2020年高考数学人教B版典例透析能力提升必修2课件：1221-平行直线、直线与平面平行-Word版含解析

1.2.2空间中的平行关系第一课时

平行直线、直线与平面平行1.通过直观感知、操作确认,归纳出空间中线线平行、线面平行的相关公理、定理及性质.2.理解空间平行线的传递性,会证明空间等角定理.3.掌握直线与平面平行的判定定理和性质定理,并能利用以上定理解决空间中的相关平行性问题.12341.平行直线(1)平行公理:过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行.(2)基本性质4:平行于同一条直线的两条直线互相平行.上述基本性质通常又叫空间平行线的传递性.(3)等角定理:如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行,并且方向相同,那么这两个角相等.1234【做一做1】

若∠AOB=∠A1O1B1,且OA∥O1A1,OA与O1A1的方向相同,则下列结论中正确的是(

)A.OB∥O1B1且方向相同B.OB∥O1B1C.OB与O1B1不平行D.OB与O1B1不一定平行答案：D12342.空间四边形

1234【做一做2】

在空间中,下列说法正确的个数为(

)①有两组对边相等的四边形是平行四边形;②四边相等的四边形是菱形;③平行于同一直线的两直线平行;④有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.A.1 B.2 C.3 D.4解析：有两组对边相等的四边形不一定是平行四边形,可能是空间四边形,故①不正确,同理,②也可能是空间四边形,只有③④正确.答案：B12343.直线与平面的位置关系一条直线和一个平面的位置关系有且只有以下三种:1234名师点拨

1.若直线与平面内的无数多条直线平行,也不能认为直线与平面一定平行,如:直线在平面内,与之平行的直线也有无数条.2.直线与平面不相交和直线与平面没有公共点是不一样的,前者包括直线与平面平行及直线在平面内两种情况,而后者仅指直线与平面平行.1234【做一做3-1】

如果两直线a∥b,且a∥平面α,那么b与α的位置关系是(

)A.相交 B.b∥αC.b⊂α

D.b∥α或b⊂α解析：b⊂α能满足a∥b,且a∥平面α;b∥α也能满足a∥b,且a∥平面α.答案：D【做一做3-2】

过平面外一点可以作

条直线与已知平面平行.

答案：无数12344.直线与平面平行的判定和性质定理(1)判定定理:如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行.(2)性质定理:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线就和两平面的交线平行.1234【做一做4-1】

已知△ABC,△DBC分别在平面α,β内,E∈AB,且不与A,B重合,F∈AC,且不与A,C重合,M∈DB,N∈DC,且EF∥MN,则EF与BC的位置关系是

(

)A.平行 B.相交或平行C.平行或异面 D.平行或异面或相交解析：如图所示,因为EF∥MN,所以EF∥平面BCD.又因为EF⊂平面ABC,平面ABC∩平面BCD=BC,所以EF∥BC.答案：A1234【做一做4-2】

P是平行四边形ABCD所在平面外一点,Q是PA的中点,则直线PC和平面BDQ的位置关系为

.

解析：连接AC,交BD于点O,可证得PC∥OQ.又因为PC⊄平面BDQ,OQ⊂平面BDQ,所以PC∥平面BDQ.答案：PC∥平面BDQ121.一条直线与一个平面平行,探讨这条直线与这个平面中直线的关系剖析：一条直线与一个平面平行,它可以与平面内的无数条直线平行,这无数条直线是一组平行线.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,因为A1C1∥AC,12所以A1C1∥平面ABCD.在平面ABCD内所有与AC平行的直线,由基本性质4知都应与A1C1平行,这样的直线显然有无数多条,但直线A1C1并不是和这个面内的所有直线都平行,在平面ABCD中,所有与AC相交的直线与A1C1的位置关系都是异面.由此说明:直线与平面平行可得直线与平面无公共点,则直线与平面内的任意直线都无公共点,则直线与平面内的直线有且仅有两种位置关系:平行和异面.122.教材中的“思考与讨论”空间中,如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行,并且对应边的方向都相反,那么这两个角的大小关系如何?如果一组对应边方向相同,另一组对应边方向相反,这两个角的大小关系又如何?叙述你得到的结论,并说明理由.剖析：由已知可得如下结论:结论1:空间中,如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行,并且对应边的方向都相反,那么这两个角相等.结论2:空间中,如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行,并且一组对应边方向相同,另一组对应边方向相反,那么这两个角互补.12证明:对于结论1:如图①,延长CA到点C2,延长BA到点B2.因为BA∥B1A1,所以B1A1∥AB2,同理A1C1∥AC2.易知∠BAC=∠C2AB2,且AB与AB2,AC与AC2方向相反,可知AB2与A1B1,AC2与A1C1方向相同,由等角定理可知,∠B2AC2=∠B1A1C1.从而有∠BAC=∠B1A1C1.所以结论1是成立的.12对于结论2,如图②,AC与A1C1平行且方向相同,AB与A1B1平行且方向相反,延长BA到B2,就有AB2∥A1B1,且AB2与A1B1方向相同.由等角定理可知∠B2AC=∠B1A1C1,由于∠B2AC+∠BAC=180°,所以∠BAC与∠B1A1C1互补.题型一题型二题型三题型四题型五基本性质4的应用

