选修21讲义精练第2章2.32抛物线的简单几何性质

2．3.2抛物线的简洁几何性质第一课时抛物线的简洁几何性质[读教材·填要点]抛物线的几何性质类型y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)图象性质焦点Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))准线x＝－eq\f(p,2)x＝eq\f(p,2)y＝－eq\f(p,2)y＝eq\f(p,2)范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Rx∈R，y≥0x∈R，y≤0对称轴x轴y轴顶点O(0,0)离心率e＝1开口方向向右向左向上向下[小问题·大思维]1．抛物线y2＝2px(p>0)有几条对称轴？是否是中心对称图形？提示：有一条对称轴，即x轴，不是中心对称图形．2．抛物线上一点与焦点F的连线的线段叫作焦半径，过焦点的直线与抛物线相交所得弦叫作焦点弦，假设P(x0，y0)是抛物线上任意一点，焦点弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，依据上述定义，你能完成以下表格吗？标准方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)焦半径|PF||PF|＝____|PF|＝____|PF|＝____|PF|＝____焦点弦|AB||AB|＝____|AB|＝____|AB|＝____|AB|＝____提示：标准方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)焦半径|PF||PF|＝x0＋eq\f(p,2)|PF|＝eq\f(p,2)－x0|PF|＝y0＋eq\f(p,2)|PF|＝eq\f(p,2)－y0焦点弦|AB||AB|＝x1＋x2＋p|AB|＝p－x1－x2|AB|＝y1＋y2＋p|AB|＝p－y1－y2抛物线方程及其几何性质顶点在原点，以x轴为对称轴，且过焦点垂直于x轴的弦AB的长为8，求出抛物线的方程，并指出它的焦点坐标和准线方程．[自主解答]当焦点在x轴的正半轴上时，设方程为y2＝2px(p>0)．当x＝eq\f(p,2)时，y＝±p，由|AB|＝2p＝8，得p＝4.故抛物线方程为y2＝8x，焦点坐标为(2,0)，准线方程为x＝－2.当焦点在x轴的负半轴上时，设方程y2＝－2px(p>0)．由对称性知抛物线方程为y2＝－8x，焦点坐标为(－2,0)，准线方程为x＝2.用待定系数法求抛物线的标准方程，其主要步骤为：1．抛物线的焦点F在x轴上，直线l过F且垂直于x轴，l与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，假设△OAB的面积等于4，求此抛物线的标准方程．解：由题意，抛物线方程为y2＝2px(p≠0)，焦点Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，直线l：x＝eq\f(p,2)，∴A，B两点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，p))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，－p)).∴|AB|＝2|p|.∵△OAB的面积为4，∴eq\f(1,2)·eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)))·2|p|＝4.∴p＝±2eq\r(2).∴抛物线方程为y2＝±4eq\r(2)x.抛物线几何性质的应用A，B是抛物线y2＝2px(p＞0)上两点，O为坐标原点，假设|OA|＝|OB|，且△AOB的垂心恰是此抛物线的焦点，求直线AB的方程．[自主解答]∵|OA|＝|OB|，∴设A，B坐标分别为A(x0，y0)，B(x0，－y0)．∵△AOB的垂心恰是此抛物线的焦点F，∴kFA·kOB＝－1，即eq\f(y0,x0－\f(p,2))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－y0,x0)))＝－1，∴yeq\o\al(2,0)＝x0eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0－\f(p,2)))＝2px0(x0＞0，p＞0)．∴x0＝eq\f(5,2)p.∴直线AB的方程为x＝eq\f(5,2)p.假设将“△AOB的垂心恰是此抛物线的焦点〞改为“OA⊥OB〞，求|AB|的值．解：由题意知，△AOB为等腰直角三角形，且A，B两点关于x轴对称．如图，设A(x0，y0)，那么kOA＝eq\f(y0,x0)＝1且yeq\o\al(2,0)＝2px0，∴x0＝y0＝2p，∴|AB|＝2y0＝4p.抛物线的几何性质在解与抛物线有关的问题时具有广泛的应用，但是在解题的过程中又简洁无视这些隐含条件．此题的关键是依据抛物线的对称性可知线段AB垂直于x轴．故求直线AB的方程时求出A的横坐标即可．2．A，B是抛物线y2＝2px(p>0)上两点，O为坐标原点，假设OA⊥OB，且OA的方程为y＝2x，|AB|＝5eq\r(3)，求抛物线的方程．解：∵OA⊥OB，∴△AOB为直角三角形．∵OA所在直线为y＝2x，∴OB所在直线方程为y＝－eq\f(1,2)x.