2023年广东省深圳市龙岗区重点学校高考数学一模试卷-普通用卷

第=page11页，共=sectionpages11页2023年广东省深圳市龙岗区重点学校高考数学一模试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知集合A={x|x=sinnA.3 B.4 C.7 D.82.已知复数(1+i)(1A.−2 B.2 C.1 D.3.已知函数f(x)=ax3+bA.8 B.−8 C.2 D.4.甲乙丙丁四名同学去听同时举行的三个讲座，每名同学可自由选择听其中的一个讲座，则甲乙二人正好听的同一讲座而丙丁听的不同讲座的情况为种．(

)A.6 B.10 C.18 D.365.公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=n2a1，若a1，aA.81 B.63 C.41 D.326.已知△ABC是单位圆O的内接三角形，若A=π4A.12 B.22 C.17.牛顿曾经提出了常温环境下的温度冷却模型：θ=(θ1−θ0)e−kt+θ0，其中t为时间(单位：min)，θ0为环境温度，A.10min B.20min8.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F，过点F且斜率为A.(1,233] B.二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）9.圆M：x2+y2+2x−A.点P的轨迹方程为x−y−3=0

B.以PM为直径的圆过定点Q(2,−1)

C.10.将函数y=sin2ωx(ω>A.f(x)关于(−π6,0)对称

B.当ω=1时，f(x)关于x=−5π12对称11.某市两万名高中生数学期末统考成绩服从正态分布，其正态密度函数f(x)=182πe−(x−75A.试卷平均得分与试卷总分比值为该试卷难度，则该份试卷难度为0.5

B.任取该市一名学生，该生成绩低于67分的概率约为0.023

C.若按成绩靠前的16%比例划定为优秀，则优秀分数线约为83分

D.该次数学成绩高于99分的学生约有2712.已知函数f(x)，g(x)的定义域均为R，f(x+2A.f(x)的图象关于点对称(1,0)

B.f(2023)=三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.(1−ax2)(1+x)14.已知点P在圆(x−3)2+(y−2)2=15.将函数y=sin(2x+π3)的图像上所有点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的2ω(16.已知四边形ABCD为平行四边形，AB=4，AD=3，∠BAD=π3四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(本小题10.0分)

已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且3bcosA+B2=cs18.(本小题12.0分)

已知数列{an}的首项a1=35，且满足an+1=3an2an+1．

19.(本小题12.0分)

如图，在三棱台ABC−A1B1C1中，BB1=B1C1=C1C=12BC=20.(本小题12.0分)

x−某县城为活跃经济，特举办传统文化民俗节，小张弄了一个套小白兔的摊位，设xi表示第i天的平均气温，yi表示第i天参与活动的人数，i=1，2，⋯，20，根据统计，计算得到如下一些统计量的值：

i=120(xi−x−)2=80，i=120(yi−y−)2=9000，i=120(xi−x21.(本小题12.0分)

已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的长轴长是短轴长的2倍，过椭圆C的右焦点F的直线l与C交于P，Q两点，且当直线l的倾斜角为45°时，|PQ|=423．

(1)求椭圆22.(本小题12.0分)

已知函数f(x)=x(lnx−a)在区间[1,e]上的最小值为−1，函数g(x)=m2x答案和解析1.【答案】C

【解析】解：因为x=sinnπ2，n∈Z的周期为4，

当n=1，2，3，4时，函数值分别是1，0，−1，0，

则A={−1,1,0}，因此B=2.【答案】D

【解析】解：因为(1+i)(1−z)=1−i，

所以1−z=1−i1+i=(3.【答案】B

【解析】【分析】本题考查函数极值相关知识，属于简单题．

先求函数的导数，把极值点代入导数则可等于0，再把极值点代入原函数则可得到极值，解方程组即可得到a，b，从而算出a−b的值．

【解答】解：因为f(x)=ax3+bx，所以f′(x)=3ax4.【答案】C

【解析】解：甲乙丙丁四名同学去听同时举行的三个讲座，每名同学可自由选择听其中的一个讲座，

甲乙看成一个整体，共有C31=3种选择，

剩下的丙丁听的不同讲座，共有C32×C21=6种选择，

则甲乙二人正好听的同一讲座而丙丁听的不同讲座的情况数为3×65.【答案】C

【解析】解：因为Sn=n2a1，

所以S1=a1，S2=4a1，故a2=3a1，

设等差数列{an}的公差为d，则d=2a1，

所以an=(2n−1)a1，6.【答案】C

【解析】解：由圆O是△ABC的外接圆，且A=π4，故OB⊥OC，

所以AB=OB−OA，则AB⋅OC=OB⋅OC−OA⋅OC7.【答案】B

【解析】解：由题意可得，θ0=20，θ1=100，θ=60，t=20代入θ=(θ1−θ0)e−kt+θ0，

则80e−20k+20=60，解得e−20k=12，解得8.【答案】A

【解析】解：设双曲线的右焦点为F(c,0)，A(x1,y1)，B(x2,y2)，则直线l：y=k(x−c)，

联立方程x2a2−y2b2=1y=k(x−c)，消去y得：(b2−a2k2)x2+2a2k2cx−a2(k2c2+b2)=0，

则可得b2−a2k2≠0,9.【答案】AB【解析】【分析】本题考查点的轨迹问题，过定点问题，距离的最小值问题，属于中档题．

圆M：x2+y2+2x−4y+3=0关于直线2ax+by+6=0对称，点M在直线上，可得a−b【解答】解：由圆M：x2+y2+2x−4y+3=0得(x+1)2+(y−2)2=2，