【例1】

如图,已知E,F分别是空间四边形ABCD的边AB与BC的中点,G,H分别是边CD与AD上靠近点D的三等分点,求证:四边形EFGH是梯形.分析：要证明四边形EFGH是梯形,需证明一组对边平行且不相等即可.通过本题条件可知,利用平面的基本性质4即可解决.题型一题型二题型三题型四题型五反思

证明空间两直线平行,可寻找第三条直线,使之与这两条直线分别平行,利用基本性质4可证.除此之外,我们还要熟悉各种几何图形的定义和特征.题型一题型二题型三题型四题型五【变式训练1】

如图,已知E,F,G,H分别是空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点.(1)求证:四边形EFGH是平行四边形;(2)若四边形EFGH是矩形,求证:AC⊥BD.题型一题型二题型三题型四题型五证明(1)如题图,在△ABD中,∵EH是△ABD的中位线,∴EH∥BD,EH=BD.又FG是△CBD的中位线,∴FG∥BD,FG=BD.∴FG∥EH.∴E,F,G,H四点共面.又FG=EH,∴四边形EFGH是平行四边形.(2)由(1)知EH∥BD,同理AC∥GH.∵四边形EFGH是矩形,∴EH⊥GH.∴AC⊥BD.题型一题型二题型三题型四题型五等角定理的应用

【例2】

已知E,E1分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AD,A1D1的中点.求证:∠BEC=∠B1E1C1.分析：欲证明两个角相等,可运用等角定理来解决.题型一题型二题型三题型四题型五证明如图,连接EE1.所以四边形BB1E1E是平行四边形.所以EB∥E1B1.同理,EC∥E1C1.又因为∠BEC与∠B1E1C1的两边的方向相同,所以∠BEC=∠B1E1C1.题型一题型二题型三题型四题型五反思

空间两角的两边分别平行,若两边的方向都相同(或相反),则两角相等;若一边方向相同,另一边方向相反,则两角互补.题型一题型二题型三题型四题型五所以EF∥BC.同理EG∥BD,GF∥DC.又∠GEF与∠DBC的两组对边方向分别相同,∴∠GEF=∠DBC.同理∠EGF=∠BDC.故△EFG∽△BCD.题型一题型二题型三题型四题型五线面平行的判定定理的应用

【例3】

如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是AD1与BD的中点.求证:MN∥平面CC1D1D.分析：证明MN∥平面CC1D1D的关键是在平面CC1D1D中找到一条直线与MN平行,一方面可以通过三角形的中位线,另一方面也可通过平行四边形的对边平行等性质进行证明.题型一题型二题型三题型四题型五证明(方法一)连接AC,CD1(如图),因为N是BD的中点,所以N也是AC的中点.又因为M是AD1的中点,所以MN是△ACD1的中位线.因此MN∥CD1,因为MN⊄平面CC1D1D,CD1⊂平面CC1D1D,所以MN∥平面CC1D1D.题型一题型二题型三题型四题型五(方法二)取D1D的中点E,DC的中点F,连接ME,NF,EF(如图).因为M,E分别是AD1,DD1的中点,所以ME是△D1AD的中位线,故四边形MNFE是平行四边形.因此MN∥EF,又MN⊄平面CC1D1D,EF⊂平面CC1D1D,所以MN∥平面CC1D1D.题型一题型二题型三题型四题型五反思

