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文档简介
平面向量的实际背景及基本概念1.向量的概念:我们把既有大小又有方向的量叫向量。2.数量的概念:只有大小没有方向的量叫做数量。数量与向量的区别:数量只有大小,是一个代数量,可以进行代数运算、比较大小;向量有方向,大小,双重性,不能比较大小.有向线段:带有方向的线段叫做有向线段。有向线段的三要素:起点,大小,方向A(A(起点)B(终点)a5.有向线段与向量的区别;(1)相同点:都有大小和方向(2)不同点:①有向线段有起点,方向和长度,只要起点不同就是不同的有向线段比如:上面两个有向线段是不同的有向线段。②向量只有大小和方向,并且是可以平移的,比如:在①中的两个有向线段表示相同(等)的向量。③向量是用有向线段来表示的,可以认为向量是由多个有向线段连接而成6.向量的表示方法:①用有向线段表示;②用字母a、b(黑体,印刷用)等表示;③用有向线段的起点与终点字母:;7.向量的模:向量的大小(长度)称为向量的模,记作||.8.零向量、单位向量概念:长度为零的向量称为零向量,记为:0。长度为1的向量称为单位向量。9.平行向量定义:①方向相同或相反的非零向量叫平行向量;②我们规定0与任一向量平行.即:0∥a。说明:(1)综合①、②才是平行向量的完整定义;(2)向量a、b、c平行,记作a∥b∥c.10.相等向量长度相等且方向相同的向量叫相等向量.说明:(1)向量a与b相等,记作a=b;(2)零向量与零向量相等;(3)任意两个相等的非零向量,都可用同一条有向线段来表示,并且与有向线段的起点无关.11.共线向量与平行向量关系:BAOCBAOCDEF说明:(1)平行向量是可以在同一直线上的。(2)共线向量是可以相互平行的。例1.判断下列说法是否正确,为什么?(1)平行向量是否一定方向相同?(2)不相等的向量是否一定不平行?(3)与零向量相等的向量必定是什么向量?(4)与任意向量都平行的向量是什么向量?(5)若两个向量在同一直线上,则这两个向量一定是什么向量?(6)两个非零向量相等当且仅当什么?(7)共线向量一定在同一直线上吗?解析:(1)不是,方向可以相反,可有定义得出。(2)不是,当两个向量方向相同的时候,只要长度不相等就不是相等向量,但是是平行的。(3)零向量(4)零向量(5)共线向量(平行向量(6)长度相等且方向相同(7)不一定,可以平行。例2.下列命题正确的是()A.a与b共线,b与c共线,则a与c也共线B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是平行四边形的四顶点C.向量a与b不共线,则a与b都是非零向量D.有相同起点的两个非零向量不平行解:由于零向量与任一向量都共线,所以A不正确;由于数学中研究的向量是自由向量,所以两个相等的非零向量可以在同一直线上,而此时就构不成四边形,根本不可能是一个平行四边形的四个顶点,所以B不正确;向量的平行只要方向相同或相反即可,与起点是否相同无关,所以D不正确;对于C,其条件以否定形式给出,所以可从其逆否命题来入手考虑,假若a与b不都是非零向量,即a与b至少有一个是零向量,而由零向量与任一向量都共线,可有a与b共线,不符合已知条件,所以有a与b都是非零向量,所以应选C.例3.如右图所示,设O是正六边形ABCDEF的中心,分别写出图中与向量相等的向量。解:按照向量相等的定义可知:向量的加法运算及其几何意义1.向量的加法:求两个向量和的运算,叫做向量的加法.2.三角形法则(记忆口诀:“首尾相接,从头指尾”)3.三角形法则的来由如图,已知向量a、b.在平面内任取一点,作=a,=b,则向量叫做a与b的和,记作a+b,即a+b,规定:a+0-=0+aAABCa+ba+baabbabba+ba4.向量加法的字母公式:5.平行四边形法则图1如图1,以同一点O为起点的两个已知向量a、b为邻边作平行四边形,则以O为起点的对角线就是a与b的和.我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则.6.平行四边形法则与三角形法则的区别:平行四边形法则是将两个向量的起点放在一起做出平行四边形,最终和向量的结果的起点和两个分向量的起点是同一起点。三角形法则要求第一个向量终点和第二个向量的起点连接在一起,然后连接第一个向量的起点和第二个向量的终点组成三角形,最终和向量的结果是:由第一个向量的起点指向第二个向量的终点。一般结论当a,b不共线时,|a+b|<|a|+|b|(即三角形两边之和大于第三边);当a,b共线且方向相同时,|a+b|=|a|+|b|;当a,b共线且方向相反时,|a+b|=|a|-|b|(或|b|-|a|).其中当向量a的长度大于向量b的长度时,|a+b|=|a|-|b|;当向量a的长度小于向量b的长度时,|a+b|=|b|-|a|.一般地,我们有|a+b|≤|a|+|b|.二.例题讲解例1、已知正方形ABCD的边长为1,=a,=b,=c,则|a+b+c|等于()A.0 B.3 C.2 D.2.