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文档简介
吉林省长春七十二中学2024年中考五模数学试题注意事项1.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回.2.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.4.作答选择题,必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑;如需改动,请用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.作答非选择题,必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律无效.5.如需作图,须用2B铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗.一、选择题(每小题只有一个正确答案,每小题3分,满分30分)1.如图,这是由5个大小相同的整体搭成的几何体,该几何体的左视图是()A. B. C. D.2.下列四个几何体,正视图与其它三个不同的几何体是()A. B.C. D.3.如图,在三角形ABC中,∠ACB=90°,∠B=50°,将此三角形绕点C沿顺时针方向旋转后得到三角形A′B′C,若点B′恰好落在线段AB上,AC、A′B′交于点O,则∠COA′的度数是()A.50° B.60° C.70° D.80°4.﹣2×(﹣5)的值是()A.﹣7B.7C.﹣10D.105.如图,在中,.点是的中点,连结,过点作,分别交于点,与过点且垂直于的直线相交于点,连结.给出以下四个结论:①;②点是的中点;③;④,其中正确的个数是()A.4 B.3 C.2 D.16.如图,在正方形OABC中,点A的坐标是(﹣3,1),点B的纵坐标是4,则B,C两点的坐标分别是()A.(﹣2,4),(1,3) B.(﹣2,4),(2,3)C.(﹣3,4),(1,4) D.(﹣3,4),(1,3)7.已知圆A的半径长为4,圆B的半径长为7,它们的圆心距为d,要使这两圆没有公共点,那么d的值可以取()A.11; B.6; C.3; D.1.8.“一般的,如果二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个公共点,那么一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根.——苏科版《数学》九年级(下册)P21”参考上述教材中的话,判断方程x2﹣2x=﹣2实数根的情况是()A.有三个实数根 B.有两个实数根 C.有一个实数根 D.无实数根9.一元二次方程mx2+mx﹣=0有两个相等实数根,则m的值为()A.0 B.0或﹣2 C.﹣2 D.210.有一种球状细菌的直径用科学记数法表示为2.16×10﹣3米,则这个直径是()A.216000米 B.0.00216米C.0.000216米 D.0.0000216米二、填空题(共7小题,每小题3分,满分21分)11.定义:在平面直角坐标系xOy中,把从点P出发沿纵或横方向到达点Q(至多拐一次弯)的路径长称为P,Q的“实际距离”.如图,若P(﹣1,1),Q(2,3),则P,Q的“实际距离”为1,即PS+SQ=1或PT+TQ=1.环保低碳的共享单车,正式成为市民出行喜欢的交通工具.设A,B,C三个小区的坐标分别为A(3,1),B(1,﹣3),C(﹣1,﹣1),若点M表示单车停放点,且满足M到A,B,C的“实际距离”相等,则点M的坐标为_____.12.已知正方形ABCD,AB=1,分别以点A、C为圆心画圆,如果点B在圆A外,且圆A与圆C外切,那么圆C的半径长r的取值范围是_____.13.函数的图象不经过第__________象限.14.如图所示是一组有规律的图案,第l个图案由4个基础图形组成,第2个图案由7个基础图形组成,……,第n(n是正整数)个图案中的基础图形个数为_______(用含n的式子表示).15.(2017四川省攀枝花市)若关于x的分式方程无解,则实数m=_______.16.因式分解:3x3﹣12x=_____.17.出售某种手工艺品,若每个获利x元,一天可售出个,则当x=_________元,一天出售该种手工艺品的总利润y最大.三、解答题(共7小题,满分69分)18.