推荐学习高考数学一轮复习第3章三角函数解三角形第6讲函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数

生活的色彩就是学习生活的色彩就是学习K12的学习需要努力专业专心坚持K12的学习需要努力专业专心坚持生活的色彩就是学习K12的学习需要努力专业专心坚持第6讲函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用1．函数y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，π))上的简图是()解析：选A.令x＝0，得y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)))＝－eq\f(\r(3),2)，排除B，D.由feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)))＝0，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))＝0，排除C.2.(2015·高考陕西卷)如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sin(eq\f(π,6)x＋φ)＋k.据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为()A．5 B．6C．8 D．10解析：选C.根据图像得函数的最小值为2，有－3＋k＝2，k＝5，最大值为3＋k＝8.3．函数f(x)＝tanωx(ω>0)的图像的相邻两支截直线y＝2所得线段长为eq\f(π,2)，则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))的值是()A．－eq\r(3) B.eq\f(\r(3),3)C．1 D.eq\r(3)解析：选D.由题意可知该函数的周期为eq\f(π,2)，所以eq\f(π,ω)＝eq\f(π,2)，ω＝2，f(x)＝tan2x，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))＝taneq\f(π,3)＝eq\r(3).4.(2016·辽宁省五校联考)函数f(x)＝sin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(其中\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(φ))<\f(π,2)，ω>0))的图像如图所示，为了得到y＝sinωx的图所以x＝eq\f(π,12)是f(x)的对称轴，即eq\f(T,4)＝eq\f(7π,12)－eq\f(π,12)＝eq\f(π,2)，所以T＝2π，即ω＝1.答案：110．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y＝a＋Acoseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)（x－6）))(x＝1，2，3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28℃，12月份的月平均气温最低，为18℃，则10月份的平均气温为________℃.解析：依题意知，a＝eq\f(28＋18,2)＝23，A＝eq\f(28－18,2)＝5，所以y＝23＋5coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)（x－6）))，当x＝10时，y＝23＋5coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)×4))＝20.5.答案：20.511．已知函数y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3))).(1)求它的振幅、最小正周期、初相；(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图像．解：(1)y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))的振幅A＝2，最小正周期T＝eq\f(2π,2)＝π，初相φ＝eq\f(π,3).(2)令X＝2x＋eq\f(π,3)，则y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))＝2sinX.列表：x－eq\f(π,6)eq\f(π,12)eq\f(π,3)eq\f(7π,12)eq\f(5π,6)X0eq\f(π,2)πeq\f(3π,2)2πy＝sinX010－10y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))020－20描点画图：1．已知函数f(x)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x＋\f(π,3)))，其中x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，m))，若f(x)的值域是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，－\f(\r(3),2)))，则m的取值范围是________．解析：画出函数图像，由x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，m))，可知eq\f(5π,6)≤3x＋eq\f(π,3)≤3m＋eq\f(π,3)，因为feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))＝coseq\f(5π,6)＝－eq\f(\r(3),2)且feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,9)))＝cosπ＝－1，要使f(x)的值域是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，－\f(\r(3),2)))，只要eq\f(2π,9)≤m≤eq\f(5π,18)，即m的取值范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2π,9)，\f(5π,18))).答案：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2π,9)，\f(5π,18)))2．(2016·济南模拟)已知函数f(x)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋x))·coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－x))－sinxcosx＋eq\f(1,4).(1)求函数f(x)的最小正周期和最大值；(2)求函数f(x)的递增区间．解：(1)因为f(x)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋x))·coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－x))－eq\f(1,2)sin2x＋eq\f(1,4)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)cosx－\f(\r(3),2)sinx))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)cosx＋\f(\r(3),2)sinx))－eq\f(1,2)sin2x＋eq\f(1,4)＝eq\f(1,4)cos2x－eq\f(3,4)sin2x－eq\f(1,2)sin2x＋eq\f(1,4)＝eq\f(1＋cos2x,8)－eq\f(3－3cos2x,8)－eq\f(1,2)sin2x＋eq\f(1,4)＝eq\f(1,2)(cos2x－sin2x)＝eq\f(\r(2),2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))，所以函数f(x)的最小正周期为T＝π，函数f(x)的最大值为eq\f(\r(2),2).(2)由2kπ－π≤2x＋eq\f(π,4)≤2kπ，k∈Z，得kπ－eq\f(5π,8)≤x≤kπ－eq\f(π,8)，k∈Z，所以函数f(x)的单调递增区间为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ－\f(5π,8)，kπ－\f(π,8)))，k∈Z.3．(2016·赣州十三县(市)高三联考)函数f(x)＝6cos2eq\f(ωx,2)＋eq\r(3)sinωx－3(ω＞0)在一个周期内的图像如图所示，A为图像的最高点，B，C为图像与x轴的交点，且△ABC为正三角形．(1)求ω的值及函数f(x)的值域；(2)若f(x0)＝eq\f(8\r(3),5)，且x0∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(10,3)，\f(2,3)))，求f(x0＋1)的值．解：(1)由已知得：f(x)＝6cos2eq\f(ωx,2)＋eq\r(3)sinωx－3＝3cosωx＋eq\r(3)sinωx＝2eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,3)))，又由于正三角形ABC的高为2eq\r(3)，则BC＝4，所以函数f(x)的周期T＝4×2＝8，即eq\f(2π,ω)＝8，所以ω＝eq\f(π,4)，函数f(x)的值域为[－2eq\r(3)，2eq\r(3)]．(2)因为f(x0)＝eq\f(8\r(3),5)，由(1)有f(x0)＝2eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(πx0,4)＋\f(π,3)))＝eq\f(8\r(3),5)，即sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(πx0,4)＋\f(π,3)))＝eq\f(4,5)，由x0∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(10,3)，\f(2,3)))，得eq\f(πx0,4)＋eq\f(π,3)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，所以coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(πx0,4)＋\f(π,3)))＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))\s\up12(2))＝eq\f(3,5).故f(x0＋1)＝2eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(πx0,4)＋\f(π,4)＋\f(π,3)))＝2eq\r(3)sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(πx0,4)＋\f(π,3)))＋\f(π,4)))＝2eq\r(3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs