CD=DA,ACLBD,

...△AOB是直角三角形，

yjAO2+BO2=5,

,此菱形的周长为：5X4=20.

7.【解答】解：•.•四边形A8CO是平行四边形，

...当ACLBZ）时，四边形ABCD是菱形；

故选：D.

8.【解答】解：；四边形ABCD为菱形，

11

J.ACVBD,OB=OD=*BD=4,OC=OA=/AC=3,

在RtABOC中，BC=\/OB2+OC2=V32+42=5,

为BC中点，

15

二OH=±BC=去

故选：B.

9.【解答】解：；小明每次都是沿直线前进10米后向左转45度,

,他走过的图形是正多边形，

二边数〃=360°+45°=8,

.••他第一次回到出发点A时，一共走了8X10=80(m).

故选：B.

10.【解答】解：：四边形ABC。是矩形，

.,.NA=ZA8C=90°,

由折叠的性质得：ZBA'E=ZA=90°,ZA'BE=ZABE,

：.ZA,BE^ZABE=(90°-ZDBC)=.(90°-24°)=33°,

：.ZA'EB=900-ZA'BE=90°-33°=57°.

故选：C.

11•【解答】解：正十边形的每一个外角都相等，

因此每一个外角为：360°+10=36°,

故选：A.

二.填空题(共15小题)

12.【解答】解：；矩形4EG尸的周长为20M,

.".AF+AE=\0cm,

"：AB=AE+BE,AD=AF+DF,BE=FD=2cm,

...阴影部分的面积=48XAO-AEXAF=(AE+2)(AF+2)-4EXAF=24Can2),

故答案为：24.

13•【解答】解：•••四边形OABC是平行四边形，8c=3,

：.OA=BC=3,

;点A在x轴上，

.,.点A的坐标为(3,0),

故答案为：(3,0).

14.【解答】解：360°+40°=9,

故答案为：9.

15.【解答］解：如图，连接AC交8。于点H,

由菱形的性质得/BOC=35°,NDCE=70°,

又15°,

；.NDCF=55°,

VDF±CM,

：.ACDF=35°,

又•.•四边形ABC。是菱形，

平分NAOC,

：.ZHDC^35°,

在△C。4和△CD尸中，

(/CHD=ZCFD

]^HDC=Z.FDC，

VDC=DC

.,.△CDHWACDF(A4S),

：.DF=DH=V5,

：.DB=2y/5,

故答案为2V1

16.【解答】解：过点E作EFLBC,垂足为F,

'：ZEBC=30°,BE=\O,

1

：.EF=看BE=5,

・・•四边形A5C。是平行四边形,

：.AD//BC,

：.ZDEC=ABCE,

又EC平分/BED,即ZBEC=ZDEC,

：./BCE=NBEC,

：.BE=BC=\O,

，四边形ABC。的面积=BCXEF=10X5=50,

故答案为：50.

17.【解答】解：；DE=2EF,设EF=x,则。E=2G

•••四边形DEFG是矩形，

J.GF//AB,

：./\CGF^^CAB,

•.———,L、|J—,

ABCB4+37AB7

7x

：.AB=-y,

7r3

：.AD^BE=AB-DE=苗-2%=》，

・.・AC=8C,

ZA=ZB,

在△4QG和△5EF中，

(ZA=NB

\z-ADG=乙BEF，

\DG=EF

：.AADG^ABEF(AAS),

3

：.AD=BE=^X9

在RtZSBE/中，B/+EF2=BF2,

即号%）2+%2=32,

解得：户学或-荒（舍），

.口口12

••Er=

故答案为：卷.

18•【解答】解：・・•四边形ABC。是菱形,

：.AC1,BD9AO=CO,DO=BO,

VAC=8,30=6,

・・・4O=4,£)0=3,

•\AD=y/AO2+DO2=V42+32=5,

又〈OELAD,

.AODOADOE

••—,

22

.4X350E

••―,

22

解得0E=导,

山》,12

故答案为：—•

19•【解答】解：方法一：(5-2)780°=540°,

5400+5=108°；

方法二：360°4-5=72°,

180°-72°=108°,

所以，正五边形每个内角的度数为108°.

故答案为：108°.