所以圆心M(−1,2)，半径R=2，

由圆M：x2+y2+2x−4y+3=0关于直线2ax+by+6=0对称，

所以M在直线2a

10.【答案】AB【解析】解：将函数y=sin2ωx(ω>0)向左平移π6个单位，得到函数f(x)，

f(x)=sin[2ω(x+π6)](ω>0)，当x=−π6时，得2ω(x+π6)=0，故A正确；11.【答案】CD【解析】解：由正态密度函数f(x)=182πe−(x−75)2128，可得μ=75，σ=8，

对于A，试卷的平均分为75分，试卷总分为100分，故难度为0.75，故A错误；

对于B，由于P(75−8<X≤75+8)≈0.6827，所以12.【答案】AC【解析】解：因为f(x+2)为偶函数，所以f(x+2)=f(−x+2)，即f(4−x)=f(x)，

又f(x)=g(4−2x)−g(2x)，

可得f(2−x)+f(x)=g(4−2(2−x))−g(2(2−x))+g(4−2x)−g(2x)=0，

故f(x)的图象关于点(1,0)对称，故A正确；

f(x)=−f(2−x)=−f(x+2)=−[−f(x+4)]=f(x+4)，

故f(x13.【答案】−2【解析】解：由(1+x)4的展开式通项为Tr+1=C4rxr，

则含x3的项为：C43x314.【答案】13【解析】解：如图所示，由题意圆C：(x−3)2+(y−2)2=5的圆心C(3,2)，半径r=5，

当直线PB与圆C相切时，即P为切点时，∠PBA最小，

此时BD与x轴平行，D(3,1)，

∵BC=10,C15.【答案】2

【解析】解：由题可知g(x)=sin(2×ω2x+π3)=sin(ωx+π3)．

因为x∈(0,π)，所以ωx+π3∈(π3,ωπ16.【答案】557【解析】解：在△ABD中，AB=4,AD=3,∠BAD=π3，

故DB2=AB2+AD2−2AB⋅AD⋅cos∠BAD=42+32−2×4×3×12=13，即DB=13，

则折成的三棱锥A′−BCD中，A′C=DB，17.【答案】解：(1)由正弦定理bsinB=csinC，得3sinBcosA+B2=sinCsinB，

因为B∈(0,π)，则sinB≠0，所以3cosA+B2=sinC，

因为A+B+C=π，所以cos(A+B2)=cos(【解析】(1)根据题意利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换分析运算；

(2)18.【答案】(1)证明：依题意，由an+1=3an2an+1，

可得1an+1=2an+13an=13⋅1an+23，

两边同时减去1，

可得1an+1−1=13⋅1an+23−1=13⋅(1an−1)，

∵1a1−1=135−1=23，

∴数列{1an−1}是以23为首项，【解析】(1)先将题干中递推公式取倒数，两边同时减去1，进一步推导即可证得数列{1an−1}是以23为首项，13为公比的等比数列，通过计算数列{1an−1}的通项公式即可计算出数列{a19.【答案】(1)证明：在等腰梯形BB1C1C中，作B1D⊥BC，则BD=1，

在Rt△BDB1中，cos∠B1BC=BDBB1=12，∴∠B1BC=π3，B1D=3，

在Rt△CDB1中，DC=3，解得B1C=23，

∴B1B2+B1C2=BC2，即B1C⊥B1B，

由平面AA1B1B⊥平面BB1C1C，平面AA1B1【解析】(1)在等腰梯形BB1C1C中，作B1D⊥BC，利用勾股定理得到B1C⊥B1B，再利用面面垂直的性质定理得到B120.【答案】解：(1)由题可知

r=i=120xiyi−20x−y−i=120(xi−x−)2i=120(yi−y−)2=i=120(xi−x−)(yi−y−)i=120(xi−x−)2i=120(yi−y−)【解析】(1)计算相关系数r，若|r|接近1，则可用线性回归模型拟合y与x的关系．

(2)21.【答案】解：(1)根据题意可知2a=22b，∴a2=2b2，

∴椭圆C：x22b2+y2b2=1，

设直线l的斜率为k，由题易知F(b,0)，

∴当倾斜角为45°时，直线l：y=x−b，

联立x2+2y2−2b2=0y=x−b，可得3x2−4bx=0，

∴x=0或x=43b，

∴|PQ|=1+1⋅|43b−0|=423b=423，∴b=1．

∴椭圆C的方程为x22+y2=1；

(2)根据题意可知F′(−1,0【解析】(1)先求出a、b的关系式，再联立直线l与椭圆方程解出b，即可得解；

(2)由S△QF′A=S△22.【答案】解：(1)依题意有f′(x)=lnx−a+1，

由f′(x)<0，可得x∈(0,ea−1)，