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝2x，,y2＝2px))得A点坐标eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，p)).由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝－\f(1,2)x，,y2＝2px))得B点坐标为(8p，－4p)．∵|AB|＝5eq\r(3)，∴eq\r(p＋4p2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)－8p))2)＝5eq\r(3).∵p>0，解得p＝eq\f(2\r(39),13)，∴所求抛物线方程为y2＝eq\f(4\r(39),13)x.抛物线中过焦点的弦长问题过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，假设|AB|＝7，求AB的中点M到抛物线准线的距离．[自主解答]抛物线的焦点为F(1,0)，准线方程为x|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋eq\f(p,2)＋x2＋eq\f(p,2)＝x1＋x2＋p，即x1＋x2＋2＝7，得x1＋x2＝5，于是弦AB的中点M的横坐标为eq\f(5,2)，因此点M到抛物线准线的距离为eq\f(5,2)＋1＝eq\f(7,2).抛物线y2＝±2px(p>0)的过焦点的弦长|AB|＝x1＋x2＋p，其中x1，x2分别是点A，B横坐标的肯定值；抛物线x2＝±2py(p>0)的过焦点的弦长|AB|＝y1＋y2＋p，其中y1，y2分别是点A，B纵坐标的肯定值．3．直线l：y＝4x－6与抛物线y2＝6x交于A，B两点，求|AB|.解：设点A，B的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝4x－6，,y2＝6x，))消去y得8x2－27x＋18＝0，①那么x1，x2是方程①的两根，∴x1＋x2＝eq\f(27,8).∵y＝4x－6＝4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))过抛物线的焦点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，0))，∴|AB|＝x1＋x2＋3＝eq\f(27,8)＋3＝eq\f(51,8).解题高手妙解题什么是才智，才智就是简洁、高效、不走弯路抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x轴，且与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，|AB|＝2eq\r(3)，求抛物线方程．[巧思]抛物线与圆相交，依据可设抛物线方程为y2＝ax(a≠0)，由圆和抛物线的对称性，可推断A与B关于x轴对称，结合|AB|＝2eq\r(3)可得A，B坐标，从而求出方程．[妙解]由抛物线的焦点可能在x轴正半轴上，也可能在负半轴上．故可设抛物线方程为y2＝ax(a≠0)．设抛物线与圆x2＋y2＝4的交点A(x1，y1)，B(x2，y2)．∵抛物线y2＝ax(a≠0)与圆x2＋y2＝4都关于x轴对称，∴点A与B关于x轴对称．∴|y1|＝|y2|且|y1|＋|y2|＝2eq\r(3).∴|y1|＝|y2|＝eq\r(3).代入圆x2＋y2＝4得x2＋3＝4，解得x＝±1，∴A(±1，eq\r(3))或A(±1，－eq\r(3))．代入抛物线方程，得(±eq\r(3))2＝±a，∴a＝±3.∴所求抛物线方程是y2＝3x或y2＝－3x.1．顶点在原点，焦点为Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，0))的抛物线的标准方程是()A．y2＝eq\f(3,2)x B．y2＝3xC．y2＝6x D．y2＝－6x解析：∵抛物线的焦点为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，0))，∴p＝3，且抛物线开口向右，∴抛物线的标准方程为y2＝6x.答案：C2．抛物线y2＝－8x上的点P到焦点的距离的最小值是()A．2 B．4C．6 D．8解析：设抛物线上的点P的坐标为(x0，y0)，那么P点到焦点的距离d＝|x0|＋eq\f(p,2)，故dmin＝eq\f(p,2)＝2.答案：A3．边长为1的等边三角形OAB，O为原点，AB⊥x轴，以O为顶点且过A，B的抛物线方程为()A．y2＝eq\f(\r(3),6)x B．y2＝－eq\f(\r(3),6)xC．y2＝±eq\f(\r(3),6)x D．y2＝±eq\f(\r(3),3)x解析：由题意可知，抛物线的对称轴为x轴，当抛物线开口向右时，设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，且A为x轴上方的点，那么易求Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，\f(1,2)))，∴eq\f(1,4)＝eq\r(3)p.∴p＝eq\f(\r(3),12).∴抛物线方程为y2＝eq\f(\r(3),6)x.同理，当抛物线开口向左时，抛物线方程为y2＝－eq\f(\r(3),6)x.答案：C4．AB是抛物线2x2＝y的焦点弦，假设|AB|＝4，那么AB的中点的纵坐标为________．解析：设AB的中点为P(x0，y0)，分别过A，P，B三点作准线的垂线，垂足分别为A′，Q，B′.