苏科版九年级数学上册 培优训练第1章《一元二次方程》单元复习卷含答案

苏科版九年级数学上册培优训练第1章《一元二次方程》单元复习卷一、选择题1、下列关于x的方程：①ax2+bx+c＝0；②+－3＝0；③x2﹣4+x5＝0；④3x＝x2．其中是一元二次方程的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2、方程（m–2）x2+3mx+1=0是关于x的一元二次方程，则（）A．m≠±2 B．m=2 C．m=–2 D．m≠23、若n（）是关于x的方程的根，则m+n的值为（）A．1 B．2 C．-1 D．-24、将一元二次方程﹣3x2﹣2＝﹣4x化成一般形式ax2+bx+c＝0（a＞0）后，一次项和常数项分别是（）A．﹣4，2 B．4x，﹣2 C．﹣4x，2 D．3x2，25、a是方程x2+x﹣1＝0的一个根，则代数式﹣2a2﹣2a+2020的值是（）A．2018 B．2019 C．2020 D．20216、一元二次方程配方后可化为()A． B． C． D．7、关于x的方程ax2+（1﹣a）x﹣1＝0，下列结论正确的是（）A．当a＝0时，方程无实数根 B．当a＝﹣1时，方程只有一个实数根 C．当a＝1时，有两个不相等的实数根 D．当a≠0时，方程有两个相等的实数根8、等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于x的方程x2﹣4x+k＝0的两个根，则k的值为（）A．3 B．4 C．3或4 D．79、某商场台灯销售的利润为每台40元，平均每月能售出600个．这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个．为了实现平均每月10000元的销售利润，台灯的售价是多少？若设每个台灯涨价元，则可列方程为（）A． B．C． D．10、某超市一月份的营业额为200万元，三月份的营业额为288万元，如果每月比上月增长的百分数相同，则平均每月的增长率为（）A．10% B．15% C．20% D．25%二、填空题11、若关于x的方程()－7＝0是一元二次方程，则a＝．12、已知方程x2﹣3x+m＝0与方程x2+（m+3）x﹣6＝0有一个共同根，则这个共同根是_____．13、已知实数x满足（x2﹣x）2﹣2（x2﹣x）﹣3＝0，则代数式x2﹣x+2020的值为．14、已知三角形两边的长分别是和，第三边的长是方程的根，则这个三角形的周长是___15、关于x的一元二次方程（a+1）x2﹣2x+3=0有实数根，则整数a的最大值是_____________．16、设a、b是方程x2＋x－2019＝0的两个实数根，则a2＋2a＋b的值为___________．17、若关于x的一元二次方程(k－1)x2＋4x＋1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是________18、若，，则以，为根的一元二次方程是（）A．B．C．D．19、设，是方程的两实数根，则的值是___________．20、某小区2010年屋顶绿化面积为2000平方米，计划2012年屋顶绿化面积要达到2880平方米．如果每年屋顶绿化面积的增长率相同，那么这个增长率是_________．三、解答题21、用指定的方法解下列方程：（1）4（x﹣1）2﹣36＝0（直接开平方法）（2）2x2﹣5x+1＝0（配方法）（3）（x+1）（x﹣2）＝4（公式法）（4）2（x+1）﹣x（x+1）＝0（因式分解法）22、解方程．（1）（2）（3）（（4）．23、已知关于x的一元二次方程（a+b）x2+2cx+（b﹣a）＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．（1）如果x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．24、如图，要建一个面积为150平方米的长方形仓库，仓库的一边靠墙，这堵墙的长为18米，在与墙平行的一边，要开一扇3米宽的门，已知围建仓库的现有木板材料可使新建板墙的总长为32米，那么这个仓库与墙垂直的一边应长多少米？25、果农田丰计划将种植的草莓以每千克15元的单价对外批发销售，由于部分果农盲目扩大种植，造成该草莓滞销．为了加快销售，减少损失，田丰对价格进行两次下调后，以每千克9.6元的单价对外批发销售．（1）如果每次价格下调的百分率相同，求田丰每次价格下调的百分率；（2）小李准备到田丰处购买3吨该草莓，因数量多，田丰准备再给予两种优惠方案供选择：方案一：打九折销售；方案二：不打折，每吨优惠现金400元．试问小李选择哪种方案最优惠？请说明理由．26、一商店销售某种商品，平均每天可售出12件，每件盈利20元．为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于15元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．（1）若每件商品降价2元，则平均每天盈利多少元？（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天的盈利为320元？

