第1节GGB视角下的函数性质探究-GeoGebra高中数学实验探究与应用教程

第三章实验视角下的函数研究（上）如前文所说，高中数学在某些章节是较为抽象的，函数就是其中比较突出的代表．抽象意味着难懂，意味着只凭听讲，感受不深．如何提高学生对数学知识的理解水平？让学生动手触摸数学是种行之有效的方法．通过实验，可以有效突破学习中的重难点；通过实验，可以弄清知识的来龙去脉，从而完成知识的内化，完善知识体系的建构；更重要的是实验的视角将为数学学习带来全新的体验，它将提升学生的学习兴趣、实践能力，从而促进学生综合素养的提高．在本章节，将通过若干典型案例，谈谈实验视角下的函数研究．第1节GGB视角下的函数性质探究函数性质是函数的重要研究对象，高中数学主要涉及的有单调性、奇偶性和周期性．无论其中哪一个性质，对于初学者都具有一定的抽象性，对于这些性质的理解、掌握和灵活应用都有较大的难度．为了降低学习难度，本节尝试着引导学生在GGB的视角下对这三个性质进行探究．【实验1】函数单调性探究函数单调性通常是函数学习时遇到的第一个函数性质，教材从具体函数入手，用形象的语言对学生作了充分的引导，在此基础上生成单调性的定义．这种处理方式对于纸质文本来说应该是最适当的，很容易被学生理解和接受．为了降低学生的理解难度，如能利用GGB课件辅助教学将达到更好的效果．【探究步骤】1.在指令栏内输入“函数”，作出的函数图象；2.在工具栏内点击“参数”工具，在弹出对话框中设置参数，范围为，并在属性参数中设置为“随机”；3.在指令栏内输入“”，得到点；4.用同样的方法，重复步骤2和步骤3，设置参数，并得到点；5.在工具栏内点击“直线”工具，而后依次点击，得到直线；6.测量直线的斜率；7.右键点击代数区中的，在菜单中依次打开“开启动画”．因为设置了参数的取值是中的随机数，所以这样得到的点将是的随机点．我们可以引导学生发现，无论点和点在图象上的哪个位置，都有直线的斜率大于0.也就是说对于中的任意，只要，都有．【说明】为更好地说明问题，本书将适当展示教材对某些问题的处理方式，或某些知识的展现方法．【拓展探究1】在函数单调递增定义中，涉及了三个要素：（１）；（２）；（３）函数单调递增．通过【实验1】的研究，已经得出结论：如果（１）和（２）成立，则（３）必然成立．那么能否得到以上三个要素，只要任意两个成立都可以得到第３个成立呢？【拓展探究２】仿照函数单调递增定义，研讨函数单调递减定义．【实验2】函数奇偶性探究教材在研讨函数奇偶性时通常从函数图象出发，在关于轴对称的图象（如）上，让自变量取一对相反数，得到它们对应的函数值都相等，从而得到对于定义域内的任一个，都有．为使这个定义更加形象，更易于理解，我们可以在GGB视角下研讨这个问题．【探究步骤】1.在指令栏输入“函数”，作出的函数图象；2.在图象上任取一点；3.点击工具栏中的“轴对称”工具，而后依次点击点和轴，得到点关于轴对称的点；4.拉动点，引导学生观察，无论点如何运动，它关于轴对称的点总在图象上．考虑到关于轴对称的两点其横坐标互为相反数，而纵坐标相等，由此可以得到对于定义域内的任一个，都有．【拓展探究3】仿照偶函数定义，研讨奇函数定义．【拓展探究4】函数图象关于原点对称是种典型的中心对称，关于轴对称是种典型的轴对称，如果函数图象的对称中心为点，那么它的解析式应该满足怎样的关系？如果函数图象的对称轴为直线，它的解析式又应该满足怎样的关系呢？读者可以利用GGB自行对上述问题进行探究．此外，函数图象的对称轴能是直线吗？为什么？【实验3】函数周期性定义探究函数的周期性在图象上体现为函数图象每隔相等距离就会重复出现的特性，教材通常以正弦函数为例，引导学生通过观察探究，得到对于定义域中的任一个，如果存在不等于０的常数，使得，则称为周期函数，称为函数的一个周期．为增加讲解的形象性和严谨性，可以制作GGB课件，在教学中加以辅助．【探究步骤】1.在绘图区空白处单击右键，进入菜单中“绘图区…”，在参数设置对话框中设置轴的单位为；2.在指令栏输入“”，得到图象；3.在图象上任取一点；4.在指令栏内输入“”，得到点，连结线段；5.拉动点，可以观察到：无论点在什么位置，点总在函数图象上，直线轴，且线段的长度总是保持不变．即对于任意的，总有．从而证明了是一个周期函数，是它的一个周期．【实验4】函数性质综合探究已知定义在上的函数满足，且对于任意的，都有，试求时，的解析式．【探究步骤】1.通过GGB课件理清的含义．首先研究，具体探究步骤如下：（1）为方便研究，不妨设对应的函数值为，在指令栏内分别输入“”和“”，设定参数的取值范围为默认范围，从而在绘图区作出点和点；（2）对点和点开启跟踪；（3）拉动滑杆，观察点和点的位置关系．【说明】1.课件制作时，为确保点和点纵坐标相等，点的纵坐标直接设定为，而不是．可以发现，此种情形下点和点关于直线对称，因为对于任意的，都有，这就表明的图象关于直线对称．类似的，对展开研究，可得的图象关于点对称．2.作出函数图象，并依据图象关于直线成轴对称，且关于点成中心对称，作出其余部分图象（如图3.1-1）；图图3.1-13.观察图象，可得是以８为周期的周期函数；4.根据周期函数的定义，求出时，的解析式．求解如下：对于，，又时，，故又是以8为周期的周期函数，故【说明】1.“若函数图象关于直线成轴对称，关于点成中心对称，则是周期为８的周期函数”．此结果我们是用数学实验的方法得到的，这一做法从数学研究层面看是不够严密的．数学实验能够提供的是直观的观察结果，但观察可能存在误差，所以观测结果必须通过严格的数学证明才能被采信．2.限于篇幅，关