由题意得|AA′|＋|BB′|＝|AB|＝4，|PQ|＝eq\f(|AA′|＋|BB′|,2)＝2.又|PQ|＝y0＋eq\f(1,8)，所以y0＋eq\f(1,8)＝2，解得y0＝eq\f(15,8).答案：eq\f(15,8)5．抛物线y2＝x上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为________．解析：设所求点(x0，y0)，那么xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0＋\f(1,4)))2，又yeq\o\al(2,0)＝x0，∴x0＝eq\f(1,8).∴y0＝±eq\f(\r(2),4).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,8)，±\f(\r(2),4)))6．过抛物线y2＝4x的焦点F的弦长为36，求弦所在的直线的方程．解：∵抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，∴过焦点F，垂直于x轴的弦长为4＜36.∴弦所在直线斜率存在，由题意可设弦所在的直线的斜率为k，且与抛物线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点．∴设直线方程为y＝k(x－1)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx－1，,y2＝4x，))消去y，整理得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，∴x1＋x2＝eq\f(2k2＋4,k2).∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋2＝eq\f(2k2＋4,k2)＋2.又|AB|＝36，∴eq\f(2k2＋4,k2)＋2＝36.∴k＝±eq\f(\r(2),4).故所求直线的方程为y＝eq\f(\r(2),4)x－1或y＝－eq\f(\r(2),4)x－1.一、选择题1．设抛物线的焦点到顶点的距离为3，那么抛物线上的点到准线的距离的取值范围是()A．(6，＋∞) B．[6，＋∞)C．(3，＋∞) D．[3，＋∞)解析：∵抛物线的焦点到顶点的距离为3，∴eq\f(p,2)＝3，即p＝6.又抛物线上的点到准线的距离的最小值为eq\f(p,2)，∴抛物线上的点到准线的距离的取值范围为[3，＋∞)．答案：D2．过抛物线的焦点且垂直于其对称轴的弦是AB，抛物线的准线交x轴于点M，那么∠AMB是()A．锐角 B．直角C．钝角 D．锐角或钝角解析：由题意可得|AB|＝2p.又焦点到准线距离|FM|＝p，F为AB中点，∴|FM|＝eq\f(1,2)|AB|.∴△AMB为直角三角形且∠AMB＝90°.答案：B3．抛物线y2＝4x的焦点为F，准线l交x轴于R，过抛物线上点P(4，－4)作PQ⊥l于Q，那么梯形PQRF的面积是()A．18 B．16C．14 D．12解析：由题意知PQRF为始终角梯形，其中PQ∥RF，且|PQ|＝4＋1＝5，|RF|＝2，∴SPQRF＝eq\f(5＋2,2)×4＝14.答案：C4．设M(x0，y0)为抛物线C：x2＝8y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，那么y0的取值范围是()A．(0,2) B．[0,2]C．(2，＋∞) D．[2，＋∞)解析：圆心到抛物线准线的距离为p，即4，依据只要|FM|>4即可．依据抛物线定义，|FM|＝y0＋2，由y0＋2>4，解得y0>2，故y0的取值范围是(2，＋∞)．答案：C二、填空题5．以原点为顶点，x轴为对称轴且焦点在2x－4y＋3＝0上的抛物线方程是________．解析：由题意知，抛物线的焦点为Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，0))，∴抛物线方程是y2＝－6x.答案：y2＝－6x6．假设抛物线y2＝mx与椭圆eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,5)＝1有一个共同的焦点，那么m＝________.解析：椭圆的焦点为(±2,0)．当抛物线焦点为(2,0)时，m＝8，当抛物线焦点为(－2,0)时，m＝－8.答案：±87．对于抛物线y2＝4x上任意一点Q，点P(a,0)都满意|PQ|≥|a|，那么a的取值范围是________．解析：设点Q的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y\o\al(2,0),4)，y0)).由|PQ|≥|a|，得|PQ|2≥a2，即yeq\o\al(2,0)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y\o\al(2,0),4)－a))2≥a2，整理，得yeq\o\al(2,0)(yeq\o\al(2,0)＋16－8a)≥0.∵yeq\o\al(2,0)≥0，∴yeq\o\al(2,0)＋16－8a≥0.即a≤2＋eq\f(y\o\al(2,0),8)恒成立．而2＋eq\f(y\o\al(2,0),8)的最小值为2，∴a≤2.答案：(－∞，2]8．顶点与原点O重合，准线为直线x＝－eq\f(1,4)的抛物线上有两点A(x1，y1)和B(x2，y2)，假设y1·y2＝－1，那么∠AOB的大小是________．