27、如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点P从点A出发沿边AC向点C以1cm/s的速度移动，点Q从C点出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动.(1).如果P、Q同时出发，几秒钟后，可使△PCQ的面积为8平方厘米？(2).点P、Q在移动过程中，是否存在某一时刻，使得△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半.若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由.28、淘宝网举办“双十一”购物活动许多商家都会利用这个契机进行打折让利的促销活动．甲网店销售的A商品的成本为30元/件，网上标价为80元/件．（1）“双十一”购物活动当天，甲网店连续两次降价销售A商品吸引顾客，问该店平均每次降价率为多少时，才能使A商品的售价为39.2元/件？（2）据媒体爆料，有一些淘宝商家在“双十一”购物活动当天先提高商品的网上标价后再推出促销活动，存在欺诈行为．“双十一”活动之前，乙网店销售A商品的成本、网上标价与甲网店一致，一周可售出1000件A商品．在“双十一”购物活动当天，乙网店先将A商品的网上标价提高a%，再推出五折促销活动，吸引了大量顾客，乙网店在“双十一”购物活动当天卖出的A商品数量相比原来一周增加了2a%，“双十一”活动当天乙网店的利润达到了3万元，求乙网店在“双十一”购物活动这天的网上标价．

（答案）一、选择题1、下列关于x的方程：①ax2+bx+c＝0；②+－3＝0；③x2﹣4+x5＝0；④3x＝x2．其中是一元二次方程的有（A）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可．【答案】解：一元二次方程只有④，共1个，故选：A．2、方程（m–2）x2+3mx+1=0是关于x的一元二次方程，则（）A．m≠±2 B．m=2 C．m=–2 D．m≠2【答案】D【解析】根据一元二次方程的概念，可知m-2≠0，解得m≠2.故选D3、若n（）是关于x的方程的根，则m+n的值为（）A．1 B．2 C．-1 D．-2【答案】D【分析】将n代入方程,提公因式化简即可.【解析】解：∵n()是关于x的方程的根，∴，即n(n+m+2)=0,∵∴n+m+2=0,即m+n=-2,故选D.4、将一元二次方程﹣3x2﹣2＝﹣4x化成一般形式ax2+bx+c＝0（a＞0）后，一次项和常数项分别是（）A．﹣4，2 B．4x，﹣2 C．﹣4x，2 D．3x2，2【分析】首先把﹣4x移到等号左边，把右边化为0，然后再确定答案．【答案】解：∵﹣3x2﹣2＝﹣4x，∴﹣3x2+4x﹣2＝0，则3x2﹣4x+2＝0则一次项是﹣4x，常数项是2，故选：C．5、a是方程x2+x﹣1＝0的一个根，则代数式﹣2a2﹣2a+2020的值是（）A．2018 B．2019 C．2020 D．2021【分析】根据一元二次方程根的定义得到a2+a＝1，再把﹣2a2﹣2a+2020变形为﹣2（a2+a）+2020，然后利用整体代入的方法计算．【答案】解：∵a是方程x2+x﹣1＝0的一个根，∴a2+a﹣1＝0，即a2+a＝1，∴﹣2a2﹣2a+2020＝﹣2（a2+a）+2020＝﹣2×1+2020＝2018．故选：A．6、一元二次方程配方后可化为()A． B． C． D．【答案】B【分析】配方法的一般步骤：把常数项移到等号的右边；把二次项的系数化为1；等式两边同时加上一次项系数一半的平方，据此即可求解．【解析】解：，，，故选：B．7、关于x的方程ax2+（1﹣a）x﹣1＝0，下列结论正确的是（）A．当a＝0时，方程无实数根 B．当a＝﹣1时，方程只有一个实数根 C．当a＝1时，有两个不相等的实数根 D．当a≠0时，方程有两个相等的实数根【答案】解：A、当a＝0时，方程为x﹣1＝0，解得x＝1，故当a＝0时，方程有一个实数根；不符合题意；B、当a＝﹣1时，关于x的方程为﹣x2+2x﹣1＝0，∵△＝4﹣4＝0，∴当a＝﹣1时，方程有两个相等的实数根，故不符合题意；C、当a＝1时，关于x的方程x2﹣1＝0，故当a＝1时，有两个不相等的实数根，符合题意；D、当a≠0时，△＝（1﹣a）2+4a＝（1+a）2≥0，∴当a≠0时，方程有相等的实数根，故不符合题意，故选：C．8、等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于x的方程x2﹣4x+k＝0的两个根，则k的值为（）A．3 B．4 C．3或4 D．7【答案】解：当3为腰长时，将x＝3代入x2﹣4x+k＝0，得：32﹣4×3+k＝0，解得：k＝3，当k＝3时，原方程为x2﹣4x+3＝0，解得：x1＝1，x2＝3，∵1+3＝4，4＞3，∴k＝3符合题意；当3为底边长时，关于x的方程x2﹣4x+k＝0有两个相等的实数根，∴△＝（﹣4）2﹣4×1×k＝0，解得：k＝4，当k＝4时，原方程为x2﹣4x+4＝0，解得：x1＝x2＝2，∵2+2＝4，4＞3，∴k＝4符合题意．∴k的值为3或4．故选：C．9、某商场台灯销售的利润为每台40元，平均每月能售出600个．这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个．为了实现平均每月10000元的销售利润，台灯的售价是多少？若设每个台灯涨价元，则可列方程为（）A． B．C． D．【答案】A【分析】先用含x的代数式表示出每个台灯的利润和月销售量，再根据总利润=每个台灯的利润×月销售量解答即可．【解析】解：设每个台灯涨价元，则每个台灯的利润为元，月销售量为个，根据题意列方程为：．故选：A．10、某超市一月份的营业额为200万元，三月份的营业额为288万元，如果每月比上月增长的百分数相同，则平均每月的增长率为（）A．10% B．15% C．20% D．25%【答案】C【分析】设平均每月的增长率为x，原数为200万元，后来数为288万元，增长了两个月，根据公式“原数×（1+增长百分率）2=后来数”得出方程，解出即可．【解析】设平均每月的增长率为x，

根据题意得：200（1+x）2=288，

（1+x）2=1.44，

x1=0.2=20%，x2=-2.2（舍去），

所以，平均每月的增长率为20%．

故选C．二、填空题11、若关于x的方程()－7＝0是一元二次方程，则a＝．【答案】解：∵关于x的方程（a﹣1）xa2+1﹣7＝0是一元二次方程，∴a2+1＝2，且a﹣1≠0，解得，a＝﹣1．故答案为：﹣1．12、已知方程x2﹣3x+m＝0与方程x2+（m+3）x﹣6＝0有一个共同根，则这个共同根是_____．【答案】x=1【分析】由题意设公共解，再用②-①得（m+6）（t-1）=0得出t=1.【解析】由题意设同一共同根为t，则②-①得（m+6）（t-1）=0∴当唯一公共根t=1时，两方程有公共根.13、已知实数x满足（x2﹣x）2﹣2（x2﹣x）﹣3＝0，则代数式x2﹣x+2020的值为．【答案】解：令x2﹣x＝t，∴t＝x2﹣x＝，∴t2﹣2t﹣3＝0，解得：t＝3或t＝﹣1（舍去），∴t＝3，即x2﹣x＝3，∴原式＝3+2020＝2023，故答案为：2023．14、已知三角形两边的长分别是和，第三边的长是方程的根，则这个三角形的周长是___【答案】12【分析】求出方程的解，根据三角形三边关系定理判断是否能组成三角形，再求出即可．【解析】，因式分解得，∴或，解得：，