20.【解答】解：・・•四边形A8CO是正方形，

AZACB=ZBAC=45°,

：.Z2+ZBCP=45°,

VZ1=Z2,

AZ1+ZBCP=45°,

VZBPC=180°-Z1-ZBCP,

AZBPC=135°,

故答案为：135.

21.【解答】解：・・,当点尸从点A运动到点。时，PQ=B4,

・••点。运动轨迹是圆弧，如图，阴影部分的面积即为线段PQ在平面内扫过的面积,

XP)

-------------------'C

Q

;矩形ABC。中，AB=1,AD=V3,

...NABC=/8AC=/C=/Q=90°.

：.NADB=NDBC=NODB=NOBQ=30°,

：.ZABQ=\20°,

由矩形的性质和轴对称性可知，△BOgXDOC,SMBD=SABQD,

''•S用影部分=S四边形AB。。-S扇彩ABQ=2SAABO-S扇形ABQ，

120x]2

=S矩形A8CD_S扇形A8Q=1XV3--------------=V3—半

故答案为：V3—

22.【解答】解：连接CG,

在正方形ACI陀、3CFG中，

ZECA=ZGCB=45°,

：.ZECG=90°,

VAC=2BC,

・,•设AC=2〃，BC=a,

：.CE=2y[2afCG=&a,

•/CG1

..tanNCECJ=,

故答案为：

23.【解答】解：・・•四边形ABC。是菱形，且AB=2,

：.CD=AD=AB=2,

9：ZDAB=\20°，

AZ0AD=6Qa,

为△A。。中，ZADO=30°,

/.OA=%£>=1x2=1,0D=V22-I2=A/3,

：.C(2,V3),

故答案为：(2,V3).

24.【解答】解：作CH_LAB于点”，

;在回ABC。中，NB=60°,BC=8,

；.CH=4百，

•••四边形ECGF是平行四边形，

.".EF//CG,

:.△EODS^GOC,

.EODOED

""GO~OC~GC'

1

♦：DF=3DE,

q

,DE4

••—―,

EF5

.ED4

••=一,

GC5

.EO4

••=二,

GO5

当EO取得最小值时，EG即可取得最小值，

当EOJ_CD时，E。取得最小值，

：.CH=EO,

，E0=4回

.\GO=5V3,

；.EG的最小值是9遍，

故答案为：9V3.

AD

BC

25.【解答】解:如图,

%

"0x

••,顶点M、N的坐标分别为(3,9)、(12,9),

轴，MN=9,BN〃y轴，

.•.正方形的边长为3,

:.BN=6,

工点B(12,3),

VAB//MN,

轴，

.,.点A(15,3)

故答案为(15,3).

26.【解答】解：•..四边形ABCQ是菱形，

；.CA平分N8CQ,AB//CD,

：.ZBAE+ZAEC=\SO°,NB+NBC£>=180°,

：.ZBCD=180°-ZB=180°-50°=130°,

AZACE=|ZBCD=65°,

：AE=AC,

/.ZAEC=ZACE=65°,

.♦.NBAE=180°-ZAEC=115°；

故答案为：115.

