版数学北师大版必修五课件3.1不等关系

第三章不等式§1不等关系1|不等关系现实世界和日常生活中,既有相等关系,又存在着大量的不等关系,不等关系

常用不等式表示.2|比较实数a,b大小的依据依据a-b①

>

0⇔a>b;a-b②

=

0⇔a=b;a-b③

<

0⇔a<b结论确定任意两个实数a,b的大小关系,只需确定它们的④

差

与⑤

0

的大小关系即可第三章不等式3|不等式的性质性质名称性质内容注意1对称性a>b⇔⑥

b<a

可逆2传递性a>b,b>c⇒⑦

a>c

不可逆3可加性a>b⇔a+c⑧

>

b+c可逆4可乘性

⇒ac⑨

>

bcc的符号

⇒ac⑩

<

bc5同向可加性

⇒a+c

>

b+d同向第三章不等式续表性质名称性质内容注意6同向同正可乘性

⇒ac

>

bd同向7可乘方性a>b>0⇒an>bn(n∈N+)同正8可开方性a>b>0⇒

>

(n∈N+)第三章不等式4|常见的文字语言与符号语言之间的转换文字语言大于、高于、超过小于、低于、少于大于或等于、至少、不低于小于或等于、至多、不超过符号语言><≥≤第三章不等式1.a>b与a≠b都是不等式.

(√)2.a,b,c为实数,若ac2>bc2,则a<b.

(

✕)3.a,b为实数,若a<b<0,则a2>ab>b2.

(√)4.a,b,c为实数,若c>a>b>0,则

>

.

(√)5.若

>1,则a>b.

(

✕)提示:若

>1,则当b>0时,a>b;当b<0时,a<b.6.若a3>b3,则a>b.

(√)判断正误，正确的画“√”，错误的画“✕”.第三章不等式不等式的性质及推论有以下几点在应用时容易被忽略,从而导致出错,应注意:1.在使用不等式的性质时,一定要弄清它们成立的前提条件.(1)在应用传递性时,如果两个不等式中有一个带等号而另一个不带等号,那么等

号是传递不过去的,如a≤b,b<c⇒a<c;(2)在乘法法则中,要特别注意乘数c的符号,例如,当c≠0时,有a>b⇒ac2>bc2;若无

“c≠0”这个条件,则a>b⇒ac2>bc2就是错误结论(当c=0时,ac2=bc2);(3)“a>b>0⇒an>bn>0(n∈N+)”成立的条件是“n∈N+,a>b>0”.假如去掉“n∈N

+”这个条件,取n=-1,a=3,b=2,那么就出现“3-1>2-1,即

>

”的错误结论;假如去掉“b>0”这个条件,取a=3,b=-5,n=2,那么就会出现“32>(-5)2,即9>25”的错误结论.2.注意不等式性质的可逆性.只有a>b⇔b<a,a>b⇔a+c>b+c,a>b⇔ac>bc(c>0)是可1|如何正确运用不等式的性质及推论逆的,其余几条性质是不可逆的.第三章不等式判断下列命题是否成立,若不成立,适当增加条件使之成立.(1)若a>b,则ac≤bc;(2)若ac2>bc2,则a2>b2;(3)若a>b,则lg(a+1)>lg(b+1);(4)若a>b,c>d,则

>

.思路点拨根据不等式的性质进行推导,寻求应增加的条件.第三章不等式解析

(1)不成立.命题“若a>b且c≤0,则ac≤bc”成立,即增加条件“c≤0”.(2)不成立.由ac2>bc2可得a>b,但只有b≥0时,才有a2>b2,即增加条件“b≥0”.(3)不成立.由a>b可得a+1>b+1,但作为真数,应有b+1>0,故应增加条件“b>-1”.(4)不成立.

>

成立的条件有多种(如a>b>0,c>d>0),因此,可增加条件“b>0,d>0”.第三章不等式利用几个代数式的取值范围来确定某个代数式的取值范围时,要注意“同向

不等式的两边可以相加”,但这种转化是不可逆的.在一道题的解题过程中多次

使用这种转化时,就有可能“扩大”取值范围.解决此类题可用待定系数法先建

立待求范围的整体与已知范围的整体的等量关系,再通过一次不等关系的运算求

得待求式的取值范围,这是避免犯错误的一条重要途径,切不可随意拆分.2|利用不等式的性质求代数式的范围问题中,如何避免范围扩大第三章不等式

已知α,β满足

试求α+3β的取值范围.思路点拨用α+β和α+2β表示α+3β

由已知求α+3β的取值范围.第三章不等式解析

设α+3β=λ(α+β)+v(α+2β)=(λ+v)α+(λ+2v)β(λ,v∈R).比较等号两边α,β的系

数,得

解得

所以α+3β=-(α+β)+2(α+2β).又-1≤-(α+β)≤1,2≤2(α+2β)≤6,所以1≤α+3β≤7.故α+3β的取值范围是[1,7].第三章不等式1.利用不等式表示问题中的不等关系,关键是用代数式表示相应的量,然后用不等式表示其关系;而对于涉及条件较多的问题,往往需列不等式组解决.2.建立实际问题中的不等关系的关键是找出制约目标的自变量,把题中涉及的量

用代数式表示,从而根据条件列出不等式(组).3|不等关系的实际应用第三章不等式糖水是日常生活中再简单不过的东西.下列关于糖水浓度的问题,试提炼出

不等式.(1)向一杯糖水里加点糖,“糖水加糖变甜了”;(2)把原来的糖水(淡)与加糖后的糖水(浓)混合到一起,得到的糖水一定比淡的

浓、比浓的淡.信息提取①糖水加糖变甜了;②混合两种糖水得到的糖水一定比淡的浓、比浓的淡.数学建模

本题由糖水这一生活问题,挖掘出不等式模型.求解的关键是寻找问

题中的不等关系,再将其转化为不等式.第三章不等式解析

(1)设原来的糖水b克,含糖a克,则此糖水浓度为

.加入m克糖后的浓度为

,则提炼出不等式:若b>a>0,m>0,则

<

.(2)设淡糖水b1克,含糖a1克,则浓度为

;浓糖水b2克,含糖a2克,则浓度为

.则混合后的浓度为

,则提炼出不等式:若b1>a1>0,b2>a2>0,且

<

,则

<