①三角形的三边为2，5，5，符合三角形三边关系定理，即三角形的周长是2+5+5=12；

②三角形的三边为2，5，2，∵2+2=4，∴不符合三角形三边关系定理，此时不能组成三角形；

故答案为：12．15、关于x的一元二次方程（a+1）x2﹣2x+3=0有实数根，则整数a的最大值是_____________．【答案】-2【解析】根据题意得：a+1≠0且△=（-2）2-4×（a+1）×3≥0，解得a≤且a≠－1，所以整数a的最大值为－2．故答案为－2．16、设a、b是方程x2＋x－2019＝0的两个实数根，则a2＋2a＋b的值为___________．【答案】2018【分析】由根与系数的关系和一元二次方程的解得出a+b=-1，再变形a2+a-2019=0后代入，即可求出答案.【解析】解：由根与系数的关系可得：a+b=-1由题意可得：a2+a-2019=0，即a2+a=2019a2＋2a＋b=（a2＋a）+（a＋b）=-1+2019=2018故答案为2018.17、若关于x的一元二次方程(k－1)x2＋4x＋1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是________【解析】∵关于x的一元二次方程方程有两个不相等的实数根，∴，即，解得：k＜5且k≠118、若，，则以，为根的一元二次方程是（）A．B．C．D．【答案】A【分析】先对变形，再由得到，最后结合选项即可得到答案.【解析】∵，∴，而，∴，∴，∴以，为根的一元二次方程为．故选A．19、设，是方程的两实数根，则的值是___________．【答案】2020【分析】根据，是的两个实数根可得：，，根据韦达定理可得：，由于，因此．【解析】∵，是的两个实数根，代入可得：∴根据韦达定理可得：又∵∴故答案为：202020、某小区2010年屋顶绿化面积为2000平方米，计划2012年屋顶绿化面积要达到2880平方米．如果每年屋顶绿化面积的增长率相同，那么这个增长率是_________．【答案】20%【解析】本题需先设出这个增长率是x，再根据已知条件找出等量关系列出方程，求出x的值，即可得出答案．解：设这个增长率是x，根据题意得：2000×（1+x）2=2880解得：x1=20%，x2=-220%（舍去）故答案为20%．三、解答题21、用指定的方法解下列方程：（1）4（x﹣1）2﹣36＝0（直接开平方法）（2）2x2﹣5x+1＝0（配方法）（3）（x+1）（x﹣2）＝4（公式法）（4）2（x+1）﹣x（x+1）＝0（因式分解法）【分析】（1）方程变形后，利用平方根的定义开方即可求出解；（2）方程常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并，开方即可求出解；（3）方程整理为一般形式，找出a，b，c的值，当根的判别式大于等于0时，代入求根公式即可求出解；（4）方程左边提取公因式化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．【答案】解：（1）方程变形得：（x﹣1）2＝9，开方得：x﹣1＝3或x﹣1＝﹣3，解得：x1＝4，x2＝﹣2；（2）方程变形得：x2x=，配方得：x2x=（x）2=，开方得：x±，则（3）方程整理得：x2﹣x﹣6＝0，这里a＝1，b＝﹣1，c＝﹣6，∵△＝1+24＝25，∴x=，则x1＝3，x2＝﹣2；（4）分解因式得：（x+1）（2﹣x）＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝2．22、解方程．（1）（2）（3）（（4）．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）.【分析】（1）利用直接开平方法解方程；（2）利用公式法解方程；（3）先移项得到（2x+1）2-3（2x+1）=0，然后利用因式分解法解方程；（4）利用因式分解法解方程．【解析】解：（1）3x+2=±5，解得；（2）3x2-4x-1=0，△=（-4）2-4×3×（-1）=28，所以；（3）（2x+1）2-3（2x+1）=0，（2x+1）（2x+1-3）=0，2x+1=0或2x+1-3=0，解得；（4）（x-2）（x-5）=0，x-2=0或x-5=0，解得x1=2，x2=5．23、已知关于x的一元二次方程（a+b）x2+2cx+（b﹣a）＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．（1）如果x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．【分析】（1）将x＝﹣1代入方程中，化简即可得出b＝c，即可得出结论；（2）利用一元二次方程有两个相等的实数根，用△＝0建立方程，即可得出a2+c2＝b2，进而得出结论；（3）先判断出a＝b＝c，再代入化简即可得出方程x2+x＝0，解方程即可得出结论．【答案】解：（1）△ABC是等腰三角形，理由：当x＝﹣1时，（a+b）﹣2c+（b﹣a）＝0，∴b＝c，∴△ABC是等腰三角形，（2）△ABC是直角三角形，理由：∵方程有两个相等的实数根，∴△＝（2c）2﹣4（a+b）（b﹣a）＝0，∴a2+c2＝b2，∴△ABC是直角三角形；（3）∵△ABC是等边三角形，∴a＝b＝c，∴原方程可化为：2ax2+2ax＝0，即：x2+x＝0，∴x（x+1）＝0，∴x1＝0，x2＝﹣1，即：这个一元二次方程的根为x1＝0，x2＝﹣1．24、如图，要建一个面积为150平方米的长方形仓库，仓库的一边靠墙，这堵墙的长为18米，在与墙平行的一边，要开一扇3米宽的门，已知围建仓库的现有木板材料可使新建板墙的总长为32米，那么这个仓库与墙垂直的一边应长多少米？【答案】10米【分析】设垂直于墙的一边长为米，结合题意可得到平行于墙的一边长为米，再通过面积150平方米列出等式，从而计算得到答案．【解析】设垂直于墙的一边长为米，则平行于墙的一边长为米，由题意得∴∴，当时，当时，（不符合题意，舍去）∴这个仓库与墙垂直的一边应长10米．25、果农田丰计划将种植的草莓以每千克15元的单价对外批发销售，由于部分果农盲目扩大种植，造成该草莓滞销．为了加快销售，减少损失，田丰对价格进行两次下调后，以每千克9.6元的单价对外批发销售．（1）如果每次价格下调的百分率相同，求田丰每次价格下调的百分率；（2）小李准备到田丰处购买3吨该草莓，因数量多，田丰准备再给予两种优惠方案供选择：方案一：打九折销售；方案二：不打折，每吨优惠现金400元．试问小李选择哪种方案最优惠？请说明理由．【答案】（1）田丰每次价格下调的百分率是20%；（2）小李选择方案一购买更优惠．【分析】（1）设出平均每次下调的百分率，根据从15元下调到9.6列出一元二次方程求解即可；（2）根据优惠方案分别求得两种方案的费用后比较即可得到结果．【解析】（1）设田丰每次价格下调的百分率为x．由题意得：15（1﹣x）2=9.6．解这个方程，得：x1=0.2，x2=1.8．因为降价的百分率不可能大于1，所以x2=1.8不符合题意，符合题目要求的是x1=0.2=20%．答：田丰每次价格下调的百分率是20%．（2）小李选择方案一购买更优惠．理由：方案一所需费用为：9.6×0.9×3000=25920（元），方案二所需费用为：9.6×3000﹣400×3=27600（元）．∵25920＜27600，∴小李选择方案一购买更优惠．26、一商店销售某种商品，平均每天可售出12件，每件盈利20元．为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于15元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．（1）若每件商品降价2元，则平均每天盈利多少元？（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天的盈利为320元？【答案】（1）288元；（2）4元【分析】（1）根据销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，可得若降价2元，则平均每天可多售出2×2=4（件），即平均每天销售数量为20+4=24（件）；（2）利用商品平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售这种商品利润列出方程解答即可．【解析】解：（1）根据销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，可得若降价2元，则平均每天可多售出2×2=4（件），即平均每天销售数量12+4=16（件），利润为：18×16=288，∴平均每天盈利288元；（2）设每件商品降价x元时，该商品每天的销售利润为320元，由题意得：（20-x）（12+2x）=320，整理得：-14x+40=0，∴（x-4）（x-10）=0，∴x1=4，x2=10，∵每件盈利不少于15元，∴x2=10应舍去．答：每件商品降价4元时，该商品每天的销售利润为320元．27、如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点P从点A出发沿边AC向点C以1cm/s的速度移动，点Q从C点出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动.(1).如果P、Q同时出发，几秒钟后，可使△PCQ的面积为8平方厘米？(2).点P、Q在移动过程中，是否存在某一时刻，使得△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半.若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由.【答案】(1)、2s或4s