2.3.2平面与平面垂直的判定

2.3.2平面与平面垂直的判定2021/5/91二面角2021/5/92知识回顾1.在平面几何中"角"是怎样定义的？从一点出发的两条射线所组成的图形叫做角。或:一条射线绕其端点旋转而成的图形叫做角。2021/5/932.在立体几何中,"异面直线所成的角"是怎样定义的？

直线a、b是异面直线,经过空间任意一点O,分别引直线a'//a,b'//b,我们把相交直线a'和b'所成的锐角（或直角）叫做异面直线所成的角。

2021/5/943.在立体几何中,"直线和平面所成的角"是怎样定义的？平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的角。

2021/5/95思考：异面直线所成的角、直线和平面所成的角与有什么共同的特征？

它们的共同特征都是将三维空间的角转化为二维空间的角,即平面角。拦洪坝水平面2021/5/96

一个平面内的一条直线把这个平面分成两个部分，其中的每一部分都叫做半平面。

一条直线上的一个点把这条直线分成两个部分，其中的每一部分都叫做射线。2021/5/97

定义:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。这条直线叫做二面角的棱。这两个半平面叫做二面角的面。

平面角由射线--点--射线构成。二面角由半平面--线--半平面构成。

oABlαβ2021/5/98lABPQ二面角的表示2021/5/99l二面角－l－二面角C－AB－DABCD二面角的画法CEFDAB2021/5/910角BAO边边顶点从一点出发的两条射线所组成的图形叫做角。定义构成边—点—边（顶点）表示法∠AOB二面角AB面面棱a从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。面—直线—面（棱）二面角—l—或二面角—AB—

图形2021/5/911

以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。二面角的度量l二面角的平面角的三个特征:1.点在棱上2.线在面内3.与棱垂直二面角的大小的范围:2021/5/912平面角是直角的二面角叫做直二面角.2021/5/913A’AB’C’CD’DB例1:在正方体ABCD-A1B1C1D1中求:二面角D’-AB-D的大小求:二面角A’-AB-D的大小2021/5/914AOD例2:已知锐二面角－l－

，A为面内一点，A到的距离为

2，到

l的距离为

4，求二面角

－l－的大小。l2021/5/915AOD解：过A作AO⊥于O，过O作OD⊥l于D，连AD得

AD⊥l∴AO=2，AD=4∵AO为

A到的距离，AD为

A到l的距离∴∠ADO就是二面角－l－的平面角∵sin∠ADO=∴∠ADO=60°∴二面角

－l－的大小为60°在Rt△ADO中，AOADlAO⊥AO⊥l,OD⊥ll⊥平面AOD2021/5/916小结:二面角一、二面角的定义：二、二面角的表示方法：三、二面角的平面角：四、二面角的平面角的作法：五、二面角的计算：二面角－AB－二面角C－AB－D二面角－l－1、根据定义作出来2、利用直线和平面垂直作出来1、找到或作出二面角的平面角2、证明1中的角就是所求的角3、计算所求的角一“作”二“证”三“计算”从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。这条直线叫做二面角的棱。这两个半平面叫做二面角的面。1、二面角的平面角必须满足三个条件2、二面角的平面角的大小与其顶点在棱上的位置无关3、二面角的大小用它的平面角的大小来度量2021/5/917练习

如图，已知A、B是120的二面角—l—棱l上的两点，线段AC，BD分别在面，内，且AC⊥l，BD⊥l，AC=2，BD=1，AB=3，求线段CD的长。ADBCl2021/5/918练习如图，已知A、B是120的二面角—l—棱l上的两点，线段AC，BD分别在面，内，且AC⊥l，BD⊥l，AC=2，BD=1，AB=3，求线段CD的长。ADBClO分析：∠OAC

＝120AO=BD=1,AC=2四边形ABDO为矩形,DO=AB=3在Rt△COD中，2021/5/919练习如图，已知A、B是120的二面角—l—棱l上的两点，线段AC，BD分别在面，内，且AC⊥l，BD⊥l，AC=2，BD=1，AB=3，求线段CD的长。ADBCl

∵BD⊥l∴AO∥BD，∴四边形ABDO为矩形,∴DO∥l

，

AO=BD∵

AC⊥l，AO⊥l，∴l⊥平面CAO

∴AO⊥l∴CO⊥DO

O在Rt△COD中，DO=AB=3E解：在平面内，过A作AO⊥l，使AO=BD,

连结CO、DO,则∠OAC就是二面角—l—的平面角，即∠OAC

＝120，∵BD=1∴AO=1，在△OAC中，AC=2，∴2021/5/920面面垂直的判定2021/5/921一、二面角的定义：二、二面角的表示方法：三、二面角的平面角：四、二面角的平面角的作法：五、二面角的计算：二面角－AB－二面角C－AB－D二面角－l－1、根据定义作出来——定义法2、利用直线和平面垂直作出来

——垂线垂面法1、找到或作出二面角的平面角2、证明1中的角就是所求的角3、计算所求的角一“作”二“证”三“算”从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。这条直线叫做二面角的棱。这两个半平面叫做二面角的面。221、二面角的平面角必须满足三个条件2、二面角的平面角的大小与其顶点在棱上的位置无关3、二面角的大小用它的平面角的大小来度量复习回顾：2021/5/922观察下面两个图形,它们之间有什么关系?2021/5/9232021/5/924

如果两个平面相交所成的二面角是直二面角，那么我们称这两个平面相互垂直.画法：记作：一、两个平面垂直的定义2021/5/925二、两个平面垂直的判定定理

如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．

已知：AB⊥β，AB⊂α.求证：α⊥β。[证明]：设α∩β=CD，

∵AB⊥β，CD⊂β，∴AB⊥CD．在平面β内过点B作直线BE⊥CD，则∠ABE是二面角α-CD-β的平面角，而AB⊥BE，故α-CD-β是直二面角．

∴α⊥β。2021/5/926两个平面垂直的判定定理：线线垂直线面垂直面面垂直

如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.2021/5/927ACDA1C1D1ＢB1

例1：在正方体ABCD—A1B1C1D1中,求证：平面AA1C1C⊥平面BB1D1D例题讲解：2021/5/928例2．如右图：A是ΔBCD所在平面外一点，AB=AD，∠ABC=∠ADC=90°，E是BD的中点，求证：平面AEC⊥平面ABDDACBE证明：∵∠ABC=∠ADC=90°AB=AD，AC=AC.∴△ABC≌△ADC.∴CB=CD又∵AB=AD，E是BD的中点，∴AE⊥BD，CE⊥BD,AE∩EC=E，∴BD⊥平面AEC.又BD在平面BCD内，∴平面AEC⊥平面ABD若将此条件改为∠BAC=∠DAC=90°，则结论成立吗？2021/5/929例3．在空间四边形ABCD中,若AB=BC,AD=CD,E为对角线AC的中点.求证:平面ABC⊥平面BDECADBE2021/5/930

2.如果平面α内有一条直线垂直于平面β内的两条直线，则α⊥β.（）课堂练习1.如果平面α内有一条直线垂直于平面β内的一条直线，则α⊥β.（）3.如果平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条相交直线,则α⊥β.（）一、判断：××4.若m⊥α，m//β，则α⊥β.()√√2021/5/9311.过平面α的一条垂线可作_____个平面与