三.解答题（共9小题）

27.【解答】解：（1）如图1,连接3F,

D

B

•・•点A关于直线BE的对称点为点F,

：.AB=BF,BELAF,

：.NABE=NEBF=a,

：.ZCBF=90°-2a,

四边形ABCD是正方形，

：.AB=BC,

：・BF=BC,

.”《=吗等型=45。+a；

（2）DG//CF,

理由如下：如图2,连接AC,

图2

・・•四边形A5C。是正方形，

.♦・NACZ)=45°,ZADC=90a,

■:CG.LAF,

：.ZCGA=ZADC=90°,

・,•点A,点D,点G,点。四点共圆,

AZAGD=ZACD=45°,

*：AB=BFfNABF=2a,

：.NAFB=侬丁%=90°-a,

AZAFC=135°,

：.ZCFG=45°=ZDGA,

：.DG//CF；

(3)"：BE>AB,

：.BH>BF,

:*BH¥BF；

如图3,当BH=FH时,过点”作HN_LBF于M

:将△ABE绕点B顺时针旋转90°得到△CBH,

,△ABE丝ABCH,NEBH=90°=NA8C,

：.AE=CH,BE=BH,NABE=NCBH=a=NFBE,AB=BC,

:.NHBF=90°-a,

,:BH=FH,HNA.BF,

：.BN=NF=3BF=%B,NBNH=9G°=ZBAE,

：.ZBHN=a,

：.NABE=ZBHN,

:.AABEmANHB(ASA),

：.BN=AE=^AB,

：.BE=y/AE2+AB2=痘AE,

..AEV5

•22通=亏,

当BF=尸〃时,

/FBH=ZFHB=90°-a,

：.NBFH=2a=/ABF,

：.AB//FH,

即点尸与点C重合，则点E与点。重合，

・・,点E在边上(不与端点A,。重合)，

:・BF=FH不成立,

综上所述：sina的值为

28.【解答】(1)证明：如图1,作FGL4O,交A。的延长线于点G,作EHLA。，交D4

的延长线于点H.

①由旋转得，PF=CP,NCPF=90°,

・・•四边形A3CO是正方形，

：.ZPDC=90°,

VZFPG+ZDPC=90°,ZPCD+ZDPC=90°,

：.ZFPG=ZPCDf

・・・NG=NPQC=90°,

:・4FPGq4PCD(A4S),

:・FG=PD,

・・・4PDF的面积S=*PD・FG=1PD2.

②由①得，XFPG/XPCD,

:・PD=FG,PG=CD=4,

同理，g△PB4,

:.EH=AP,P”=BA=4,

9

：AH=4-AP=PDf

：.AH=FG；

a：AP=4-PD=DG,

：.EH=DG；

•；NH=NG=90°,

：./\EAH^ADFG(SAS),

：.EA=FD.

(2)如图2,在图1的基础上，作尸于点L,则/FLE=NFLH=90：

・・.四边形HLFG是矩形，

:.LH=FG=AH,FL=G/7=4+4=8；

■:EH=PA,AH=PD,

：.EH+AH=PA+PD=AD=4；

设EL=n,(w>0,〃20),则

・"=4-2tn；

EF2=ELr+Fl}=n2+82=n2+64,

:.EF=W2+64,

.••EF随〃的增大而增大；

由〃=4-2m可知，〃随机的增大而减小，

当机=2时，"埼小=0,此时，EF^-V64=8；

若"2=0,则〃城大=4,止匕时，EF城大=.42+82=46,

•••点P不与点A、。重合，

：.n<4,EF<4底

的取值范围是8WEFV4追，

住初<2后

,：4ADM=4GDF=NHEA,NDAM=/HAE,

：.ZADM+ZDAM=ZHEA+ZHAE=90°,

.•./EMF=90°；

是E尸的中点,

1

：.MN=汐,

:,MN的取值范围是4WMN<2瓜

图1

29.【解答】解：（1）①过尸作尸G_LBC于G,连接CF,如图:

•4（^--------------------\D

:四边形ABC。是正方形，ZAEF=90°,

；.NBAE=90°-NAEB=NFEG,NB=NG=90°,

...等腰直角三角形AEF,

：.AE=EF,

在△ABE和△EGF中，

(ZB=ZG

\^AEB=4EFG，

UE=EF

：./\ABE^/\EGFCAAS),

1

：・FG=BE=芯,EG=AB=BC,

：.EG-EC=BC-EC,即CG=BE=1,

在RtACGF中，CF=y/CG2+FG2=孝；

②△ABE绕A逆时针旋转90°,得△A£>E,过户作P”_LEQ于"，如图:

•.,△ABE绕A逆时针旋转90°,得△4OE,

/XABE^^ADE,N8=NAOE=90°,NBAE=/DAE,NAEB=NE,AE=AE',

BE=DE,

：.ZADC+ZADF=180°,

：.C.D、£共线，

'：ZBAE+ZEAD=90°,

：.ZDAE+ZEAD=90Q,

,：ZEAF=45°,

.•.NE4F=NE4F=45,

在△E4Q和△EA。中，

(AE=AE'