(10分)如图,Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,BC=1.(1)实践操作:尺规作图,不写作法,保留作图痕迹.①作∠ABC的角平分线交AC于点D.②作线段BD的垂直平分线,交AB于点E,交BC于点F,连接DE、DF.(2)推理计算:四边形BFDE的面积为.19.(5分)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,以AC为直径的⊙O与AB边交于点D,过点D作⊙O的切线.交BC于点E.求证:BE=EC填空:①若∠B=30°,AC=2,则DE=______;②当∠B=______度时,以O,D,E,C为顶点的四边形是正方形.20.(8分)已知,求代数式的值.21.(10分)如图,六个完全相同的小长方形拼成了一个大长方形,AB是其中一个小长方形的对角线,请在大长方形中完成下列画图,要求:①仅用无刻度直尺,②保留必要的画图痕迹.在图1中画出一个45°角,使点A或点B是这个角的顶点,且AB为这个角的一边;在图2中画出线段AB的垂直平分线.22.(10分)某制衣厂某车间计划用10天加工一批出口童装和成人装共360件,该车间的加工能力是:每天能单独加工童装45件或成人装30件.(1)该车间应安排几天加工童装,几天加工成人装,才能如期完成任务;(2)若加工童装一件可获利80元,加工成人装一件可获利120元,那么该车间加工完这批服装后,共可获利多少元.23.(12分)如图,已知抛物线与轴交于两点(A点在B点的左边),与轴交于点.(1)如图1,若△ABC为直角三角形,求的值;(2)如图1,在(1)的条件下,点在抛物线上,点在抛物线的对称轴上,若以为边,以点、、、Q为顶点的四边形是平行四边形,求点的坐标;(3)如图2,过点作直线的平行线交抛物线于另一点,交轴于点,若﹕=1﹕1.求的值.24.(14分)已知:如图,AB为⊙O的直径,C是BA延长线上一点,CP切⊙O于P,弦PD⊥AB于E,过点B作BQ⊥CP于Q,交⊙O于H,(1)如图1,求证:PQ=PE;(2)如图2,G是圆上一点,∠GAB=30°,连接AG交PD于F,连接BF,若tan∠BFE=3,求∠C的度数;(3)如图3,在(2)的条件下,PD=6,连接QC交BC于点M,求QM的长.
参考答案一、选择题(每小题只有一个正确答案,每小题3分,满分30分)1、A【解析】
观察所给的几何体,根据三视图的定义即可解答.【详解】左视图有2列,每列小正方形数目分别为2,1.故选A.【点睛】本题考查了三视图的知识,左视图是从物体的左面看得到的视图.2、C【解析】
根据几何体的三视图画法先画出物体的正视图再解答.【详解】解:A、B、D三个几何体的主视图是由左上一个正方形、下方两个正方形构成的,而C选项的几何体是由上方2个正方形、下方2个正方形构成的,故选:C.【点睛】此题重点考查学生对几何体三视图的理解,掌握几何体的主视图是解题的关键.3、B【解析】试题分析:∵在三角形ABC中,∠ACB=90°,∠B=50°,∴∠A=180°﹣∠ACB﹣∠B=40°.由旋转的性质可知:BC=B′C,∴∠B=∠BB′C=50°.又∵∠BB′C=∠A+∠ACB′=40°+∠ACB′,∴∠ACB′=10°,∴∠COA′=∠AOB′=∠OB′C+∠ACB′=∠B+∠ACB′=60°.故选B.考点:旋转的性质.4、D【解析】
根据有理数乘法法则计算.【详解】﹣2×(﹣5)=+(2×5)=10.故选D.【点睛】考查了有理数的乘法法则,(1)两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘;(2)任何数同0相乘,都得0;(3)几个不等于0的数相乘,积的符号由负因数的个数决定,当负因数有奇数个时,积为负;当负因数有偶数个时,积为正;(4)几个数相乘,有一个因数为0时,积为0.5、C【解析】