解析：由得抛物线方程为y2＝x，因此eq\o(OA,\s\up7(→))·eq\o(OB,\s\up7(→))＝x1x2＋y1y2＝yeq\o\al(2,1)yeq\o\al(2,2)＋y1y2＝(－1)2＋(－1)＝0.∴eq\o(OA,\s\up7(→))⊥eq\o(OB,\s\up7(→)).∴∠AOB＝90°.答案：90°三、解答题9．假设抛物线的顶点是双曲线16x2－9y2＝144的中心，准线过双曲线的左顶点，且垂直于坐标轴，求抛物线的标准方程．解：双曲线方程16x2－9y2＝144，化为标准形式为eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1，中心为原点，左顶点为(－3,0)，故抛物线顶点在原点，准线为xy2＝2px(p>0)，可得eq\f(p,2)＝3，故p＝6.因此，所求抛物线的标准方程为y2＝12x.10．证明：以抛物线的焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切．证明：如图，设抛物线方程y2＝2px(p＞0)，准线为l，AB为抛物线的焦点弦，点P为AB的中点，∴P为以AB为直径的圆的圆心，AM⊥l，BN⊥l，PQ⊥l，垂足分别为M，N，Q.那么|AB|＝|AF|＋|BF|＝|AM|＋|BN|＝2|PQ|，即|PQ|＝eq\f(1,2)|AB|，所以以AB为直径的圆必与准线相切．即得证．其次课时直线与抛物线的位置关系[读教材·填要点]直线与抛物线的位置关系设直线l：y＝kx＋m，抛物线：y2＝2px(p＞0)，将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x的方程：ax2＋bx＋c＝0，(1)假设a≠0，当Δ＞0时，直线与抛物线相交，有两个交点；当Δ＝0时，直线与抛物线相切，有一个交点；当Δ＜0时，直线与抛物线相离，无公共点．(2)假设a＝0，直线与抛物线有一个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合．[小问题·大思维]假设直线与抛物线有且只有一个公共点，那么直线与抛物线有什么样的位置关系？提示：直线与抛物线相切时，只有一个公共点，反过来，当只有一个公共点时，直线与抛物线相切或直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合．直线与抛物线的位置关系假设直线l：y＝(a＋1)x－1与曲线C：y2＝ax恰好有一个公共点，试求实数a的取值集合．[自主解答]由于直线l与曲线C恰好有一个公共点，所以方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝a＋1x－1，,y2＝ax))有唯一一组实数解．消去y，得[(a＋1)x－1]2＝ax，整理得(a＋1)2x2－(3a＋2)x＋1＝0.①(1)当a＋1＝0，即a＝－1时，方程①是关于x的一元一次方程，解得x＝－1，这时，原方程组有唯一解eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝－1.))(2)当a＋1≠0，即a≠－1时，方程①是关于x的一元二次方程．令Δ＝(3a＋2)2－4(a＋1)2＝a(5a＋4)＝0，解得a＝0或a＝－eq\f(4,5).当a＝0时，原方程组有唯一解eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝0，))当a＝－eq\f(4,5)时，原方程组有唯一解eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－5.,y＝－2.))综上，实数a的取值集合是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(4,5)，0)).假设将“曲线C：y2＝ax恰有一个公共点〞改为“抛物线C：y2＝ax(a≠0)相交〞，如何求解？解：列方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝a＋1x－1，,y2＝axa≠0，))消去x并化简，得(a＋1)y2－ay－a＝0.(*)①当a＋1＝0即a＝－1时：方程(*)化为y＋1＝0，∴y＝－1.∴方程组的解为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝－1，))故直线与抛物线相交．②当a＋1≠0即a≠－1时，由Δ＝(－a)2＋4a(a＋1)≥0，得5a2＋4a≥0，结合a≠0，解得a≤－eq\f(4,5)或a>0.综上所述，实数a的取值范围是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(4,5)))∪(0，＋∞)．直线与抛物线的位置关系有三种，即相交、相切、相离，这三种位置关系可通过代数法借助判别式推断．当直线与抛物线的对称轴平行或重合时直线与抛物线也是相交，此时只有一个交点．1.如图，直线l：y＝x＋b与抛物线C：x2＝4y相切于点A.(1)求实数b的值；(2)求以点A为圆心，且与抛物线C的准线相切的圆的方程．解：(1)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x＋b，,x2＝4y))得x2－4x－4b＝0，(*)由于直线l与抛物线C相切，所以Δ＝(－4)2－4×(－4b)＝0.解得b＝－1.(2)由(1)可知b＝－1，故方程(*)为x2－4x＋4＝0.解得x＝2，代入x2＝4y，得y＝1，故点A(2,1)．