理论力学第九章刚体的平面运动

理论力学第九章刚体的平面运动第一页，共四十八页，编辑于2023年，星期日一．平面运动的定义例如:曲柄连杆机构9-1刚体平面运动的概述和运动分解2第二页，共四十八页，编辑于2023年，星期日在运动过程中，刚体上任一点到某一固定平面始终保持相等的距离．具有这种特点的运动称为刚体的平面运动．例如：车轮运动情况行星齿轮运动情况特点：3第三页，共四十八页，编辑于2023年，星期日[例]曲柄连杆机构AB杆作平面运动的分解：选不同基点时，其动参考系的平移不同。其速度和加速度不同。另外：4第四页，共四十八页，编辑于2023年，星期日

2、平面运动随基点平动的运动规律与基点的选择有关，而绕基点转动的规律与基点选取无关，基点的选取是任意的1、在平面运动的分解中，总是以选定的基点为原点，建立一个平移的动参考系（实际机构中可以不存在这个平移物体），所谓绕基点的转动，是指相对于这个平移参考系的转动。[注]：(即在同一瞬间，图形绕任一基点转动的,都是相同的，因此对于转动方程无需标明绕哪点转动或选哪点为基点。)3、通常选取运动情况已知的点作为基点。5第五页，共四十八页，编辑于2023年，星期日平面图形内任一点的运动也可看成两个运动的合成，可用速度合成定理来求其速度，这种方法就称为基点法。1、基点法动点：M绝对运动：牵连运动：平移动系：相对运动：(平移坐标系)X’y’任意A,B两点平面图形上任一点的速度等于基点的速度与该点随图形绕基点转动速度的矢量和．待求绕点的圆周运动（A）（B）9-2求平面图形内各点速度的基点法6第六页，共四十八页，编辑于2023年，星期日[例9-1]椭圆规尺的A端以速度vA沿x轴的负向运动，如图所示，AB=l。求：B端的速度以及尺AB的角速度。解：1、AB作平面运动,基点:A√√?√?√2、例题分析7第七页，共四十八页，编辑于2023年，星期日[例9-2]图示平面机构中，AB=BD=DE=l=300mm。在图示位置时，BD∥AE，杆AB的角速度为ω=5rad/s。求：此瞬时杆DE的角速度和杆BD中点C的速度。解：1、BD作平面运动，基点：B√√?√?C√√?√8第八页，共四十八页，编辑于2023年，星期日[注]此瞬时，A、B两点的速度大小和方向都相同，连杆AB具有平移刚体的特征，因而称此时连杆作瞬时平动。[例9-3]曲柄连杆机构如图所示，OA=r,AB=。如曲柄OA以匀角速度ω转动。解：1AB作平面运动,基点：A?√√√?9第九页，共四十八页，编辑于2023年，星期日[例9-4]图示的行星轮系中，大齿轮Ⅰ固定，半径为r1；行星齿轮Ⅱ沿轮Ⅰ只滚而不滑动，半径为r2。系杆OA角速度为。求：轮Ⅱ的角速度ωⅡ及其上B，C两点的速度。解:1轮Ⅱ作平面运动,基点：A=010第十页，共四十八页，编辑于2023年，星期日ⅡωⅡ?√√=方向与vA一致?11第十一页，共四十八页，编辑于2023年，星期日3．解题步骤根据题意和刚体各种运动的定义，判断机构中各刚体的运动形式(平移、转动、平面运动)。2、分析平面运动物体上已知点的速度(大小、方向)。3、运用基点法,先选出基点,再应用公式：，作速度平行四边形，其中必在四边形的对角线。4、利用几何关系，求解平行四边形中的未知量。5、如需再研究另一作平面运动的物体，重复上述步骤.12第十二页，共四十八页，编辑于2023年，星期日4、速度投影定理沿AB连线上投影：同一平面图形上任意两点的速度在这两点连线上的投影相等。这种求解速度的方法称为速度投影法．无须规定投影轴的正向。[思考题：P2209-1]13第十三页，共四十八页，编辑于2023年，星期日[例9-5]图示的平面机构中，曲柄OA长100mm，以角速度ω=2rad/s转动。连杆AB带动摇杆CD，并拖动轮E沿水平面纯滚动。已知：CD=3CB，图示位置时A，B，E三点恰在一水平线上，且CD⊥ED。求：此瞬时点E的速度。

基点：A解：1、AB作平面运动2、CD作定轴转动3、DE作平面运动14第十四页，共四十八页，编辑于2023年，星期日1、定理基点：A一般情况下,在每一瞬时,平面图形上都唯一地存在一个速度为零的点,称为瞬时速度中心，简称速度瞬心。当M在VA垂线上时：C必可找到一点C：9-3求平面图形内各点速度的瞬心法15第十五页，共四十八页，编辑于2023年，星期日基点：C2、平面图形内各点的速度分布平面图形内任意点的速度等于该点随图形绕瞬时速度中心转动的速度。ABD1、图形内各点速度的大小与该点到速度瞬心的距离成正比。2、平面图形的运动可看成绕速度瞬心的瞬时转动。[注]3、在不同瞬时，速度瞬心在图形内的位置是不同的。（瞬心）16第十六页，共四十八页，编辑于2023年，星期日且Ｐ在顺转向绕A点转90º的方向一侧．３．几种确定速度瞬心位置的方法

