方差分析基础

方差分析基础第一页，共九十八页，编辑于2023年，星期六第一节方差分析的基本原理前面所介绍的t检验法和u检验法，适用于样本平均数与总体平均数及两样本平均数间的差异显著性检验，但在生产和科学研究中经常会遇到比较多个处理（k≥3）优劣的问题，即需进行多个平均数间的差异显著性检验。这时，若仍采用t或u检验法就不适宜了。原因如下：

第二页，共九十八页，编辑于2023年，星期六1、检验过程烦琐例如，一试验包含5个处理，采用t检验法要进行=10次两两平均数的差异显著性检验；若有k个处理，则要作k(k-1)/2次类似的检验。2、无统一的试验误差，误差估计的精确性和检验的灵敏性低对同一试验的多个处理进行比较时，应该有一个统一的试验误差的估计值。3、推断的可靠性低，检验的I型错误率大即使利用资料所提供的全部信息估计了试验误差，若用t检验法进行多个处理平均数间的差异显著性检验，由于没有考虑相互比较的两个平均数的秩次问题，因而会增大犯I型错误的概率，降低推断的可靠性。第三页，共九十八页，编辑于2023年，星期六复习几个常用术语1、试验指标：为衡量试验结果的好坏或处理效应的高低，在试验中具体测定的性状或观测的项目称为试验指标。由于试验目的不同，选择的试验指标也不相同。2、试验因素：试验中所研究的影响试验指标的因素叫试验因素。3、因素水平：试验因素所处的某种特定状态或数量等级称为因素水平，简称水平。第四页，共九十八页，编辑于2023年，星期六复习几个常用术语4、试验处理：事先设计好的实施在试验单位上的具体项目叫试验处理，简称处理。在单因素试验中，实施在试验单位上的具体项目就是试验因素的某一水平。进行单因素试验时，试验因素的一个水平就是一个处理。在多因素试验中，实施在试验单位上的具体项目是各因素的某一水平组合。5、试验单位：在试验中能接受不同试验处理的独立的试验载体叫试验单位。6、重复：在试验中，将一个处理实施在两个或两个以上的试验单位上，称为处理有重复；一处理实施的试验单位数称为处理的重复数。第五页，共九十八页，编辑于2023年，星期六自由度和平方和的分解总变异是nk个观察值的变异，所以其自由度为＝nk-1总变异的平方和为：第六页，共九十八页，编辑于2023年，星期六自由度和平方和的分解组间（处理）变异由k个yi变异所引起，故其自由度为＝k-1，组间（处理）平方和为：组内（误差）变异为各观察值与组平均数的变异，所以组内（误差变异自由度为＝k(n-1)，组内平方和为：第七页，共九十八页，编辑于2023年，星期六自由度和平方和的分解总自由度DFT＝组间自由度DFt＋组内自由度DFe总平方和SST＝组间平方和SSt+组内平方和SSe总的均方：组间的均方：组内的均方：第八页，共九十八页，编辑于2023年，星期六自由度和平方和的分解

以Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四种药剂处理水稻种子，其中Ａ为对照，每处理各得４个苗高观察值(cm)，其结果列于下表，试分解其平方和与自由度药剂苗高观察值总和Ti平均Ａ182120137218Ｂ202426229223Ｃ101517145614Ｄ2827293211629

T=336=21第九页，共九十八页，编辑于2023年，星期六自由度和平方和的分解总变异自由度：DFT=(nk-1)=(44)-1=15药剂间自由度：DFt=(k-1)=4-1=3药剂内自由度：DFe=k(n-1)=4(4-1)=12矫正数总的平方和：组间平方和：组内平方和：第十页，共九十八页，编辑于2023年，星期六二、F分布与F测验变异来源DFSSMSFF临界值处理间350416820.56**F0.05(3,12)=3.49F0.01(3,12)=5.95处理内（误差）12988.17总15602第十一页，共九十八页，编辑于2023年，星期六从例题如手，理解方差分析的基本原理：一小麦品种对比试验，6个品种，4次重复，单因素完全随机设计，得产量结果如下表（单位：kg/小区）处理品种观察值（重复）处理和（Ti）处理平均1234A15854504921152.75A24238413615739.25A33236293513233.00A44645434618045.00A53531343413433.50A64442363816040.00第十二页，共九十八页，编辑于2023年，星期六从表中的结果可以看出：24个小区的产量有高有低，存在差异，这种差异称为变异。各处理平均产量之间也有差异，可以直观地看作是小麦不同品种间生产能力的差异。同一品种不同重复之间的产量也不相同，显然这种差异主要不是小麦品种引起的，而是某些不易控制的随机因素的影响，是由随机误差造成的。由于试验误差的存在，不同品种产量之间的差异是纯属随机误差的影响还是反映了不同品种的影响？这就需要对品种效应作进一步考察，分析造差异的原因是什么，以判断试验结果的可靠性和品种产量间差异的显著性。第十三页，共九十八页，编辑于2023年，星期六由此看出：无论试验条件控制多么严格，在其试验结果中总是掺杂着随机误差等非处理因素的影响，说明试验结果的总变异是由两类原因引起的：由于人为施加试验条件的影响引起试验指标的变异，称处理间（组间）变异。其效应称处理效应。由随机因素的影响引起的变异，称处理内（组内）变异。其效应称非处理效应。即：试验结果总变异＝处理间变异＋处理内变异第十四页，共九十八页，编辑于2023年，星期六基本思路：方差分析就是从试验结果的变异性出发，用方差作为衡量各种变异量的尺度，如用总方差表示总变异，处理间方差表示处理间变异，处理内方差表示处理内变异（可以看作为误差），则哪项方差大，那项因子对试验指标的影响就大，把处理方差和误差方差在一定意义下进行比较，当处理间方差显著地大于误差方差时，表明处理因素对试验指标有显著影响。第十五页，共九十八页，编辑于2023年，星期六方差分析：就是将试验数据的总变异分解为来源不同因素的相应变异，并做出数量估计，从而发现各个因素在总变异中所占的重要程度。即将试验的总变异方差分解成各变因方差，并以其中误差方差作为和其他变因方差比较的标准，以推断其他变因所引起的变异量是否真实的一种统计分析方法。第十六页，共九十八页，编辑于2023年，星期六方差分析的基本步骤（一）平方和与自由度的分解（二）F检验（三）多重比较详细内容见教材P89-92！第十七页，共九十八页，编辑于2023年，星期六3.平方和的分解及其计算如何定量地衡量这些变异？称为总平方和，记为SST称为处理平方和，记为SSt称为误差平方和，记为SSe第十八页，共九十八页，编辑于2023年，星期六平方和的简易求法第十九页，共九十八页，编辑于2023年，星期六4.自由度的确定及均方的计算每个平方和都有一个自由度自由度确定的经验规则：自由度是计算该平方和时可以自由变化的量的数目自由度的准确意义是对平方和进行归一化时需要的一个参数，是我们构造假设检验所用统计量的一个组成部分第二十页，共九十八页，编辑于2023年，星期六第二十一页，共九十八页，编辑于2023年，星期六第二十二页，共九十八页，编辑于2023年，星期六第二十三页，共九十八页，编辑于2023年，星期六将上述讨论归纳成方差分析表为变异来源平方和ss自由度df均方s2F均方期望F(0.05)F(0.01)处理间SStk-1St2F=St2

/Se2处理内（误差）SSekn-kSe2总和SSTkn-1单因素方差分析表第二十四页，共九十八页，编辑于2023年，星期六多重比较为什么要进行多重比较怎样进行多重比较如何表示多重比较的结果如何选择多重比较的方法第二十五页，共九十八页，编辑于2023年，星期六统计学上把多个平均数两两间的相互比较称为多重比较。第二十六页，共九十八页，编辑于2023年，星期六一、为什么要进行多重比较为什么要进行多重比较什么叫多重比较多重比较的优点第二十七页，共九十八页，编辑于2023年，星期六1.为什么要进行多重比较？例：水稻不同药剂处理的苗高(cm)变异来源DFSSMSF显著F值药剂处理间药剂处理内（误差）

