数学统计随机变量的统计描述

数学统计随机变量的统计描述第一页，共四十一页，编辑于2023年，星期六随机变量:

把表示试验所有可能结果看成一个变量的取值,记为字母X、Y、Z…概率分布:随机变量的取值与其概率值之间的对应关系.离散变量:

可取值能一个一个列出来的变量

掷币结果连续变量:

可取值能充满一个区间的变量

正常人体温值第二页，共四十一页，编辑于2023年，星期六3.1

随机变量及其分布一.

离散变量

二.常见离散变量的概率分布

1.

二项分布2.泊松分布

离散变量的概率函数概率分布分布函数第三页，共四十一页，编辑于2023年，星期六定义3-3

设离散变量

X∈{x1,…,xn,…}，则

称为

X的概率函数.一.

离散变量(k=1,2,…,n,…)注：表示事件，表示事件的概率函数关系事件该事件发生的概率第四页，共四十一页，编辑于2023年，星期六表示方法：（概率分布表）（概率分布图）

O——统称为离散变量的概率分布第五页，共四十一页，编辑于2023年，星期六例

某药检所从送检的10件药品抽检3件,若送检的药品有2件失效,试列出检得失效药品件数X的概率分布。解X的所有取值为0，1，2第六页，共四十一页，编辑于2023年，星期六定义3-3

事件

的概率称为随机变量X的分布函数，记为F(x),即注(1)

分布函数可以求

X

在一定取值范围内的概率

(2)

对于离散变量，有第七页，共四十一页，编辑于2023年，星期六二.常见离散变量的概率分布

1.二项分布随机试验：贝努里(Bernoulli)试验如掷币（正面和背面）、射击（击中与不中）动物试验（存活与死亡）、药物疗效（有效与无效）化验结果（阳性与阴性）对立性：每次试验的结果只可能是A或独立性：每次试验结果互不影响，重复进行，且第八页，共四十一页，编辑于2023年，星期六思考：已知进行n次贝努里试验，每次试验时事件A

发生的概率均为p,设X表示n次试验中事件A出现的次数，则P(X=k)=?

(k=0,…,n)例

某药治某病的治愈率为p，求治5例有3例治愈的概率A={治愈},B={治5例愈3例},

第九页，共四十一页，编辑于2023年，星期六定义

(二项分布)

随机变量X的概率函数为则称X服从参数为n,p的二项分布,记为其中，注：第十页，共四十一页，编辑于2023年，星期六例

据报道10%的人对某药有肠道反应，5人服用此药，①若报道属实，求无人有肠道反应的概率解：A={有肠道反应}，若报道属实，则P(A)＝0.1，

5人服药有肠道反应的人数X～B(k,5,0.1)

P(X＝0)＝C90×0.10×0.95＝0.59049②若有多于2人出现肠道反应，试说明此药质量

P(X＞2)＝1-F(2)=0.0086

概率0.0086很小,说明事件{X＞2}出现可能性很小，事件{X＞2}出现,可认为10%的人有肠道反应的报道是值得怀疑的。第十一页，共四十一页，编辑于2023年，星期六思考：在贝努里试验中，若n很大，p很小时，如何求

P(X=k)？

如：n=100，p=0.01，k=10时，

P(X=10)=Cnkpk(1-p)n-k第十二页，共四十一页，编辑于2023年，星期六注：1.贝努里试验n≥50,p≤0.1,A出现次数X～P(k,λ)2.若n,

p已知，取λ＝np，表示一次试验中A

平均发生的次数2.泊松分布

大量贝努里试验中,P(A)=p很小,称稀有事件概型

定义

泊松分布～第十三页，共四十一页，编辑于2023年，星期六例3-3

某种彩票每周开奖一次，每次中大奖的概率为十万分之一(),(1)若你每周买一张彩票，坚持买了10年(一年52周)，试求你至少中一次大奖的概率?(2)若你每周买10张彩票，坚持买了20年，你至少中一次大奖的概率？解（1）每周买一张彩票，10年共买了520张，设X表示中大奖次数，则X~B(520,)因为n很大，p较小，可近似看成泊松分布第十四页，共四十一页，编辑于2023年，星期六解（2）每周买10张彩票，20年共买了10400张，设X表示中大奖次数，则X~B(10400,)因为n很大，p较小，可近似看成泊松分布第十五页，共四十一页，编辑于2023年，星期六3.1

随机变量及其分布(二)一.连续变量

二.常见连续变量的概率分布

1.正态分布2.标准正态分布

连续变量的概率密度函数分布函数3.频率分布表和频率分布图第十六页，共四十一页，编辑于2023年，星期六一.

连续变量

定义：X为连续变量,若存在非负可积函数f(x),满足

则称

f(x)为X的概率密度函数.第十七页，共四十一页，编辑于2023年，星期六1.几何意义：X落在a,b之间的概率为

表示密度曲线下方从a到b

的曲边梯形面积.注：第十八页，共四十一页，编辑于2023年，星期六为连续变量X的分布函数.定义.设X为连续变量，称性质1.F(x)

3.

几何意义:

等于曲线与x轴间平面图形在点x处左边部分的面积。第十九页，共四十一页，编辑于2023年，星期六二

连续变量的概率分布许多微小独立因素综合作用,称为随机误差概型.

应用模型：例如

(1)正常人的血压值也不完全相同；

(2)同一批号的中成药丸的重量精确来说也不完全相同.1.

正态分布第二十页，共四十一页，编辑于2023年，星期六定义.