①已知图形上一点的速度和图形角速度，可以确定速度瞬心的位置（P点）．

②已知一平面图形在固定面上作无滑动的滚动：则图形与固定面的接触点P为速度的瞬心．17第十七页，共四十八页，编辑于2023年，星期日(b)(a)

④已知某瞬时图形上A,B两点速度大小,且

③已知某瞬间平面图形上A,B两点速度的方向，且

过A,B两点分别作速度的垂线,交点P即为该瞬间的速度瞬心.P在A，B两点之间P在AB的延长线上（速度的方向垂直与两点的连线）18第十八页，共四十八页，编辑于2023年，星期日

对④(a)的情况，若vA＝vB，则是瞬时平动．⑤已知某瞬时图形上A,B两点的速度方向相同，且不与AB连线垂直．图形瞬心在无穷远处,角速度=0，图形上各点速度相等，这种情况称为瞬时平动。此时各点的加速度不相等。[注]：19第十九页，共四十八页，编辑于2023年，星期日1、速度瞬心在平面图形上的位置不是固定的，而是随时间不断变化的。４.速度瞬心法——利用速度瞬心求解平面图形上点的速度的方法。若P点为速度瞬心，则任意一点A的速度：方向AP，指向与一致。５.注意的问题2、速度瞬心处的速度为零,加速度不一定为零。（在任一瞬时是唯一存在的）20第二十页，共四十八页，编辑于2023年，星期日

[例]曲柄连杆机构在图示位置时，连杆BC作瞬时平动．匀角速度(至少方向不等）3、刚体作瞬时平动时，虽然各点的速度相同，但各点的加速度不一定相同。不同于刚体作平动4、速度瞬心也是一个基点，是一个特殊的速度为零的基点。此点可能在实际图形内，也可能在实际图形外。21第二十一页，共四十八页，编辑于2023年，星期日滑块B作平动。

[例1]已知：曲柄连杆机构OA=AB=l，取柄OA以匀转动。求：当=45º时,滑块B的速度及AB杆的角速度。6.例题分析解：运动分析：OA作定轴转动,AB作平面运动,基点法:研究AB，以A为基点，来分析B点√?vBvAvBA√√?（）22第二十二页，共四十八页，编辑于2023年，星期日根据速度投影定理[注]不能求出速度投影法研究AB:vB

速度瞬心法P[思考]AB杆上任意点C点的速度？CvC必须明确指出是哪一个图形的瞬心和角速度。已知：OA=AB=l，匀，求：当=45º时,及23第二十三页，共四十八页，编辑于2023年，星期日[例2]矿石轧碎机的活动夹板AB长600mm，由曲柄OE借连杆组带动，使它绕A轴摆动，如图所示。曲柄OE长100mm，角速度为10rad/s。连杆组由杆BG，GD和GE组成，杆BG和GD各长500mm。求：当机构在图示位置时，夹板AB的角速度。1、杆GE作平面运动,瞬心为C1vEvGC12、vBC2杆BG瞬心为C2：[思考题:P2219-2，9-3]解:150150[注]在每一瞬时，机构中作平面运动的各刚体有各自的速度瞬心和角速度。24第二十四页，共四十八页，编辑于2023年，星期日则B点的运动分解为：（相对运动）由牵连平动时加速度合成定理：一.基点法已知：图形S内一点A的加速度和图形的,（某一瞬时）。求：该瞬时图形上任一点B的加速度。取A为基点，，将平移坐标系固结于A点。取B动点，（牵连运动）和绕基点A的转动。SAaABaA随同基点A的平移9-4用基点法求平面图形内各点的加速度25第二十五页，共四十八页，编辑于2023年，星期日（）[例1]半径为R的车轮沿直线作纯滚动,已知轮心O点的速度及加速度,求车轮与轨道接触点P的加速度．轮O作平面运动，P为速度瞬心，√分析：以O点为基点??√√√故应先求出解：（）（在任何瞬时都成立，且O点作直线运动）二.例题分析26第二十六页，共四十八页，编辑于2023年，星期日速度瞬心P的加速度并不等于零，即它不是加速度瞬心．当车轮沿固定的直线轨道作纯滚动时，其速度瞬心P的加速度指向轮心．ao√??√√（与等值反向）已知：R、、求：27第二十七页，共四十八页，编辑于2023年，星期日[例2]如图所示，在外啮合行星齿轮机构中，系杆以匀角速度ω绕O1转动。大齿轮Ⅱ固定，行星轮Ⅰ半径为r，在轮Ⅱ上只滚不滑。设A和B是轮缘Ⅰ上的两点，点A在O1O的延长线上，而点B在垂直于O1O的半径上。求：点A和B的加速度。1、轮Ⅰ作平面运动解:，瞬心为CCvo2、选基点为Ｏ√√√??3、√??√√28第二十八页，共四十八页，编辑于2023年，星期日[例3]如图所示，在椭圆规机构中，曲柄OD以匀角速度ω绕O轴转动。OD＝AD＝BD＝l。求：当时，尺AB的角加速度和点A的加速度。解:1AB作平面运动,瞬心为CvAvBCvD?√√√???x’y’√29第二十九页，共四十八页，编辑于2023年，星期日[习题]柄滚轮机构,滚子半径R=15cm,n=60rpm求：当=60º时(OAAB),滚轮的Ｂ，．30第三十页，共四十八页，编辑于2023年，星期日已知:柄滚轮机构,滚子半径R=15cm,n=60rpm求：当=60º时(OAAB),滚轮的Ｂ，．解：OA定轴转动,AB杆和轮B作平面运动1、研究AB：vBP1P231第三十一页，共四十八页，编辑于2023年，星期日）(2、研究轮B，取A为基点，√?√√√?将上式向BA方向上投影：P2已知：滚子半径R,n求：当=60º时(OAAB),滚轮的Ｂ，．??[P221思考题9-4，9-5]32第三十二页，共四十八页，编辑于2023年，星期日4.基点