31250498168.008.1720.56**F

0.05(3,12)=3.49F

0.01(3,12)=5.92总1560218231429

72925611621201324262215171428272932ABCD平均总和Ti苗高观察值药剂经方差分析得下表：第二十八页，共九十八页，编辑于2023年，星期六2.什么叫多重比较

多重比较就是指在F测验的前提下，对不同处理的平均数之间的现两两互比。第二十九页，共九十八页，编辑于2023年，星期六3.多重比较的优点比较的精确度增大了所得到的结论更全面，更可靠了第三十页，共九十八页，编辑于2023年，星期六多重比较为什么要进行多重比较怎样进行多重比较如何表示多重比较的结果多重比较方法的选择第三十一页，共九十八页，编辑于2023年，星期六二、怎样进行多重比较常用的有三种方法：最小显著差数法(Leastsignificantdifference,LSD法)最小显著极差法(Leastsignificantranges,LSR法)

☆

新复极差测验(SSR法)☆q测验第三十二页，共九十八页，编辑于2023年，星期六1.最小显著差数法（LSD法）第三十三页，共九十八页，编辑于2023年，星期六第三十四页，共九十八页，编辑于2023年，星期六LSD法的基本步骤：第三十五页，共九十八页，编辑于2023年，星期六处理A1A2A3A4A5产量2427313221302428332228212533162626302821合计1089811412680平均2724.528.531.520第三十六页，共九十八页，编辑于2023年，星期六解：（1）首先将各处理平均数进行排序编号处理A4A3A1A2A5平均数31.528.527.024.520.0序号12345第三十七页，共九十八页，编辑于2023年，星期六列出多重比较表为：序号5432111.57.04.53.028.54.01.537.02.544.5第三十八页，共九十八页，编辑于2023年，星期六第三十九页，共九十八页，编辑于2023年，星期六序号5432111.57.04.53.028.54.01.537.02.544.5第四十页，共九十八页，编辑于2023年，星期六结论：从多重比较表可以看出：施尿素的稻谷的平均产量极显著高于对照和氨水2、显著高于施氨水1；施碳酸氢铵的稻谷的平均产量极显著高于对照、显著高于施氨水2；施氨水1的稻谷平均产量极显著高于对照；施氨水2的稻谷平均产量显著高于对照；其余的不同处理间的稻谷平均产量没有显著差异。第四十一页，共九十八页，编辑于2023年，星期六第四十二页，共九十八页，编辑于2023年，星期六为了克服LSD法的不足，常采用Duncan法进行多重比较（由Duncan于1955年提出）2.Duncan法Duncan法的特点是根据平均数差数内所包含的处理数（称为秩次距）k的不同而采取不同的检验临界值。在LSD法里，所有差数采用相同的检验临界值。第四十三页，共九十八页，编辑于2023年，星期六2.新复极差检验(SSR法)计算LSRα排序比较

LSRa=SE·SSRaSSR通过查附表8求得查表时：列为误差自由度行p为测验极差的平均数个数第四十四页，共九十八页，编辑于2023年，星期六为了克服LSD法的不足，常采用Duncan法进行多重比较（由Duncan于1955年提出）SSR法又称Duncan法Duncan法的特点是根据平均数差数内所包含的处理数（称为秩次距）k的不同而采取不同的检验临界值。在LSD法里，所有差数采用相同的检验临界值。第四十五页，共九十八页，编辑于2023年，星期六临界值的计算：第四十六页，共九十八页，编辑于2023年，星期六Duncan法的基本步骤：第四十七页，共九十八页，编辑于2023年，星期六例二，仍以五种不同施肥方式的稻谷产量的数据为例，采用Duncan法进行多重比较。解：（1）首先将各处理平均数进行排序编号处理A4A3A1A2A5平均数31.528.527.024.520.0序号12345第四十八页，共九十八页，编辑于2023年，星期六列出多重比较表为：序号5432111.57.04.53.028.54.01.537.02.544.5第四十九页，共九十八页，编辑于2023年，星期六（2）计算临界值，列成表格dfMr0.05(M,df)临界值R0.05r0.01(M,df)临界值R0.011523.013.904.175.4133.164.104.375.6743.254.224.505.8453.314.294.585.94第五十页，共九十八页，编辑于2023年，星期六第五十一页，共九十八页，编辑于2023年，星期六序号5432111.57.04.53.028.54.01.537.02.544.5dfMr0.05(M,df)临界值R0.05r0.01(M,df)临界值R0.011523.013.904.175.4133.164.104.375.6743.254.224.505.8453.314.294.585.94第五十二页，共九十八页，编辑于2023年，星期六关于Duncan法的几点说明：Duncan法的检验结果可能会和LSD法有差异LSD法与Duncan法的临界值有如下关系：

