平面向量基础知识梳理及平面向量基础题

试卷第=page66页，总=sectionpages1010页试卷第=page11页，总=sectionpages11页平面向量基础知识梳理一、向量的概念：⒈有向线段：叫做有向线段.⒉向量：叫做向量.向量通常用有向线段或表示.⒊向量的模：向量的又叫做向量的模，记作.⒋两个重要概念：①零向量：叫做零向量.记作.注意：零向量没有规定它的方向，因此零向量的方向是任意的.②单位向量：叫做单位向量.注意：单位向量的方向与它所在向量的方向相同.⒌相等向量：叫做相等向量.向量与相等记作.⒍平行向量：叫做平行向量.向量与平行可记作.规定：与任一向量平行.即∥，∥，∥.⒎共线向量：叫做共线向量.注意：若与是共线向量，则与的方向，它们所在的直线它们的夹角是.⒏相反向量：叫做相反向量.的相反向量是，−的相反向量是，的相反向量是.⒐两个非零向量和的夹角：.二、向量的运算：⒈向量的加法：⑴向量与的和的定义：⑵向量加法法则：①三角形法则（请画图于右）+（首尾相连）②平行四边形法则（请画图于右）+（起点相同）⑶向量加法运算律：①交换律：②结合律：⑷特例：=，=，=.⑸向量加法的坐标运算：设=（x1，y1），=（x2，y2），则=.⒉向量的减法：⑴向量与的差的定义：向量加上的相反向量叫做与的差，记作+(−)=−.OAB−是怎样的一个向量?答：.OABABD⑵向量减法法则：设=，=，ABD则−=-=.（请画图于右）.重要结论：设，是两个不共线向量，则以AB、AD为邻边的平行四边形的两条对角线的长分别是这两个向量和与差的模.⑶特例：=，=，=.⑷向量减法的坐标运算：设=（x1，y1），=（x2，y2），则=.⒊实数与向量的积：⑴定义：实数λ与向量的积是一个向量，记作λ，它的长度与方向规定如下：①|λ|=；②当λ＞0时，λ的方向与的方向，当λ＜0时，λ的方向与的方向；当λ=0时，λ=.⑵运算律：①λ（μ）=；②（λ+μ）=；③λ（）=.⑶实数与向量的积的坐标运算：⑷特例：若λ∈R，则λ=.⒋向量的数量积（或内积）：⑴定义：已知非零向量和，它们的夹角为θ，则=.⑶运算律：①=；②（λ）·==；③（+）·=.注意：向量的数量积没有结合律！特别地，=，或||=.⑸向量的数量积的坐标运算：设=（x1，y1），=（x2，y2），则=.⑹特例：=，=.三、重要定理、公式及方法：⒈平面向量基本定理：如果和是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量有且只有一对实数λ1、λ2，使=λ1+λ2.⒉向量模的计算公式：设=（x，y），则||=.⒋如何证明A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3）三点共线？⒌两个向量平行、垂直的充要条件：大前提充要条件向量表示坐标表示平行=(x1，y1),=(x2，y2),且≠∥∥垂直=(x1，y1),=(x2，y2),且≠、≠⊥⊥注意：若不考虑上面的大前提，则⑴向量=(x1，y1),和=(x2，y2)平行的充要条件是x1y2-x2y1=0.⑵向量=(x1，y1),和=(x2，y2)垂直的必要不充分条件是x1x2+y1y2=0.⒎已知向量=(x1，y1),和=(x2，y2)，它们的夹角为θ，则cosθ=.⒐线段的中点坐标公式：已知P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则线段P1P2的中点坐标是.⒑三角形的重心坐标公式：设△ABC三顶点的坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则△ABC的重心G的坐标是.平面向量基础题一、高考真题体验1．（2015新课标卷I）已知点，向量，则向量()（A）（B）（C）（D）2．（2015新课标卷II）已知,,则（）A．B．C．D．3．（2014新课标卷I）设分别为的三边的中点，则A.B.C.D.二、知识清单训练【平面向量概念】1、定义：大小、方向2、几何表示：有向线段,、3、基本概念：单位向量、相等向量、相反向量、共线（平行）向量4．下列判断正确的是()A.