1.直线与平面平行的判定定理的应用步骤其中,在平面α内的直线是关键,它要么是已经存在,需要被发现或找到,要么是在图形中还未出现,需要作出.2.注意中点的应用证明线面平行问题,条件常常与中点有关,在题目中出现中点时,常见的证线线平行的两种途径:(1)中位线→线线平行;(2)平行四边形→线线平行.题型一题型二题型三题型四题型五【变式训练3】

如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是棱BC,C1D1的中点.求证:EF∥平面BB1D1D.分析：解答本题可先在平面BB1D1D内寻求一条与EF平行的直线,再根据线面平行的判定定理证明.题型一题型二题型三题型四题型五证明分别过E,F作BD,B1D1的垂线,垂足为E1,F1,连接E1F1.所以四边形EE1F1F为平行四边形,所以EF∥E1F1.又EF⊄平面BB1D1D,E1F1⊂平面BB1D1D,所以EF∥平面BB1D1D.题型一题型二题型三题型四题型五线面平行性质定理的应用

【例4】

如图,四边形EFGH为空间四边形ABCD的一个截面,若截面为平行四边形.(1)求证:AB∥平面EFGH,CD∥平面EFGH;(2)若AB=4,CD=6,求四边形EFGH周长的取值范围.分析：(1)利用线面平行的判定和性质定理进行证明;(2)利用相似性质来求边长.题型一题型二题型三题型四题型五(1)证明因为四边形EFGH为平行四边形,所以EF∥HG.因为HG⊂平面ABD,所以EF∥平面ABD.因为EF⊂平面ABC,平面ABD∩平面ABC=AB,所以EF∥AB.又因为EF⊂平面EFGH,AB⊄平面EFGH,所以AB∥平面EFGH.同理,CD∥平面EFGH.(2)解设EF=x(0<x<4),又因为0<x<4,所以8<l<12,即四边形EFGH周长的取值范围为(8,12).题型一题型二题型三题型四题型五反思

判定与性质定理常常交替使用:先通过线线平行推出线面平行,再通过线面平行推出线线平行,复杂的题目还可以继续推下去,我们可称为平行链,如下:题型一题型二题型三题型四题型五【变式训练4】

如图,已知四边形ABCD是平行四边形,点P是平面ABCD外一点,M是PC的中点,在DM上取一点G,过点G和AP作平面交平面BDM于GH.求证:AP∥GH.题型一题型二题型三题型四题型五证明连接AC交BD于点O,连接MO,∵四边形ABCD是平行四边形,∴O是AC的中点.又M是PC的中点,∴AP∥OM.又OM⊂平面BMD,AP⊄平面BMD,∴AP∥平面BMD.∵平面PAHG∩平面BMD=GH,AP⊂平面PAHG,∴AP∥GH.题型一题型二题型三题型四题型五易错辨析

易错点:线面平行的判定与性质定理应用不当致错【例5】

平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面,那么另一条直线也平行于这个平面.已知:直线a∥b,a∥平面α,a,b⊄α.求证:b∥α.错解:因为直线a∥b,所以a与b无公共点.又因为a∥平面α,所以a与平面α也无公共点,又因为b⊄α,所以b与α无公共点,所以b∥α.题型一题型二题型三题型四题型五错因分析：b⊄α包含b∥α和b∩α=M两种情况,上面证明误认为b⊄α即b∥α而致错.正解:如图,过a及平面α内一点A作平面β,设β∩α=c.因为a∥α,所以a∥c.因为a∥b,所以b∥c.因为b⊄α,c⊂α,所以b∥α.题型一题型二题型三题型四题型五反思

已知条件中有a∥α,为了利用直线和平面平行的性质定理,因此过a作平面β与α相交,这里我们把平面β称为辅助平面,它可以起到桥梁作用,作辅助平面是把空间问题向平面问题转化的一种手段.123451已知下列叙述:①如果一条直线和另一条直线平行,那么它就和经过另一条直线的任何平面平行;②若一条直线平行于一个平面,则这条直线与这个平面内所有直线都没有公共点,因此这条直线与这个平面内的所有直线都平行;③若直线l与平面α不平行,则l与α内任一直线都不平行;④与一平面内无数条直线都平行的直线必与此平面平行.其中正确的个数是(

)A.0 B.1 C.2 D.3解析：如果一条直线和另一条直线平行,那么它就在经过这两条直线的平面内,①错