LSD法≤Duncan法 所以用LSD法检验显著的差数，用Duncan法检验不一定显著。所以Duncan法相对保守稳重在作业、考试时，除特别说明，多重比较时采用Duncan法。第五十三页，共九十八页，编辑于2023年，星期六2.新复极差测验(SSR法)计算LSRα排序比较

例：水稻不同药剂处理的苗高(cm)18231429

72925611618212013202426221015171428272932ABCD平均总和Ti苗高观察值药剂29231814DBAC平均数处理第五十四页，共九十八页，编辑于2023年，星期六2.新复极差测验(SSR法)计算LSRα排序比较

6.186.516.694.404.624.764.324.554.683.083.233.33234LSR0.01LSR0.05SSR0.01SSR0.05PD-C=15**D-A=11**B-C=9**

D-B=6*B-A=5*A-C=429231814DBACP=4P=3P=2平均数处理凡两极差≥LSRa，则为在a水平上差异显著；反之，不显著。第五十五页，共九十八页，编辑于2023年，星期六2.新复极差测验(SSR法)计算LSRα排序比较小结

第五十六页，共九十八页，编辑于2023年，星期六3.q测验

与SSR法相似，唯一区别仅在计算LSRa时，不是查SSRa，而是查qa（附表7），查qa后

LSRa=SE·qa

所以不再详述。第五十七页，共九十八页，编辑于2023年，星期六多重比较为什么要进行多重比较怎样进行多重比较如何表示多重比较的结果多重比较方法的选择第五十八页，共九十八页，编辑于2023年，星期六三、如何表示多重比较的结果有三种方法：标记字母法列梯形表法划线法第五十九页，共九十八页，编辑于2023年，星期六1.标记字母法例：水稻不同药剂处理的苗高(cm)18231429

72925611621201324262215171428272932ABCD平均总和Ti苗高观察值药剂第六十页，共九十八页，编辑于2023年，星期六1.标记字母法差异显著性

29231814DBAC0.010.05平均药剂新复极差测验差异显著性表aApLSR0.05LSR0.012344.404.624.766.186.516.696A11B第六十一页，共九十八页，编辑于2023年，星期六1.标记字母法差异显著性

29231814DBAC0.010.05平均药剂新复极差测验差异显著性表aApLSR0.05LSR0.012344.404.624.766.186.516.69AB5B9C4C第六十二页，共九十八页，编辑于2023年，星期六1.标记字母法pLSR0.05LSR0.012344.404.624.766.186.516.69差异显著性