若向量与是共线向量，则A,B,C,D四点共线；B.单位向量都相等；C.共线的向量，若起点不同，则终点一定不同；D.模为0的向量的方向是不确定的。5．下列命题正确的是() A．单位向量都相等 B．若与共线，与共线，则与共线 C．若，则 D．若与都是单位向量，则6．已知非零向量反向，下列等式中成立的是 （） A．B．C．D．【线性运算】加法：首尾相连，起点到终点减法：同起点、连终点、指向被减数乘：7．空间任意四个点A、B、C、D，则等于(）A．B．C．D．8．设四边形ABCD中，有=，且||=||，则这个四边形是A.平行四边形 B.等腰梯形 C.矩形D.菱形9．设D，E，F分别为ABC的三边BC，CA，AB的中点，则A．B．C．D．10．设P是△ABC所在平面内的一点，+=2，则（）A．+=B．+=C．+=D．++=11．如图.点M是的重心,则为（）A． B．4 C．4D．4【平面向量基本定理】，基底12．如图所示，已知，，，，则下列等式中成立的是()AABCO(A)(B)(C)(D)13．在空间四边形中，，，，，分别为、的中点，则可表示为（）A. B.C. D.14．在中，已知是边上一点，若，则() A． B． C． D．【共线定理】15．已知，则与共线的向量为(A)(B)(C)(D)16．平面向量，，若，则等于A．B．C．D．【坐标运算】1、已知，则2、已知则，，，17．已知向量，则A．B．C．D．18．若向量，，则=（）A．B．C．D．19．已知向量，，则A．（5,7）B．（5,9）C．（3,7）D．（3,9）【数量积】定义：，投影：模：夹角：垂直：20．已知，，，则向量在向量方向上的投影是（）A．－4B．4C21．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角是A.30SKIPIF1<0B.60SKIPIF1<0C.120SKIPIF1<0D.150SKIPIF1<022．设，，若，则实数的值为（）A．B．C．D．23．已知是平面向量，若，，则与的夹角是A．B．C．D．24．空间四边形中，，，则<>的值是（）A.B.C.－D.25．设向量满足，则＝()A．2B．C．4D．26．已知等边的边长为1，则A．B．C．D．27．在中，为的中点，且，则的值为A、B、C、D、28．若同一平面内向量，，两两所成的角相等，且，，，则等于（）A．2B．5C．2或5D．或【课后练习】29．已知和点满足.若存在实数使得成立，则=（）A．2B．3C．4D．30．设向量是夹角为的单位向量，若，，则向量在方向的投影为（）A．B．C．D．31．已知平面向量，满足，，，则（）A．B．C．D．32．已知，则向量与向量的夹角为（）.（A）（B）（C）（D）33．在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是（）A．B．C．D．34．在平行四边形中，为一条对角线，，，则＝（）A．（2,4）B．（3,5）C．（1，1）D．（－1，－1）35．如下图，在△OAB中，P为线段AB上的一点，＝x＋y，且＝3，则（）．A、x＝，y＝B、x＝，y＝C、x＝，y＝D、x＝，y＝36．已知向量，若与垂直，则（）A．-3B．3C．-8D．837．已知平面向量满足，且，则向量与的夹角为（）A．B．C．D．38．已知向量，则的值为A．-1B．7C．13D．1139．已知平面向量，且，则实数的值为（）A．1B．4C．D．40．已知平面向量，，则向量（）A．B．C．D．41．已知向量，，若∥，则等于（）A．B．C．D．42．已知两点A(4，1)，B(7，-3)，则与向量同向的单位向量是（）A．(，-)B．(-，)C．(-，)D．(，-)43．若向量，满足条件，则x=（）A．6B．5C．4D．344．设，向量且，则()A.B.C．2D．1045．已知向量，下列结论中不正确的是（）A． B．C． D．答案第=page88页，总=sectionpages88页答案第=page77页，总=sectionpages88页平面向量基础题参考答案1．A【解析】试题分析：∵=（3,1），∴=(-7,-4)，故选A.考点：向量运算2．