若随机变量X的概率密度函数为其中，则称X服从参数为和的

正态分布.记为：其分布函数为：～第二十一页，共四十一页，编辑于2023年，星期六为一条“中间大、两头小、两侧对称”特点的曲线

对称轴拐点拐点例

X～N(1.4,0.25)，求P(1<X<2)1.密度曲线为单峰钟形2.峰点3.拐点x第二十二页，共四十一页，编辑于2023年，星期六2标准正态分布

定义2

N(0,1)

称为标准正态分布

1.密度曲线是关于纵轴对称的单峰钟形2.峰点(0,0.4)3.拐点(±1,0.24)

密度函数：分布函数：第二十三页，共四十一页，编辑于2023年，星期六3.利用密度曲线对称性：

-xx0计算：1.标准正态分布函数Φ(x)，查统计用表2

思考：如何转换正态分布为标准正态分布呢？练习：2.密度函数第二十四页，共四十一页，编辑于2023年，星期六～定理2

可构成标准正态变量：称u式为标准化变换式～注

1.可用于计算第二十五页，共四十一页，编辑于2023年，星期六例3-4：某高校高考采用标准化计分方法，并认为考生成绩近似服从正态分布，如果该省的本科生录取率为42.8%，问该省本科生录取分数线应该划定在多少分数线上？第二十六页，共四十一页，编辑于2023年，星期六例已知

，X以95%概率落入μ对称区间(2)

用于求正常值范围即，求m值X的95%正常值范围(μ-1.96σ,μ+1.96σ),(μ±1.96σ)

同理：X的99%正常值范围(μ-2.58σ,μ+2.58σ),(μ±2.58σ)

95%正常值范围21±1.96×2.3=(16.5，25.5)(mm)某人脉幅在范围外则可怀疑异常,失误概率不超过5%

某地区成年男子正常脉振幅X(mm)～

第二十七页，共四十一页，编辑于2023年，星期六3.频率分布表和频率分布图493488483490454435412437334495519549525553585632395415451453485481490497503436547524551598400418441451487481492497505512537522554385402411439448490466467498507517546532575593404431446441480465482498505515542536573429443449485468481500510505544534578524449451470470478502512503544525568415458458487471476502517507549524564569541534498515497473475480456456490410461454470473478493514512541544558554378531500509495483470485417500517503534546416520例某地148名正常人血糖数据（单位mmol/l),分析其分布规律.⑴血糖数据最大值为632，最小值为334第二十八页，共四十一页，编辑于2023年，星期六⑵把包含血糖数据的区间等分为8至15个小区间(10个)

区间宽度d=(632-334)/10=29.8≈30⑶记录各小区间内血糖数据的频数及计算频率(频率分布表）组序①组距d＝30②频数m③频率fn④频率密度fn/d⑤1～36210.67570.02252～39221.35140.04503～422128.10810.27034～4521610.81080.36045～4822818.91890.63066～5123926.35140.87847～5422617.56760.58568～5721711.48650.38299～60264.05410.135110～63210.67570.0225合计148100第二十九页，共四十一页，编辑于2023年，星期六⑷以小区间长为底、相应频率（或频率密度)为高作矩形，称为样本的直方图

直方图上缘形成一条“中间大、两头小、两侧对称”的正态特点曲线第三十页，共四十一页，编辑于2023年，星期六3.2

随机变量的趋势描述一.随机变量的数字特征

1.

随机变量的总体均数（数学期望）

2.

随机变量的方差二.随机变量的相对标准差（变异系数）第三十一页，共四十一页，编辑于2023年，星期六1.总体均数

例设X表示某人射击成绩.共射击N次，其中求该人的平均成绩.第三十二页，共四十一页，编辑于2023年，星期六频率有权衡样本值地位的作用,上述平均值是以频率为权数的加权平均.第三十三页，共四十一页，编辑于2023年，星期六意义：均数描述随机变量的集中趋势，反映随机变量总体的平均水平，也称为总体均数.

性质：在C为常数，X、Y为随机变量时，1.E(C)＝C，2.E(CX)＝CEX，3.E(X±Y)＝EX±EY

4.E(XY)=EX*EY(X,Y独立）定义3-9

X为离散变量,概率分布为X为连续变量,(k=1,2,…,n,…)第三十四页，共四十一页，编辑于2023年，星期六例中韩两队进行射箭比赛，所得分数分别记为X和Y，概率分布分别为试评定他们成绩的好坏.第三十五页，共四十一页，编辑于2023年，星期六例

甲、乙两名药工包装同一散剂，称量每次所包装的各包散剂的重量(g)分别用X、Y表示,如何评定甲乙两个药工的称量技术？

重量(g)P(X＝k)P(Y＝k)480.10.2490.10.2500.60.2510.10.2520.10.2甲称量的平均克数为

EX＝48×0.1＋49×0.1＋50×0.6

＋51×0.1＋52×0.1＝50g乙称量的平均克数为EY＝48×0.2＋49×0.2＋50×0.2

＋51×0.2＋52×0.2＝50g只有随机变量的均数EX不足以完全评价甲、乙两药工的称量技术的高低，还必须考虑随机变量的取值偏离均数EX的程度.

第三十六页，共四十一页，编辑于2023年，星期六定义3-11

离差平方的均数称X的方差，记为

DX＝E(X－EX)2

方差DX的算术平方根称为标准差意义：方差描述随机变量的取值与均数的离散程度,反映随机变量的稳定性，也称为总体方差.2.总体方差D(C)＝0，D(CX)＝C2DX，D(X±Y)＝DX＋DY

性质：

在C为常数，X、Y独立时第三十七页，共四十一页，编辑于2023年，星期六DX＝EX2－(EX)2解：DX＝1DY＝2说明两药工称量技术存在差异，甲比乙稳定。EX＝EY=50g例

甲、乙两名药工包装同一散剂，称量每次所包装的各包散剂的重量(g)分别用X、Y表示，求甲、乙两药工称量的方差.重量(g)P(X＝k)P(Y＝k)480.10