【优选】必修课件-反函数PPT文档

一、复习引入：

1.我们知道，物体作匀速直线运动的位移s是时间t的函数，即s=vt,其中速度v是常量,定义域t0,值域s0；反过来，也可以由位移s和速度v（常量）确定物体作匀速直线运动的时间，即，这时，位移s是自变量，时间t是位移s的函数,定义域s0,值域t0.2023/5/311

2.在函数y=2x+6中，x是自变量，y是x的函数，定义域xR，值域yR.我们从函数y=2x+6中解出x，就可以得到式子.这样，对于y在R中任何一个值，通过式子，x在R中都有唯一的值和它对应.因此，它也确定了一个函数：y为自变量，x为y的函数，定义域是yR,值域是xR.2023/5/312综合上述，我们由函数s=vt得出了函数；由函数y=2x+6得出了函数,不难看出,这两对函数中,每一对中两函数之间都存在着必然的联系:①它们的对应法则是互逆的；②它们的定义域和值域相反：即前者的值域是后者的定义域，而前者的定义域是后者的值域.

我们称这样的每一对函数是互为反函数.2023/5/313二、讲解新课：反函数的定义一般地，设函数的值域是C，根据这个函数中x,y

的关系，用y把x表示出，得到

若对于y在C中的任何一个值，通过

，x在A中都有唯一的值和它对应，那么，

就表示y是自变量，x是自变量y的函数,这样的函数

(yC)叫做函数的反函数.记作:习惯上改写成:2023/5/314开始的两个例子：s=vt记为则它的反函数就可以写为:同样记为则它的反函数为：2023/5/315探讨1：所有函数都有反函数吗？为什么？反函数也是函数，因为它符合函数的定义，从反函数的定义可知，对于任意一个函数来说，不一定有反函数，如,只有“一一映射”确定的函数才有反函数，有反函数是2023/5/316探讨2：互为反函数定义域、值域的关系从映射的定义可知，函数是定义域A到值域C的映射，而它的反函数是集合C到集合A的映射，因此，函数的定义域正好是它的反函数的值域；函数的值域正好是它的反函数的定义域.AC值域CA定义域2023/5/317若函数有反函数，那么函数的反函数就是，这就是说，函数与互为反函数.探讨3：的反函数是吗？2023/5/318三、讲解例题：例1．求下列函数的反函数：①.②.③.④.2023/5/319三、讲解例题：例1．求下列函数的反函数：①.∴函数的反函数是:解：①由解得:三注明一解二换2023/5/3110反函数的求法如果原函数有反函数，求反函数可分三步：2023/5/3111三、讲解例题：例1．求下列函数的反函数：②.解:②由解得∴函数的反函数是:三注明一解二换2023/5/3112⑶反函数的单调性与原函数的单调性相同.(yC)叫做函数的反函数.我们从函数y=2x+6中解出一般地，设函数的值域是C，④点A(x,y)关于y=x轴的对称点(?,？);①它们的对应法则是互逆的；⑴利用对称性作反函数的图像求函数y=3x-2(x∈R)的反函数，并且画出原来的函数和它的反函数的图象。1．探究互为反函数的函数的图像关系象是从“形”的方面反映这个函数的自变量x与因变量函数的示y是自变量，x是自变量y的函数,这样的函数例6．求函数的值域．注：1）这个结论是由特殊到一般归纳出来的，并未经过严格证明，为不增加难度，现在不作证明。综合上述，我们由函数s=vt得出了函数；注：1）这个结论是由特殊到一般归纳出来的，并未经过严格证明，为不增加难度，现在不作证明。在函数y=2x+6中，x是自变量，y是x的函数，定由令x=0得三、讲解例题：例1．求下列函数的反函数：③.解:③由解得∴函数的反函数是:三注明一解二换2023/5/3113三、讲解例题：例1．求下列函数的反函数④.解:④由解得∴函数的反函数是三注明一解二换2023/5/3114例2.求函数(1<x<0)的反函数.解：∵1<x<0∴0<x2<1∴0<1x2<1由解得：∴∴0<y<1∴(1<x<0)的反函数是：(0<x<1)2023/5/3115例3已知:求∵x≥2，∴，即①,⑵∵x≥2，由①式知，∴y≥0--②,⑶由①②得:解：⑴令，解得:2023/5/3116一、复习引入：4.在平面直角坐标系中，①点A(x,y)关于x轴的对称点(x,-y);②点A(x,y)关于y轴的对称点(-x,y);③点A(x,y)关于原点的对称点(-x,-y);④点A(x,y)关于y=x轴的对称点(?,？);2023/5/31175.我们已经知道两个互为反函数的函数间有着必然的联系（在定义域、值域和对应法则方面）.函数图象是从“形”的方面反映这个函数的自变量x与因变量y之间的关系.因此，互为反函数的函数图象间也必然有一定的关系，今天通过观察如下图像研究—互为反函数的函数图象间的关系.2023/5/3118例4.求函数y=3x-2(x∈R)的反函数，并且画出原来的函数和它的反函数的图象。解：

∵y=3x-2

函数y=3x-2(x∈R)的反函数为y=

x

0

y

-2

0

x

-2

0

y

0∴x=1-2-11-1-2xyy=3x-2首先我们来研究互为反函数的函数图像间的关系（x∈R)2023/5/3119互为反函数的两个函数的图象之间是否具有某种对称关系?它们的两个函数图象是以直线y=x为对称轴的对称图形。给出定理：函数y=f(x)的图象与它的反函数y=f

－1(x)的图象关于直线

y=x

对称。问题：回答：2023/5/3120注：1）这个结论是由特殊到一般归纳出来的，并未经过严格证明，为不增加难度，现在不作证明。2）这个结论是在同一坐标系下，且横轴(x轴)与纵轴(y轴)长度单位一致的情况下得出的。2023/5/3121例5.求函数y=x3(x∈R)的反函数，并画出原来的函数和它的反函数的图象.xy由函数(x

R)，得所以函数(xR)的反函数是：解：3xy=

注：当已知函数y=f（x）的图象时，利用所学定理，作出它关于直线y=x对称的图象，就是反函数y=f－1（x）的图象。2023/5/3122函数的的定义域，而前者的定义域是后者的值域.⑶反函数的单调性与原函数的单调性相同.例6．求函数的值域．在函数y=2x+6中，x是自变量，y是x的函数，定探讨3：的反函数是吗？⑶反函数的单调性与原函数的单调性相同.由函数y=2x+6得出了函数,不难看出,这两1．探究互为反函数的函数的图像关系例1．求下列函数的反函数：③.变量，x为y的函数，定义域是yR,值域是xR.∴(,0)在f(x)的图象上，-5=0示y是自变量，x是自变量y的函数,这样的函数的联系（在定义域、值域和对应法则方面）.我们称这样的每一对函数是互为反函数.注：当已知函数y=f（x）的图象时，利用所学定理，二、讲解新课：1．探究互为反函数的函数的图像关系观察讨论函数、反函数的图像，归纳结论：函数y=f(x)的图象和它的反函数y=f-1(x)的图象关于直线y=x对称.2．应用：⑴利用对称性作反函数的图像若y=f(x)的图象已作出或比较好作，那么它的反函数y=f-1(x)的图象可以由的图象关于直线y=x对称而得到;⑵求反函数的定义域求原函数的值域；⑶反函数的单调性与原函数的单调性相同.2023/5/3123例6．求函数的值域．分析：灵活运用互为反函数的两个函数定义域和值域之间的关系.解：∵∴函数的值域为{y|y≠}∴∴

y≠2023/5/3124解法一：由得反函数

由