29231814DBAC0.010.05平均药剂新复极差测验差异显著性表aAABBCCbcc第六十三页，共九十八页，编辑于2023年，星期六2.列梯形表法处理平均数差异DBAC2923181415**9**411**5*6*第六十四页，共九十八页，编辑于2023年，星期六3.划线法29cm(D)23cm(B)18cm(A)14cm(C)第六十五页，共九十八页，编辑于2023年，星期六第二节多重比较为什么要进行多重比较怎样进行多重比较如何表示多重比较的结果多重比较方法的选择第六十六页，共九十八页，编辑于2023年，星期六四、多重比较方法的选择参考以下几点：试验事先已确定了比较的标准，如所有处理均与对照相比时，用LSDa法；根据试验的侧重点选择。三种方法的显著尺度不相同，LSD法最低，SSR次之，q法最高。故对于试验结论事关重大或有严格要求时，用q测验，一般试验可采用SSR法。第六十七页，共九十八页，编辑于2023年，星期六第二节多重比较为什么要进行多重比较怎样进行多重比较如何表示多重比较的结果多重比较方法的选择第六十八页，共九十八页，编辑于2023年，星期六第二节多重比较作业：第120页习题第4题第六十九页，共九十八页，编辑于2023年，星期六第三节单向分组资料的方差分析一、组内观察值数目相等的单向分组资料的方差分析例：研究6种氮肥施用法对小麦的效应，每种施肥法种5盆小麦，完全随机设计。最后测定它们的含氮量（mg），试作方差分析施氮法12345612.914.012.610.514.614.012.313.813.210.814.613.312.213.813.410.714.413.712.513.613.410.814.413.512.713.613.010.514.413.712.5213.7613.1210.6614.4813.64第七章第七十页，共九十八页，编辑于2023年，星期六单向分组资料的方差分析

1.自由度和平方和的分解自由度：总变异的自由度=65-1=29处理间的自由度=6-1=5误差的自由度=6（5-1）=24平方和：（按照公式进行计算）SST=45.763SSt=44.463SSe=SST-SSt=47.763-44.463=1.3002.F测验(见下表)变异来源DFSSMSFF0.01处理间544.4638.8926164.07**3.90误差241.3000.0542总变异29第七十一页，共九十八页，编辑于2023年，星期六单向分组资料的方差分析

3.各处理平均数的比较p23456SSR0.052.923.073.153.223.28SSR0.013.964.144.244.334.39LSR0.050.3040.3190.3280.3350.341LSR0.010.4120.4310.4410.4500.457第七十二页，共九十八页，编辑于2023年，星期六单向分组资料的方差分析

多重比较结果：施氮法平均数差异显著性５％１％５14.28aA２13.76bB６13.64bB３13.12cC１12.52dD４10.66eE第七十三页，共九十八页，编辑于2023年，星期六单向分组资料的方差分析

二、组内观察值数目不等的单向分组资料的方差分析例：某病虫测报站调查四种不同类型的玉米田28块，每块田所得玉米螟的百丛虫口密度列于下表，试问不同类型玉米田的虫口密度是否有显著差异？田块类型编号Tiyini1234567811213141515161710214.57721410111314117312.1763921011121312118010.00841211109810127210.297T=32711.6828第七十四页，共九十八页，编辑于2023年，星期六单向分组资料的方差分析

方差分析结果：变异来源DFSSMSFF0.01田块类型396.1332.045.91**4.72误差24129.985.42总变异27226.11第七十五页，共九十八页，编辑于2023年，星期六单向分组资料的方差分析第七十六页，共九十八页，编辑于2023年，星期六第四节两向分组资料的方差分析一、组合内只有单个观察值的两向分组资料的方差分析例：用生长素处理豌豆，共6个处理。豌豆种子发芽后，分别在每一箱中移植4株，每组6个木箱，每箱1个处理。试验共有4组24箱，试验时按组排列于温室中，使同组各箱的环境条件一致。然后记录各箱见第一朵花时4株豌豆的总节间数，其结果为：第七十七页，共九十八页，编辑于2023年，星期六处理组总和平均1234对照6062616024360.8赤霉素6565686526365.8动力精6361616024561.3吲哚乙酸6467636125563.8硫酸腺嘌呤6265626425363.3马来酸6162626525062.5总和375382377375T=1509第七十八页，共九十八页，编辑于2023年，星期六1自由度和平方和的分解2F测验3各处理平均间比较方差分析结果为：变异来源DFSSMSFF0.05组间35.451.821处理间565.8713.174.562.90误差1543.302.89总变异23114.62推断：组间无显著差异，不同生长素处理间有显著差异。因为有预先指定的对照，故用LSD法，第七十九页，共九十八页，编辑于2023年，星期六DF=15时，t0.05=2.131，t0.01=2.947，故；LSD0.05=1.2022.131=2.56，Lsd0.01=1.2022.947=3.54平均数比较的结果为：处理平均数与对照的差数对照60.8-赤霉素65.85.0**动力精61.30.5吲哚乙酸63.83.0*硫酸腺嘌呤63.32.5马来酸62.51.7第八十页，共九十八页，编辑于2023年，星期六两项分组资料的方差分析