1/.EAQ=/.E'AQ>

UQ=AQ

.♦.△E4Q名Z\EAQ(SAS),

：.ZE=ZAEQ,EQ=EQ,

：.ZAEB=ZAEQ,EQ=DQ+DE=DQ+BE,

：./QEP=90°-ZAEQ=90°-NAEB=NCEP,即EF是NQEC的平分线，

又NC=90°,PHLEQ,

：.PH=PC,

；NBAE=NCEP,ZB=ZC=90°,

:.丛ABES^ECP,

CPCErCP1-m

/.—=—，即—=----，

BEABm1

：.CP=m(1-m),

:・PH=h=-n^+m=-(w-1)2+1,

之时，h最大值是1；

z4

(2)①当OW次时，如图：

VZBAE=90°-NAEB=NHEG,NB=NHGE=90°

：.XABEsXEGH,

i

HGEGHG弓一m

，一=—,即一="-

BEABm1

:.HG=-m2+方加,

•:MG〃CD,G为BC中点、,

：.MV为△ADQ的中位线，

：.MN=^DQ,

由(1)知：EQ=DQ+BE,

设OQ=x,则EQ=x+m,CQ=l-x,

□△EQC中，EC2+CQ2=EQ2,

(1-/n)2+(1-x)2=(.x+m)2,

1—m

解得x=1+m'

1—m

:・MN=2(l+m)'

：.y=NH=MG-HG-MN

1/2.1\l—m

i(-"+产)-2(i+m)

_111—Tn.2

=1-2/M_2(l+m)+m'

'JMG//AB,

HGGE,HG

：.—=—,即一=—

ABBE1m

•iic-2m-1

2m

同①可得忐带，

:・HN=MG-HG-MN

=l_2m-l_If

2m2(l+m)

_1+-2

2m2+2m，

._1+m2

.♦尸2w7+2m

综上所述,厂1一排一忐品+汴或产煮捻•

30.【解答】解：(1)证明：己知。、E、尸为AB、BC、AC的中点,

...OE为△ABC的中位线，根据三角形中位线定理，

J.DE//AC,KDE=^AC=AF.

即DE//AF,DE=AF,

，四边形AOEF为平行四边形.

(2)证明：选②AE平分N8AC,

平分NBAC,

：.ZDAE=ZFAE,

又为平行四边形，

J.EF//DA,

:./DAE=NAEF,

：.ZFAE=NAEF,

:.AF=EF,

，平行四边形AQEF为菱形.

选③AB=AC,

ii

'：EF//AB5.EF=^AB,DE//ACH.DE=^AC,

又：AB=AC,

：.EF=DE,

平行四边形AOEF为菱形.

31.【解答】解：（1）如图①，连接AF,AC,

图①

四边形ABCD和四边形4EFG都是正方形,

：.AC=>/2AB,AF=V2AG,NC4B=NGAF=45°,NR4£>=90°,

4cAF

：.ZCAF=ZBAG,—=—,

ABAG

：.^CAF^/\BAG,

(2)BE=2MN,MNLBE,

理由如下：如图②，连接ME,过点C作CH〃EH交直线ME于H,连接BH,设CF

与AO交点为P,CF与AG交点、为R,

图②

YCH//EF,

：.ZFCH=ZCFEf

•・•点M是。尸的中点,

：.CM=MF,

又,：/CMH=/FME,

(ASA),

：.CH=EF,ME=HM,

：.AE=CHf

，：CH〃EF,AG//EF,

：.CH//AG,

：.ZHCF=ZCRA,

*：AD〃BC,

：・NBCF=NAPR,

：.ZBCH=NBCF+NHCF=NAPR+NARC,

VZDAG+ZAPR+ZARC=]80°,ZBAE+ZDAG=\SO0,

；・/BAE=/BCH,

又・・・BC=AB,CH=AE,

:.△BCHWXBAE(SAS),

：・BH=BE,NCBH=/ABE,

：.ZHBE=ZCBA=90°,

•・・M”=ME,点N是BE中点，

:,BH=2MN,MN〃BH,

:.BE=2MN,MNA.BE；

(3)如图③，取A3中点O,连接ON,OQ,AF,

图③

VAE=6,

二.A/=6近,

•.,点N是8E的中点，点。是8尸的中点，点。是48的中点，

：.0Q=|AF=3V2,0N='E=3,

.•.点。在以点。为圆心，3a为半径的圆上运动，点N在以点0为圆心，3为半径的圆

上运动，

二线段QN扫过的面积=TTX(3V2)2-nX32-=9n.

32.【解答】解：选②，如图，连接8凡DE,

,/四边形A