C【解析】试题分析：由题意可得,所以.故选C.考点：本题主要考查向量数量积的坐标运算.3．A【解析】试题分析：根据平面向量基本定理和向量的加减运算可得：在中，，同理，则．考点：向量的运算4．D【解析】解：因为A.若向量与是共线向量，则A,B,C,D四点共线；可能构成四边形。B.单位向量都相等；方向不一样。C.共线的向量，若起点不同，则终点一定不同；不一定。D.模为0的向量的方向是不确定的，成立5．C【解析】对于A，单位向量模长都为1，但方向不确定，所以不一定相等；对于B，若，此时若与共线，与共线，但与不一定共线；对于C，若||=||，则两边平方，化简可得，C正确；对于D，若与都是单位向量，.6．C【解析】解：因为非零向量反向，所以则有根据向量的加法法则可知，，选C.7．C【解析】试题分析：如图，，故选：B．考点：向量加减混合运算及其几何意义．8．B【解析】解：因为四边形ABCD中，有=，且||=||，，因此一组对边平行，另一组对边相等的四边形为等腰梯形，选B9．B【解析】试题分析：由向量加法法则得，，因此，故答案为B.考点：向量加法法则的应用.10．A【解析】∵+=2，∴﹣=﹣，∴=，∴﹣=，∴+=故选A．11．D【解析】试题分析：点M是的重心，所以有点是中点，考点：向量的加减法点评：向量的加减法运算遵循平行四边形法则，三角形法则，加法：将两向量首尾相接由起点指向中点；减法：将两向量起点放在一起，连接终点，方向指向被减向量12．【解析】试题分析：,所以.考点：向量的三角形法则.13．C【解析】试题分析：取AC的中点E，连接ME,NE，则.考点：向量的加减运算；向量加法的三角形法则。点评：我们要注意向量加法的三角形法则的灵活应用。属于中档题。14．D【解析】15．C【解析】试题分析：因为，那么则与共线的向量要满足，那么对于选项A,分析不满足比例关系，对于选项B，由于不存在实数满足，因此不共线，同理可知选项D，也不满足，排除法只有选C.考点：共线向量点评：主要是考查了向量共线的概念的运用，属于基础题。16．A【解析】试题分析：根据向量共线的条件，可知，所以.考点：向量共线的坐标表示.17．A【解析】试题分析：根据向量的加法运算法则，可知，故选A．考点：向量的加法运算．18．B【解析】试题分析：因为向量，，所以．故选B．考点：向量减法的坐标的运算．19．A【解析】试题分析：根据向量的坐标运算可得：，故选择A考点：向量的坐标运算20．A【解析】试题分析：向量在向量方向上的投影是（是，的夹角），=-4.考点：向量的数量积运算.21．C【解析】试题分析：根据题意，由于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，那么可知SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角是，因此可知其夹角为120SKIPIF1<0，选C.考点：向量的数量积点评：主要是考查了向量的数量积的基本运算，属于基础题。22．C【解析】试题分析：因为，考点：1．平面向量的坐标运算；2．非零向量；3．数量积公式的坐标形式；23．B【解析】试题分析：根据题意，由于是平面向量，若，，则可知，可知与的夹角，选B考点：向量的数量积点评：主要是考查了向量的数量积的运算，属于基础题。24．D【解析】试题分析：利用OB=OC，以及两个向量的数量积的定义化简cos＜＞的值，根据题意，因为，则<>=,故可知答案为D.考点：向量的数量积点评：本题考查两个向量的数量积的定义，两个向量的夹角公式的应用25．B.【解析】,,故选B.26．A【解析】试题分析：＝．考点：平面向量的数量积．27．D【解析】试题分析：由题意得，,.考点：平面向量的线性运算和数量积28．C【解析】试题分析：因为同一平面内向量，，两两所成的角相等，所以当三个向量所成的角都是时，，即，所以当三个向量所成的角都是时，，故或5.考点：平面向量的数量积，向量的模的求法.29．B【解析】试题分析：由题根据，则M为△ABC的重心．根据知，点M为△ABC的重心，设点D为底边BC的中点，则故选B考点：平面向量的几何意义30．A【解析】试题分析：因为向量是夹