解:DCA作出正方形ABCD的图形如上图所示,那么:a+b=c,所以a+b+c=2c,所以|a+b+c|=|2c|=2|c|=2,所以选D.例2.化简:(1)+;(2)++;(3)++++.例3.如图所示,已知矩形ABCD中,||=4,设=a,=b,=c,试求向量a+b+c的模.解:过D作AC的平行线,交BC的延长线于E,∴DE∥AC,AD∥BE.∴四边形ADEC为平行四边形.∴=,=.于是a+b+c=++=+==+=2,∴|a+b+c|=2||=8.1.判断下列命题是否正确,若不正确,请简述理由。①向量AB与CD是共线向量,则A、B、C、D四点必在一直线上;②单位向量都相等;③任一向量与它的相反向量不相等;④一个向量方向不确定当且仅当模为0;⑤共线的向量,若起点不同,则终点一定不同。2.(1).判断下列式子是否正确,若不正确请指出错误原因.①=0②.-=0若将所有单位向量的起点归结在同一起点,则其终点构成的图形是___________.将所有共线向量移至同一起点,终点构成的图形是什么图形?___________3.下列说法正确的是()A.平行向量是方向相同的向量B.长度相等的向量叫相等向量C.零向量的长度为0D.共线向量是在同一条直线上的向量4.若非零向量与共线,则以下说法下确的是()A.与必须在同一直线上B.与平行,且方向必须相同`C.与平行,且方向必须相反D.与平行1、在四边形中,若,则四边形的形状一定是()(A)平行四边形(B)菱形(C)矩形(D)正方形2、两列火车从同一站台沿相反方向开去,走了相同的路程,设两列火车的位移向量分别为和,那么下列命题中错误的一个是()A、与为平行向量B、与为模相等的向量C、与为共线向量D、与为相等的向量3、下列命题中正确的是()A.单位向量都相等B.长度相等且方向相反的两个向量不一定是共线向量C.若a,b满足|a|>|b|且a与b同向,则a>bD.对于任意向量a、b,必有|a+b|≤|a|+|b|平面向量的加法运算用三角形法则和平行四边形法则分别画出2、下列命题中正确的是()A.单位向量都相等B.长度相等且方向相反的两个向量不一定是共线向量C.若a,b满足|a|>|b|且a与b同向,则a>bD.对于任意向量a、b,必有|a+b|≤|a|+|b|3、已知正方形的边长为1,=a,=b,=c,则|a+b+c|等于()A.0B.3C.D.24、两列火车从同一站台沿相反方向开去,走了相同的路程,设两列火车的位移向量分别为和,那么下列命题中错误的一个是A、与为平行向量B、与为模相等的向量C、与为共线向量D、与为相等的向量5、在四边形中,若,则四边形的形状一定是()(A)平行四边形(B)菱形(C)矩形(D)正方形6、已知正方形的边长为1,,,,则等于()(A)0(B)3(C)(D)7、如果,是两个单位向量,则下列结论中正确的是()(A)(B)(C)(D)平面向量的概念与线性运算知识点一.平面向量的有关概念1.向量:既有大小,又有方向的量.2.数量:只有大小,没有方向的量.3.有向线段的三要素:起点、方向、长度.4.零向量:长度为的向量.5.单位向量:长度等于个单位的向量.6.平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量.零向量与任一向量平行.注:任一组平平行向量都可以平移到同一直线上7.相等向量:长度相等且方向相同的向量.8.相反向量:长度相等且方向相反的向量二.向量的表示法1.字母表示法:如:,等2.几何表示法:用一条有向线段表示向量3.代数表示法:在平面直角坐标系中,设向量的起点O是坐标原点,终点坐标是(,),则(,)称为的坐标,记作:=(,)三.向量的运算1.向量加法运算:=1\*GB2⑴三角形法则的特点:首尾相连.=2\*GB2⑵平行四边形法则的特点:共起点.=3\*GB2⑶三角形不等式:.=4\*GB2⑷运算性质:=1\*GB3①交换律:;=2\*GB3②结合律:;=3\*GB3③.=5\*GB2⑸坐标运算:设,,则.2.向量减法运算:=1\*GB2⑴三角形法则的特点:共起点,连终点,方向指向被减向量.=2\*GB2⑵坐标运算:设,,则.设、两点的坐标分别为,,则.3.向量数乘运算:=1\*GB2⑴实数与向量的积是一个向量的运算叫做向量的数乘,记作.=1\*GB3①;=2\*GB3②当时,的方向与的方向相同;当时,的方向与的方向相反;当时,.=2\*GB2⑵运算律:=1\*GB3①;=2\*GB3②;=3\*GB3③.=3\*GB2⑶坐标运算:设,则.4.向量共线定理:向量与共线,当且仅当有唯一一个实数,使.设,,其中,则当且仅当时,向量、共线.四.跟踪训练1.()A.B.0C.D.2.给出命题(1)零向量的长度为零,方向是任意的.(2)若,都是单位向量,则=.(3)向量与向量相等.(4)若非零向量与是共线向量,则,,,四点共线.以上命题中,正确命题序号是A.(1)B.(2)
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