二、组内有重复观察值的两向分组资料的方差分析设有A、B两个因素，A因素有a个水平，B因素有b个水平，共有ab个处理组合，每一组合有n个观察值，则该资料共有abn个观察值。例：施用A1、A2、A33种肥料于B1、B2、B33种土壤，以小麦为批示作物，每处理组合种3盆，得产量结果于下表：第八十一页，共九十八页，编辑于2023年，星期六肥料种类盆土壤种类总和平均B1B2B3A1121.419.617.6169.218.8221.218.816.6320.116.417.562.754.851.7A2112.013.013.3118.213.4214.213.714.0312.112.013.938.338.741.2A3112.814.212.0122.013.6213.813.614.6313.713.314.040.341.140.6总和平均141.315.7134.615.0133.514.8T=409.4第八十二页，共九十八页，编辑于2023年，星期六方差分析的结果为：变异来源DFSSMSFF0.01处理组合间8202.5825.3227.28**肥料间2179.3889.6996.65**土类间23.961.982.13肥料土类419.244.815.18**试验误差1816.700.928总变异26219.28第八十三页，共九十八页，编辑于2023年，星期六平均数的比较：（１）各处理组合数平均数的比较肥料土壤的互作显著，说明各处理组合的效应各不相同，所以应对各处理组合平均数进行比较。用LSR法：P23456789SSR0.052.973.123.213.273.323.353.373.39SSR0.014.074.274.384.464.534.594.644.68LSR0.051.651.731.781.821.851.861.871.88LSR0.012.262.372.442.482.522.552.582.60第八十四页，共九十八页，编辑于2023年，星期六各处理组合平均数比较结果为：处理组合平均数差异显著性0.050.01A1B220.9aAA1B218.3bBA1B317.2bBA2B313.7cCA3B213.7cCA3B313.5cCA3B113.4cCA2B212.9cCA2B112.8cC第八十五页，共九十八页，编辑于2023年，星期六第五节数据转换方差分析的基本假定数据转换第七章第八十六页，共九十八页，编辑于2023年，星期六方差分析的基本假定１．试验误差服从正态分布２．试验误差随机且相互独立３．试验误差的方差是同质的４．处理效应与误差效应是可加的第七章第八十七页，共九十八页，编辑于2023年，星期六数据转换１．反正弦转换２．平方根转换３．对数转换第八十八页，共九十八页，编辑于2023年，星期六第二节单向分组资料方差分析单向分组资料是指观察值按一个方向分组的资料。组内观察值数目相等的单向分组资料组内观察值数目不等的单向分组资料第八十九页，共九十八页，编辑于2023年，星期六组内观察值数目相等的单向分组资料的方差分析品种样点处理和处理平均123A41394012040B33373510535C38353510836D37393811438E3134349933T=546＝36.4例：在栽培条件一致的情况下，比较5个梨品种产量，每品种随机抽取3个样点（每样点株数相同），结果如下表，进行方差分析。（单位：kg/样点）第九十页，共九十八页，编辑于2023年，星期六组内观察值数目不等的单向分组资料的方差分析类型观察数处理和处理平均1234567891011短枝型1号1.71.81.81.61.71.81.91.81.81.817.71.77短枝型2号1.91.71.61.81.81.81.81.71.916.01.78普通型2.22.32.42.52.42.42.42.32.22.22.225.52.32小老树1.41.51.41.31.61.78.91.4868.11.89例：调查了元帅短枝型1号树和2号树，及普通型与小老树的枝条节间平均长度，各组观察值数目不等，见下表，进行方差分析。表2元帅不同类型树枝条节间长度（单位：cm）第九十一页，共九十八页，编辑于2023年，星期六作业：1假设有4个小麦新品系，进行完全随机盆栽试验，其结果如下表，试作方差分析。品系观察值1121014161218141218281012141216314161316101514416