由于圆A与抛物线C的准线相切，所以圆A的半径r就等于圆心A到抛物线的准线y＝－1的距离．即r＝|1－(－1)|＝2.所以圆A的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.弦长、中点弦问题顶点在原点，焦点在y轴上的抛物线被直线x－2y－1＝0截得的弦长为eq\r(15)，求此抛物线方程．[自主解答]设抛物线方程为：x2＝ay(a≠0)，由方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＝ay，,x－2y－1＝0.))消去y得：2x2－ax＋a＝0，∵直线与抛物线有两个交点，∴Δ＝(－a)2－4×2×a＞0，即a＜0或a＞8.设两交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么x1＋x2＝eq\f(a,2)，x1x2＝eq\f(a,2)，y1－y2＝eq\f(1,2)(x1－x2)，弦长为|AB|＝eq\r(x1－x22＋y1－y22)＝eq\r(\f(5,4)x1－x22)＝eq\r(\f(5,4)[x1＋x22－4x1x2])＝eq\f(1,4)eq\r(5a2－8a).∵|AB|＝eq\r(15)，∴eq\f(1,4)eq\r(5a2－8a)＝eq\r(15)，即a2－8a－48＝0，解得a＝－4或a＝12，∴所求抛物线方程为：x2＝－4y或x2＝12y.(1)讨论直线与抛物线的弦长问题，通常不求弦的端点坐标，而是直接利用弦长公式|AB|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|，另外要留意斜率不存在的状况，当弦过焦点时可利用焦点弦公式求解．(2)在直线与抛物线的问题中常常遇到中点弦的问题，处理的根本方法是点差法或利用根与系数的关系求出中点弦所在直线的斜率．2．过点Q(4,1)作抛物线y2＝8x的弦AB，假设弦恰被Q平分，求AB所在直线方程．解：设以Q为中点的弦AB端点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y\o\al(2,1)＝8x1，①,y\o\al(2,2)＝8x2，②,x1＋x2＝8，③,y1＋y2＝2，④))k＝eq\f(y1－y2,x1－x2)，⑤①－②得(y1＋y2)(y1－y2)＝8(x1－x2)．将④代入，得y1－y2＝4(x1－x2)，4＝eq\f(y1－y2,x1－x2).∴k＝4.阅历证，此时直线与抛物线相交．∴所求弦AB所在直线方程为y－1＝4(x－4)，即4x－y－15＝0.抛物线中的定点、定值问题A，B是抛物线y2＝2px(p>0)上的两点，并满意OA⊥OB，求证：(1)A，B两点的横坐标之积、纵坐标之积，分别都是一个定值；(2)直线AB经过一个定点．[自主解答](1)由于AB斜率不为0，设直线AB方程为my＝x＋b，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(my＝x＋b，,y2＝2px，))消去x，得y2－2pmy＋2pb＝0.由Δ＝(－2pm)2－8pb>0，又∵y1＋y2＝2pm，y1y2＝2pb，OA⊥OB，∴x1·x2＋y1·y2＝0.∴eq\f(y\o\al(2,1)·y\o\al(2,2),4p2)＋y1·y2＝0.∴b2＋2pb＝0.∴b＋2p＝0.∴b＝－2p.∴y1y2＝－4p2，x1·x2＝b2＝4p2.所以A，B两点的横坐标之积、纵坐标之积，分别是4p2和－4p2；(2)直线AB的方程为my＝x－2p，所以AB过定点(2p,0)．直线与抛物线相交问题中有许多的定值问题，假如该定值是个待求的未知量，那么可以利用特别位置(如斜率不存在、斜率等于0等)找出该定值，然后证明该定值即为所求．3．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F作直线l交抛物线于A，B，求证：yA·yB＝－p2.证明：①斜率不存在时y1＝p，y2＝－p，∴y1y2＝－p2.②斜率存在时，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝k\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(p,2)))，,y2＝2px，))消去x得，y＝k·eq\f(y2,2p)－eq\f(kp,2)，∴y1·y2＝eq\f(－\f(kp,2),\f(k,2p))＝－p2.解题高手多解题条条大路通罗马，换一个思路试一试抛物线y2＝x上，存在P，Q两点，并且P，Q关于直线y－1＝k(x－1)对称，求k的取值范围．[解]法一：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y\o\al(2,1)＝x1，,y\o\al(2,2)＝x2))⇒(y1－y2)(y1＋y2)＝x1－x2.又∵eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y1－y2＝－\f(1,k)x1－x2，,\f(y1＋y2,2)－1＝k\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)－1))，))∴y1＋y2＝－k.∴eq\f(－k,2)－1＝keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y\o\al(2,1)＋y\o\al(2,2),2)－1))＝eq\f(k,2)[(y1＋y2)2－2y1y2－2]．