用特殊值法,设出等腰直角三角形直角边的长,证明△CDB∽△BDE,求出相关线段的长;易证△GAB≌△DBC,求出相关线段的长;再证AG∥BC,求出相关线段的长,最后求出△ABC和△BDF的面积,即可作出选择.【详解】解:由题意知,△ABC是等腰直角三角形,设AB=BC=2,则AC=2,∵点D是AB的中点,∴AD=BD=1,在Rt△DBC中,DC=,(勾股定理)∵BG⊥CD,∴∠DEB=∠ABC=90°,又∵∠CDB=∠BDE,∴△CDB∽△BDE,∴∠DBE=∠DCB,,即∴DE=,BE=,在△GAB和△DBC中,∴△GAB≌△DBC(ASA)∴AG=DB=1,BG=CD=,∵∠GAB+∠ABC=180°,∴AG∥BC,∴△AGF∽△CBF,∴,且有AB=BC,故①正确,∵GB=,AC=2,∴AF==,故③正确,GF=,FE=BG﹣GF﹣BE=,故②错误,S△ABC=AB•AC=2,S△BDF=BF•DE=××=,故④正确.故选B.【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的相关性质,中等难度,注意合理的运用特殊值法是解题关键.6、A【解析】
作CD⊥x轴于D,作AE⊥x轴于E,作BF⊥AE于F,由AAS证明△AOE≌△OCD,得出AE=OD,OE=CD,由点A的坐标是(﹣3,1),得出OE=3,AE=1,∴OD=1,CD=3,得出C(1,3),同理:△AOE≌△BAF,得出AE=BF=1,OE﹣BF=3﹣1=2,得出B(﹣2,4)即可.【详解】解:如图所示:作CD⊥x轴于D,作AE⊥x轴于E,作BF⊥AE于F,则∠AEO=∠ODC=∠BFA=90°,∴∠OAE+∠AOE=90°.∵四边形OABC是正方形,∴OA=CO=BA,∠AOC=90°,∴∠AOE+∠COD=90°,∴∠OAE=∠COD.在△AOE和△OCD中,∵,∴△AOE≌△OCD(AAS),∴AE=OD,OE=CD.∵点A的坐标是(﹣3,1),∴OE=3,AE=1,∴OD=1,CD=3,∴C(1,3).同理:△AOE≌△BAF,∴AE=BF=1,OE﹣BF=3﹣1=2,∴B(﹣2,4).故选A.【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、坐标与图形性质;熟练掌握正方形的性质,证明三角形全等是解决问题的关键.7、D【解析】∵圆A的半径长为4,圆B的半径长为7,它们的圆心距为d,∴当d>4+7或d<7-4时,这两个圆没有公共点,即d>11或d<3,∴上述四个数中,只有D选项中的1符合要求.故选D.点睛:两圆没有公共点,存在两种情况:(1)两圆外离,此时圆心距>两圆半径的和;(1)两圆内含,此时圆心距<大圆半径-小圆半径.8、C【解析】试题分析:由得,,即是判断函数与函数的图象的交点情况.因为函数与函数的图象只有一个交点所以方程只有一个实数根故选C.考点:函数的图象点评:函数的图象问题是初中数学的重点和难点,是中考常见题,在压轴题中比较常见,要特别注意.9、C【解析】
由方程有两个相等的实数根,得到根的判别式等于0,求出m的值,经检验即可得到满足题意m的值.【详解】∵一元二次方程mx1+mx﹣=0有两个相等实数根,∴△=m1﹣4m×(﹣)=m1+1m=0,解得:m=0或m=﹣1,经检验m=0不合题意,则m=﹣1.故选C.【点睛】此题考查了根的判别式,根的判别式的值大于0,方程有两个不相等的实数根;根的判别式的值等于0,方程有两个相等的实数根;根的判别式的值小于0,方程没有实数根.10、B【解析】
绝对值小于1的负数也可以利用科学记数法表示,一般形式为a×10﹣n,与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂,指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.【详解】2.16×10﹣3米=0.00216米.故选B.【点睛】考查了用科学记数法表示较小的数,一般形式为a×10﹣n,其中1≤|a|<10,n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.二、填空题(共7小题,每小题3分,满分21分)11、(1,﹣2).【解析】
若设M(x,y),则由题目中对“实际距离”的定义可得方程组:3-x+1-y=y+1+x+1=1-x+3+y,解得:x=1,y=-2,则M(1,-2).故答案为(1,-2).12、﹣1<r<.【解析】
首先根据题意求得对角线AC的长,设圆A的半径为R,根据点B在圆A外,得出0<R<1,则-1<-R<0,再根据圆A与圆C外切可得R+r=,利用不等式的性质即可求出r的取值范围.【详解】∵正方形ABCD中,AB=1,
∴AC=,
设圆A的半径为R,
∵点B在圆A外,
∴0<R<1,
∴-1<-R<0,
∴-1<-R<.
∵以A、C为圆心的两圆外切,
∴两圆的半径的和为,
∴R+r=,r=-R,
∴-1<r<.