可以选择平面图形内任意一点,通常是运动状态已知的点．随基点的平动（平动规律与基点的选择有关）绕基点的转动（转动规律与基点的选择无关）本章内容小结刚体运动时，其上任一点到某固定平面的距离保持不变．

2.刚体平面运动的简化可以用刚体上一个与固定平面平行的平面图形S在自身平面内的运动代替刚体的整体运动．3.刚体平面运动的分解分解为1.刚体平面运动的定义9-5运动学综合应用举例33第三十三页，共四十八页，编辑于2023年，星期日1）任一瞬时,平面图形或扩大部分都唯一存在一个速度为零的点。2）瞬心位置随时间改变．每一瞬时平面图形的运动可视为绕该瞬时瞬心的转动．6.刚体定轴转动和平面平动是刚体平面运动的特例．7.求平面图形上任一点速度的方法1）基点法：2）速度投影法：3）速度瞬心法：其中，基点法是最基本的公式，瞬心法是基点法的特例．5.瞬心（速度瞬心）34第三十四页，共四十八页，编辑于2023年，星期日合成运动方法常用来确定两个相接触的物体在接触点处有相对滑动时的运动关系的传递．

8.求平面图形上一点加速度的方法9.平面运动方法与合成运动方法的应用条件基点法：是最常用的方法。A为基点,如同点的合成运动，求平面图形上一点的加速度时,一般需要选择合适的投影轴。一个矢量方程，只能求解两个未知量。平面运动方法用于研究一个平面运动刚体上任意两点的速度、加速度之间的关系及任意一点的速度、加速度与图形角速度、角加速度之间的关系．35第三十五页，共四十八页，编辑于2023年，星期日运动学综合应用问题（重点）一般可分为四类：1、只可能用点的合成运动方法求解的题目；2、只可能用刚体的平面运动方法求解的题目；3、既可以用点的合成运动方法求解又可以用刚体平面运动方法求解的题目；4、既要用到点的合成运动方法求解又要用到刚体平面运动方法求解的题目。(重点、难点)

36第三十六页，共四十八页，编辑于2023年，星期日[例1]图示平面机构，滑块B可沿杆OA滑动。杆BE与BD分别与滑块B铰接，BD杆可沿水平轨道运动。滑块E以匀速v沿铅直导轨向上运动，杆BE长为。图示瞬时杆OA铅直，且与杆BE夹角为。求：该瞬时杆OA的角速度与角加速度。1、杆BE作平面运动,取E为基点:解:瞬心在O点vB?√√√√0?沿BE方向投影:??37第三十七页，共四十八页，编辑于2023年，星期日牵连运动：定轴转动(轴O)√√√沿DB方向投影:vavrve??（点的合成运动）动点：滑块B动系：OA杆绝对运动：直线运动(BD)相对运动：直线运动(OA)38第三十八页，共四十八页，编辑于2023年，星期日沿BD方向投影:√??0√√√√??39第三十九页，共四十八页，编辑于2023年，星期日求：此瞬时杆AB的角速度及角加速度。[例2]在图所示平面机构中，杆AC在导轨中以匀速v平移，通过铰链A带动杆AB沿导套O运动，导套O与杆AC距离为L。图示瞬时杆AB与杆AC夹角为。1、动点：铰链A动系：套筒O定轴转动(轴O)解:√√√??Lvevavr绝对运动：直线运动(AC)相对运动：直线运动(AB)牵连运动：40第四十页，共四十八页，编辑于2023年，星期日L√??√√√√0??41第四十一页，共四十八页，编辑于2023年，星期日1取坐标系xoy2A点的运动方程3速度、加速度l另解:XY42第四十二页，共四十八页，编辑于2023年，星期日[例3]图所示平面机构