∴－k－2＝k[k2－2y1(－k－y1)－2]．∴2kyeq\o\al(2,1)＋2k2y1＋k3－k＋2＝0.∴Δ＝4k4－8k(k3－k＋2)>0.∴k(－k3＋2k－4)>0.∴k(k3－2k＋4)<0.∴k(k＋2)(k2－2k＋2)<0.∴k∈(－2,0)．法二：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，且PQ的中点M(x0，y0)，由题意可知直线y－1＝k(x－1)的斜率存在，且k≠0.不妨设直线PQ的方程为x＋ky＋m＝0，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋ky＋m＝0，,y2＝x，))得y2＋ky＋m＝0.∴y1＋y2＝－k.即y0＝－eq\f(k,2)，x0＝eq\f(1,2)－eq\f(1,k).又∵中点M(x0，y0)在抛物线的内部，∴yeq\o\al(2,0)<x0，∴eq\f(k3－2k＋4,k)<0，即eq\f(k＋2k2－2k＋2,k)<0，∴k∈(－2,0)．1．假设直线y＝2x＋eq\f(p,2)与抛物线x2＝2py(p>0)相交于A，B两点，那么|AB|等于()A．5p B．10pC．11p D．12p解析：将直线方程代入抛物线方程，可得x2－4px－p2A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么x1＋x2＝4p，∴y1＋y2＝9p.∵直线过抛物线的焦点，∴|AB|＝y1＋y2＋p＝10p.答案：B2．过点(1,0)作斜率为－2的直线，与抛物线y2＝8x交于A，B两点，那么弦AB的长为()A．2eq\r(13) B．2eq\r(15)C．2eq\r(17) D．2eq\r(19)解析：不妨设A，B两点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，由直线AB斜率为－2，且过点(1,0)得直线AB方程为y＝－2(x－1)，代入抛物线方程y2＝8x得4(x－1)2＝8x，整理得x2－4x＋1＝0，∴x1＋x2＝4，x1x2＝1，∴|AB|＝eq\r(1＋k2|x1－x2|)＝eq\r(5[x1＋x22－4x1x2])＝2eq\r(15).答案：B3．过点(0,1)作直线，使它与抛物线y2＝2x仅有一个公共点，这样的直线有()A．1条 B．2条C．3条 D．4条解析：斜率不存在时，直线x＝0符合题意，斜率存在时，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋1，,y2＝2x，))得k2x2＋(2k－2)x＋1＝0，k＝0时，符合题意，k≠0时，由Δ＝0得k＝eq\f(1,2).答案：C4．△OAB为等腰直角三角形，其中|OA|＝|OB|，假设A，B两点在抛物线y＝eq\f(1,4)x2上，那么△OAB的周长是________．解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x2<0<x1，由|OA|＝|OB|及抛物线的对称性知AB⊥y轴，y1＝x1，又y1＝eq\f(1,4)xeq\o\al(2,1)，所以x1＝y1＝4，故|OA|＝|OB|＝4eq\r(2)，|AB|＝8，△OAB的周长为8＋8eq\r(2).答案：8＋8eq\r(2)5．抛物线y2＝2px(p＞0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，假设线段AB的中点的纵坐标为2，那么该抛物线的准线方程为________．解析：抛物线的焦点Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，所以过焦点且斜率为1的直线方程为y＝x－eq\f(p,2)，即x＝y＋eq\f(p,2)，将其代入得：y2＝2px＝2peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(p,2)))＝2py＋p2，所以y2－2py－p2＝0，所以eq\f(y1＋y2,2)＝p＝2，所以抛物线的方程为y2＝4x，准线方程为x＝－1.答案：x＝－16．直线y＝kx－2交抛物线y2＝8x于A，B两点，假设线段AB中点的横坐标等于2，求弦AB的长．解：将y＝kx－2代入y2＝8x中变形整理得：k2x2－(4k＋8)x＋4＝0，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k≠0，,4k＋82－16k2>0))⇒k>－1且k≠0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意得：x1＋x2＝eq\f(4k＋8,k2)＝4⇒k2＝k＋2⇒k2－k－2＝0.解得k＝2或k＝－1(舍去)．由弦长公式得：|AB|＝eq\r(1＋k2)·eq\f(\r(64k＋64),k2)＝eq\r(5)×eq\f(\r(192),4)＝2eq\r(15).一、选择题1．过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点作一条直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，那么eq\f(y1y2,x1x2)的值为()A．4 B．－4C．p2 D．