故答案为:-1<r<.【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系,点与圆的位置关系,正方形的性质,勾股定理,不等式的性质.掌握位置关系与数量之间的关系是解题的关键.13、三.【解析】
先根据一次函数判断出函数图象经过的象限,进而可得出结论.【详解】解:∵一次函数中,此函数的图象经过一、二、四象限,不经过第三象限,故答案为:三.【点睛】本题考查的是一次函数的性质,即一次函数中,当,时,函数图象经过一、二、四象限.14、3n+1【解析】试题分析:由图可知每个图案一次增加3个基本图形,第一个图案有4个基本图形,则第n个图案的基础图形有4+3(n-1)=3n+1个考点:规律型15、3或1.【解析】解:方程去分母得:1+3(x﹣1)=mx,整理得:(m﹣3)x=2.①当整式方程无解时,m﹣3=0,m=3;②当整式方程的解为分式方程的增根时,x=1,∴m﹣3=2,m=1.综上所述:∴m的值为3或1.故答案为3或1.16、3x(x+2)(x﹣2)【解析】
先提公因式3x,然后利用平方差公式进行分解即可.【详解】3x3﹣12x=3x(x2﹣4)=3x(x+2)(x﹣2),故答案为3x(x+2)(x﹣2).【点睛】本题考查了提公因式法与公式法分解因式,要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解,一般来说,如果可以先提取公因式的要先提取公因式,再考虑运用公式法分解.17、1【解析】先根据题意得出总利润y与x的函数关系式,再根据二次函数的最值问题进行解答.解:∵出售某种手工艺品,若每个获利x元,一天可售出(8-x)个,
∴y=(8-x)x,即y=-x2+8x,
∴当x=-=1时,y取得最大值.
故答案为:1.三、解答题(共7小题,满分69分)18、(1)详见解析;(2).【解析】
(1)利用基本作图(作一个角等于已知角和作已知线段的垂直平分线)作出BD和EF;(2)先证明四边形BEDF为菱形,再利用含30度的直角三角形三边的关系求出BF和CD,然后利用菱形的面积公式求解.【详解】(1)如图,DE、DF为所作;(2)∵∠C=90°,∠A=30°,∴∠ABC=10°,AB=2BC=2.∵BD为∠ABC的角平分线,∴∠DBC=∠EBD=30°.∵EF垂直平分BD,∴FB=FD,EB=ED,∴∠FDB=∠DBC=30°,∠EDB=∠EBD=30°,∴DE∥BF,BE∥DF,∴四边形BEDF为平行四边形,而FB=FD,∴四边形BEDF为菱形.∵∠DFC=∠FBD+∠FDB=30°+30°=10°,∴∠FDC=90°-10°=30°.在Rt△BDC中,∵BC=1,∠DBC=30°,∴DC=.在Rt△FCD中,∵∠FDC=30°,∴FC=2,∴FD=2FC=4,∴BF=FD=4,∴四边形BFDE的面积=4×2=8.故答案为:8.【点睛】本题考查了作图﹣基本作图:熟练掌握基本作图(作一条线段等于已知线段;作一个角等于已知角;作已知线段的垂直平分线;作已知角的角平分线;过一点作已知直线的垂线).19、(1)见解析;(2)①3;②1.【解析】
(1)证出EC为⊙O的切线;由切线长定理得出EC=ED,再求得EB=ED,即可得出结论;(2)①由含30°角的直角三角形的性质得出AB,由勾股定理求出BC,再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出DE;②由等腰三角形的性质,得到∠ODA=∠A=1°,于是∠DOC=90°然后根据有一组邻边相等的矩形是正方形,即可得到结论.【详解】(1)证明:连接DO.∵∠ACB=90°,AC为直径,∴EC为⊙O的切线;又∵ED也为⊙O的切线,∴EC=ED,又∵∠EDO=90°,∴∠BDE+∠ADO=90°,∴∠BDE+∠A=90°又∵∠B+∠A=90°,∴∠BDE=∠B,∴BE=ED,∴BE=EC;(2)解:①∵∠ACB=90°,∠B=30°,AC=2,∴AB=2AC=4,∴BC==6,∵AC为直径,∴∠BDC=∠ADC=90°,由(1)得:BE=EC,∴DE=BC=3,故答案为3;②当∠B=1°时,四边形ODEC是正方形,理由如下:∵∠ACB=90°,∴∠A=1°,∵OA=OD,∴∠ADO=1°,∴∠AOD=90°,∴∠DOC=90°,∵∠ODE=90°,∴四边形DECO是矩形,∵OD=OC,∴矩形DECO是正方形.