【解析版】广东省汕头市莲下镇2013年中考数学模拟试卷

2013年广东省汕头市莲下镇中考数学模拟试卷一、选择题（共8小题，每小4分，满分32分）1．（4分）4的算术平方根是（）A．4B．﹣4C．2D．±2考点：算术平方根．分析：如果一个非负数x的平方等于a，那么x是a的算术平方根，由此即可求出结果．解答：解：∵22=4，∴4算术平方根为：2．故选：C．点评：此题主要考查了算术平方根的概念，算术平方根易与平方根的概念混淆而导致错误．2．（4分）（2010•惠安县质检）计算（a3）2的结果是（）A．a6B．a9C．a5D．a8考点：幂的乘方与积的乘方．分析：直接根据幂的乘方的性质计算即可．解答：解：（a3）2=a3×2=a6．故选A．点评：主要考查幂的乘方，底数不变指数相乘的性质．3．（4分）（2011•衡阳）如图所示的几何体的主视图是（）A．B．C．D．考点：简单组合体的三视图．分析：找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．解答：解：从正面看易得第一层有3个正方形，第二层最中间有一个正方形．故选B．点评：本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图，难度适中．4．（4分）（2009•中山）《广东省2009年重点建设项目计划（草案）》显示，港珠澳大桥工程估算总投资726亿元，用科学记数法表示正确的是（）A．7.26×1010元B．72.6×109元C．0.726×1011元D．7.26×1011元考点：科学记数法—表示较大的数．专题：应用题；压轴题．分析：数据绝对值大于10或小于1时科学记数法的表示形式为a×10n的形式．其中1≤|a|＜10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．解答：解：原式=+3﹣+1，=4．点评：本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握零指数幂、二次根式、绝对值、特殊角的三角函数值等考点的运算．15．（7分）（2009•中山）解方程：．考点：解分式方程．专题：计算题．分析：等号左边的分式的分母因式分解为：（x+1）（x﹣1），那么本题的最简公分母为：（x+1）（x﹣1）．方程两边都乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．结果需检验．解答：解：方程两边都乘（x+1）（x﹣1），得：2=﹣（x+1），解得：x=﹣3．检验：当x=﹣3时，（x+1）（x﹣1）≠0．∴x=﹣3是原方程的解．点评：本题考查分式方程的求解．当分式方程的分母能进行因式分解时一定先进行因式分解，这样便于找到最简公分母．16．（7分）（2009•广东）如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+1的图象与反比例函数y=的图象在第一象限相交于点A，过点A分别作x轴、y轴的垂线，垂足为点B、C．如果四边形OBAC是正方形，求一次函数的关系式．考点：反比例函数综合题．专题：综合题；压轴题；待定系数法．分析：若四边形OBAC是正方形，那么点A的横纵坐标相等，代入反比例函数即可求得点A的坐标，进而代入一次函数即可求得未知字母k．解答：解：∵S正方形OBAC=OB2=9，∴OB=AB=3，∴点A的坐标为（3，3）∵点A在一次函数y=kx+1的图象上，∴3k+1=3，∴k=，∴一次函数的关系式是：y=x+1．点评：解决本题的关键是利用反比例函数求得关键点点A的坐标，然后利用待定系数法即可求出函数的解析式．17．（7分）（2009•中山）如图所示，△ABC是等边三角形，D点是AC的中点，延长BC到E，使CE=CD．（1）用尺规作图的方法，过D点作DM⊥BE，垂足是M；（不写作法，保留作图痕迹）（2）求证：BM=EM．考点：等边三角形的性质．专题：作图题．分析：（1）按照过直线外一点作已知直线的垂线步骤做；（2）要证BM=EM可证BD=DE，根据三线合一得出BM=EM．解答：（1）解：作图如下；（2）证明：∵△ABC是等边三角形，D是AC的中点∴BD平分∠ABC（三线合一）∴∠ABC=2∠DBE∵CE=CD∴∠CED=∠CDE又∵∠ACB=∠CED+∠CDE∴∠ACB=2∠E又∵∠ABC=∠ACB∴2∠DBC=2∠E∴∠DBC=∠E∴BD=DE又∵DM⊥BE∴BM=EM．点评：本题考查了过直线外一点作已知直线的垂线及考查了等边三角形和等腰三角形的性质；作图题要注意保留做题痕迹．证得BD=DE是正确解答本题的关键．18．