－p2解析：取特别位置，当AB⊥x轴时，Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，p))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，－p)).∴eq\f(y1y2,x1x2)＝－4.答案：B2．设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，假设过点Q的直线l与抛物线有公共点，那么直线l的斜率的取值范围是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2))) B．[－2,2]C．[－1,1] D．[－4,4]解析：准线x＝－2，Q(－2,0)，设l：y＝k(x＋2)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋2，,y2＝8x，))得k2x2＋4(k2－2)x＋4k2＝0.当k＝0时，x＝0，即交点为(0,0)，当k≠0时，Δ≥0，－1≤k＜0或0＜k≤1.综上，k的取值范围是[－1,1]．答案：C3．双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左顶点与抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(－2，－1)，那么双曲线的焦距为()A．2eq\r(3) B．2eq\r(5)C．4eq\r(3) D．4eq\r(5)解析：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\f(b,a)x，,x＝－\f(p,2)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝－\f(bp,2a)，,x＝－\f(p,2).))由题得知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(bp,2a)＝－1，,－\f(p,2)＝－2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)＝\f(1,2)，,p＝4.))又知eq\f(p,2)＋a＝4，故a＝2，b＝1，c＝eq\r(a2＋b2)＝eq\r(5)，∴焦距2c＝2eq\r(5).答案：B4．设定点Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(10,3)))与抛物线y2＝2x上的点P的距离为d1，P到抛物线准线l的距离为d2，那么d1＋d2取最小值时，P点的坐标为()A．(0,0) B．(1，eq\r(2))C．(2,2) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,8)，－\f(1,2)))解析：连接PF，那么d1＋d2＝|PM|＋|PF|≥|MF|，知d1＋d2的最小值为|MF|，当且仅当M，P，F三点共线时，等号成立，而直线MF的方程为y＝eq\f(4,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))，与y2＝2x联立可得x＝2，y＝2.答案：C二、填空题5．抛物线y2＝4x，过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，那么yeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,2)的最小值是________．解析：明显x1>0，x2yeq\o\al(2,1)＝4x1，yeq\o\al(2,2)＝4x2，所以yeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,2)＝4(x1＋x2)≥8eq\r(x1x2)，当且仅当x1＝x2＝4时取等号，所以yeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1)的最小值为32.答案：326．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F作斜率为45°的直线交抛物线于A，B两点，假设线段AB的长为8，那么p＝________.解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由条件可知直线AB的方程为y＝x－eq\f(p,2)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x－\f(p,2)，,y2＝2px，))得x2－px＋eq\f(p2,4)＝2px.即x2－3px＋eq\f(p2,4)＝0，又|AB|＝8，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1＋\f(p,2)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(p,2)))＝8.∴x1＋x2＝8－p.即3p＝8－p，∴p＝2.答案：27．直线y＝x－3与抛物线y2＝4x交于A，B两点，过A，B两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P，Q，那么梯形APQB的面积为________．解析：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝4x，,y＝x－3))消去y得x2－10x＋9＝0，得x＝1或9，即eq\b\lc\{\rc\