故答案为1.【点睛】本题考查了圆的切线性质、解直角三角形的知识、切线长定理等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造直角三角形解决问题,属于中考常考题型.20、12【解析】解:∵,∴.∴.将代数式应用完全平方公式和平方差公式展开后合并同类项,将整体代入求值.21、(1)答案见解析;(2)答案见解析.【解析】试题分析:(1)根据等腰直角三角形的性质即可解决问题.(2)根据正方形、长方形的性质对角线相等且互相平分,即可解决问题.试题解析:(1)如图所示,∠ABC=45°.(AB、AC是小长方形的对角线).(2)线段AB的垂直平分线如图所示,点M是长方形AFBE是对角线交点,点N是正方形ABCD的对角线的交点,直线MN就是所求的线段AB的垂直平分线.考点:作图—应用与设计作图.22、(1)该车间应安排4天加工童装,6天加工成人装;(2)36000元.【解析】
(1)利用某车间计划用10天加工一批出口童装和成人装共360件,分别得出方程组成方程组求出即可;(2)利用(1)中所求,分别得出两种服装获利即可得出答案.【详解】解:(1)设该车间应安排x天加工童装,y天加工成人装,由题意得:,解得:,答:该车间应安排4天加工童装,6天加工成人装;(2)∵45×4=180,30×6=180,∴180×80+180×120=180×(80+120)=36000(元),答:该车间加工完这批服装后,共可获利36000元.【点睛】本题考查二元一次方程组的应用.23、(1);(2)和;(3)【解析】
(1)设,,再根据根与系数的关系得到,根据勾股定理得到:、,根据列出方程,解方程即可;(2)求出A、B坐标,设出点Q坐标,利用平行四边形的性质,分类讨论点P坐标,利用全等的性质得出P点的横坐标后,分别代入抛物线解析式,求出P点坐标;(3)过点作DH⊥轴于点,由::,可得::.设,可得点坐标为,可得.设点坐标为.可证△∽△,利用相似性质列出方程整理可得到①,将代入抛物线上,可得②,联立①②解方程组,即可解答.【详解】解:设,,则是方程的两根,∴.∵已知抛物线与轴交于点.∴在△中:,在△中:,∵△为直角三角形,由题意可知∠°,∴,即,∴,∴,解得:,又,∴.由可知:,令则,∴,∴.①以为边,以点、、、Q为顶点的四边形是四边形时,设抛物线的对称轴为,l与交于点,过点作⊥l,垂足为点,即∠°∠.∵四边形为平行四边形,∴∥,又l∥轴,∴∠∠=∠,∴△≌△,∴,∴点的横坐标为,∴即点坐标为.②当以为边,以点、、、Q为顶点的四边形是四边形时,设抛物线的对称轴为,l与交于点,过点作⊥l,垂足为点,即∠°∠.∵四边形为平行四边形,∴∥,又l∥轴,∴∠∠=∠,∴△≌△,∴,∴点的横坐标为,∴即点坐标为∴符合条件的点坐标为和.过点作DH⊥轴于点,∵::,∴::.设,则点坐标为,∴.∵点在抛物线上,∴点坐标为,由(1)知,∴,∵∥,∴△∽△,∴,∴,即①,又在抛物线上,∴②,将②代入①得:,解得(舍去),把代入②得:.【点睛】本题是代数几何综合题,考查了二次函数图象性质、一元二次方程根与系数关系、三角形相似以及平行四边形的性质,解答关键是综合运用数形结合分类讨论思想.24、(1)证明见解析(2)30°(3)QM=【解析】试题分析:(1)连接OP,PB,由已知易证∠OBP=∠OPB=∠QBP,从而可得BP平分∠OBQ,结合BQ⊥CP于点Q,PE⊥AB于点E即可由角平分线的性质得到PQ=PE;(2)如下图2,连接OP,则由已知易得∠CPO=∠PEC=90°,由此可得∠C=∠OPE,设EF=x,则由∠GAB=30°,∠AEF=90°可得AE=,在Rt△BEF中,由tan∠BFE=可得BE=,从而可得AB=,则OP=OA=,结合AE=可得OE=,这样即可得到sin∠OPE=,由此可得∠OPE=30°,则∠C=30°;(3)如下图3,连接BG,过点O作OK⊥HB于点K,结合BQ⊥CP,∠OPQ=90°,可得四边形POKQ为矩形.由此可得QK=PO,OK∥CQ从
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