（7分）（2009•中山）如图所示，A、B两城市相距100km，现计划在这两座城市间修建一条高速公路（即线段AB），经测量，森林保护中心P在A城市的北偏东30°和B城市的北偏西45°的方向上，已知森林保护区的范围在以P点为圆心，50km为半径的圆形区域内，请问计划修建的这条高速公路会不会穿越保护区，为什么？（参考数据：≈1.732，≈1．414）考点：解直角三角形的应用-方向角问题．专题：应用题；压轴题．分析：过点P作PC⊥AB，C是垂足．AC与BC就都可以根据三角函数用PC表示出来．根据AB的长，得到一个关于PC的方程，解出PC的长．从而判断出这条高速公路会不会穿越保护区．解答：解：过点P作PC⊥AB，C是垂足．则∠APC=30°，∠BPC=45°，AC=PC•tan30°，BC=PC•tan45°．∵AC+BC=AB，∴PC•tan30°+PC•tan45°=100km，∴PC=100，∴PC=50（3﹣）≈50×（3﹣1.732）≈63.4km＞50km．答：森林保护区的中心与直线AB的距离大于保护区的半径，所以计划修筑的这条高速公路不会穿越保护区．点评：解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分）19．（9分）（2009•中山）某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？考点：一元二次方程的应用．专题：其他问题；压轴题．分析：本题可设每轮感染中平均一台会感染x台电脑，则第一轮后共有（1+x）台被感染，第二轮后共有（1+x）+x（1+x）即（1+x）2台被感染，利用方程即可求出x的值，并且3轮后共有（1+x）3台被感染，比较该数同700的大小，即可作出判断．解答：解：设每轮感染中平均每一台电脑会感染x台电脑，依题意得：1+x+（1+x）x=81，整理得（1+x）2=81，则x+1=9或x+1=﹣9，解得x1=8，x2=﹣10（舍去），∴（1+x）2+x（1+x）2=（1+x）3=（1+8）3=729＞700．答：每轮感染中平均每一台电脑会感染8台电脑，3轮感染后，被感染的电脑会超过700台．点评：本题只需仔细分析题意，利用方程即可解决问题．找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．20．（9分）（2009•中山）某中学学生会为了解该校学生喜欢球类活动的情况，采取抽样调查的方法，从足球、乒乓球、篮球、排球等四个方面调查了若干名学生的兴趣爱好，并将调查的结果绘制成如下的两幅不完整的统计图（如图1，图2要求每位同学只能选择一种自己喜欢的球类；图中用乒乓球、足球、排球、篮球代表喜欢这四种球类中的某一种球类的学生人数），请你根据图中提供的信息解答下列问题：（1）在这次研究中，一共调查了多少名学生？（2）喜欢排球的人数在扇形统计图中所占的圆心角是多少度？（3）补全频数分布折线统计图．考点：折线统计图；频数与频率；扇形统计图．专题：图表型．分析：（1）读图可知喜欢乒乓球的有20人，占20%．所以一共调查了20÷20%=100人；（2）喜欢足球的30人，应占×100%=30%，喜欢排球的应占读图可1﹣20%﹣40%﹣30%=10%，所占的圆心角为360°×10%=36度；（3）进一步计算出喜欢篮球的人数：40%×100=40（人），喜欢排球的人数：10%×100=10（人）．可作出折线图．解答：解：（1）20÷20%=100（人）．（1分）（2）×100%=30%，（2分）1﹣20%﹣40%﹣30%=10%，360°×10%=36度．（3分）（3）喜欢篮球的人数：40%×100=40（人），（4分）喜欢排球的人数：10%×100=10（人）．（5分）（7分）点评：本题考查学生的读图能力以及频率、频数的计算．利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．21．（9分）（2009•中山）如图所示，在矩形ABCD中，AB=12，AC=20，两条对角线相交于点O．以OB、OC为邻边作第1个平行四边形OBB1C，对角线相交于点A1；再以A1B1、A1C为邻边作第2个平行四边形A1B1C1C，对角线相交于点O1；再以O1B1、O1C1为邻边作第3个平行四边形O1（1）求矩形ABCD的面积；（2）求第1个平行四边形OBB1C考点：矩形的性质；勾股定理；平行四边形的判定；菱形的性质．专题：压轴题；规律型．分析：（1）直角三角形ABC中，有斜边的长，有直角边AB的长，BC的值可以通过勾股定理求得，有了矩形的长和宽，面积就能求出了．（2）不难得出OCB1B是个菱形．那么它的对角线垂直，它的面积=对角线积的一半，我们发现第一个平行四边形的对角线正好是原矩形的长和宽，那么第一个平行四边形的面积是原矩形的一半，依此类推第n个平行四边形的面积就应该是×原矩形的面积．由此可得出第2个和第6个平行四边形的面积．解答：解：（1）∵四边形ABCD是矩形，AC=20，AB=12∴∠ABC=90°，BC===16∴S矩形ABCD=AB•BC=12×16=192．（2）∵OB∥B1C，OC∥BB1∴四边形OBB1C∵四边形ABCD是矩形，∴OB=OC，∴四边形OBB1C∴OB1⊥BC，A1B=BC=8，OA1=OB1==6；∴OB1=2OA1=12，∴S菱形OBB1C=BC•OB1=×16×12=96；同理：四边形A1B1C∴S矩形A1B1C1C=A1B1•B1C‥‥‥第n个平行四边形的面积是：∴S6==3．点评：本题综合考查了平行四边形的性质，菱形的性质和勾股定理等知识点的综合运用，本题中找四边形的面积规律是个难点．五、解答题（三）（本大题3小题，每小题12分，共36分）22．（12分）（2009•中山）（1）如图1，圆内接△ABC中，AB=BC=CA，OD、OE为⊙O的半径，OD⊥BC于点F，OE⊥AC于点G，求证：阴影部分四边形OFCG的面积是△ABC的面积的．（2）如图2，若∠DOE保持120°角度不变，求证：当∠DOE绕着O点旋转时，由两条半径和△ABC的两条边围成的图形（图中阴影部分）面积始终是△ABC的面积的．考点：三角形的外接圆与外心；全等三角形的判定；等边三角形的性质．专题：几何综合题；压轴题．分析：（1）本题要依靠辅助线的帮助．连接OA，OC，证明Rt△OFC≌Rt△OGC≌Rt△OGA后求得S△OAC=S△ABC，易证SOFCG=S△ABC．（2）本题有多种解法．连接OA，OB和OC，证明△AOC≌△COB≌△BOA，求出∠AOC以及∠DOE之间的关系即可．解答：证明：（1）如图1，连接OA，OC；因为点O是等边三角形ABC的外心，所以Rt△OFC≌Rt△OGC≌Rt△OGA，S四边形OFCG=2S△OFC=S△OAC，因为S△OAC=S△ABC，所以S四边形OFCG=S△ABC．（2）证法一：连接OA，OB和OC，则△AOC≌△COB≌△BOA，∠1=∠2；设OD交BC于点F，OE交AC于点G，∠AOC=∠3+∠4=120°，∠DOE=∠5+∠4=120°，∴∠3=∠5；在△OAG和△OCF中，∴△OAG≌△OCF，∴S△OAG=S△OCF，∴S△OAG+S△OGC=S△OCF+S△OGC，即S四边形OFCG=S△OAC=S△ABC；证法二：设OD交BC于点F，OE交AC于点G；作OH⊥BC，OK⊥AC，垂足分别为H、K；在四边形HOKC中，∠OHC=∠OKC=90°，∠C=60°，∴∠HOK=360°﹣90°﹣90°﹣60°=120°，即∠1+∠2=120度；又∵∠GOF=∠2+∠3=120°，∴∠1=∠3，∵AC=BC，∴OH=OK，∴△OGK≌△OFH，∴S四边形OFCG=S四边形OHCK=S△ABC．点评：本题涉及三角形的外接圆知识及全等三角形的判定，难度偏难．23．（12分）（2009•中山）小明用下面的方法求出方程2﹣3=0的解，请你仿照他的方法求出下面另外两个方程的解，并把你的解答过程填写在下面的表格中．方程换元法得新方程解新方程检验求原方程的解令，则2t﹣3=0，所以考点：无理方程．专题：压轴题；图表型．分析：此方程可用换元法解方程．（1）令=t，则原方程可化为t2+2t﹣3=0；（2）令=t，则原方程可化为t2+t﹣2=0．解答：解：方程换元法得新方程解新方程检验求原方程的解令，则t2+2t﹣3=0t1=1，t2=﹣3t1=1＞0，t2=﹣3＜0（舍去），所以x=1．令，则t2+t﹣2=0t1=1，t2=﹣2t1=1＞0，t2=﹣2＜0（舍去），所以x﹣2=1，x=3．点评：在解无理方程时最常用的方法是换元法，一般方法是通过观察确定用来换元的式子，如本题中（1）设=t，需要注意的是用来换元的式子为设，则x=t2；（2）设=t，需要注意的是用来换元的式子为设=t，则x﹣2=t2．24．（12分）（2009•中山）正方形ABCD边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，当M点在BC上运动时，保持AM和MN垂直．（1）证明：Rt△ABM∽Rt△MCN；（2）设BM=x，梯形ABCN的面积为y，求y与x之间的函数关系式；当M点运动到什么位置时，四边形ABCN的面积最大，并求出最大面积；（3）当M点运动到什么位置时Rt△ABM∽Rt△AMN，求此时x的值．考点：二次函数综合题．专题：压轴题．分析：（1）要证三角形ABM和MCN相似，就需找出两组对应相等的角，已知了这两个三角形中一组对应角为直角，而∠BAM和∠NMC都是∠