灰色模型讲义

灰色模型讲义第一页，共八十七页，编辑于2023年，星期日一、灰色系统理论的产生与应用

1982年我国学者邓聚龙先生创立了灰色系统理论，目前许多国家及国际组织的知名学者从事灰色系统的理论和应用研究工作。灰色系统理论应用于工业、农业、社会、经济、能源、交通、地质、石油、气象、水利等众多领域，成功地解决了大量的实际问题。第一章：灰色系统的概念与基本原理第二页，共八十七页，编辑于2023年，星期日二、灰色系统与几种不确定问题方法的比较。

模糊数学着重研究“认知不确定”问题，其研究对象具有“内涵明确，外延不明确”的特点。主要凭借经验，借助于隶属函数进行处理。

概率统计研究的是“随机不确定”现象的历史统计规律，考察具有多种可能发生的结果之“随机不确定”现象中每一种结果发生的可能性的大小，其出发点是，大样本，且对象服从某种典型分布。灰色系统研究的是“部分信息明确，部分信息未知”第三页，共八十七页，编辑于2023年，星期日的“小样本，贫信息”不确定性系统，它通过对已知“部分”信息的生成去开发了解、认识现实世界。着重研究“外延明确，内涵不明确”的对象。项目灰色系统概率统计模糊数学研究对象贫信息不确定随机不确定认知不确定基础集合灰色朦胧集康托集模糊集方法依据信息覆盖映射映射途径手段灰序列生成频率分布截集数据要求任意分布典型分布隶属度可知侧重内涵内涵外延目标现实规律历史统计规律认知表达特色小样本大样本凭借经验第四页，共八十七页，编辑于2023年，星期日2050年中国人口控制在15亿到16亿之间第五页，共八十七页，编辑于2023年，星期日树高在20米至30米第六页，共八十七页，编辑于2023年，星期日第七页，共八十七页，编辑于2023年，星期日第三章序列算子与灰色序列生成•灰色系统理论是通过对原始数据的整理来寻求其变化规律的,这是一种就数据寻找数据的现实规律的途径,称之为灰色序列生成•一切灰色序列都可以通过某种生成弱化其随机性,显现规律性.•算子

是处理数据的一种方法。

第八页，共八十七页，编辑于2023年，星期日定义3.1.3（序列算子的定义）设X为系统行为数据序列，D为作用于X的算子，X经过算子D的作用后所得序列记为称D为序列算子，称XD为一阶算子作用序列。序列算子的作用可以进行多次，相应的若皆为序列算子，则称为二阶算子，为三阶算子，为二阶算子作用序列，为三阶算子作用序列。3.1序列算子第九页，共八十七页，编辑于2023年，星期日定义3.2.5设序列若则称为紧邻均值生成数，由紧邻均值生成数构成的序列称为紧邻均值生成序列。在GM建模，常用紧邻信息的均值生成，它是以原始序列为基础构造新序列的方法。注意：设为n元序列，Z为X的紧邻均值生成序列，则Z为元序列：无法由X生成z(1).3.2均值生成第十页，共八十七页，编辑于2023年，星期日3.5累加生成算子和累减生成算子定义3.5.1设为原始序列D为序列算子，其中则称D为的一次累加生成算子，记为1-AGO（AccumulatingGenerationOperator),称r阶算子为的r次累加生成算子，记为r-AGO,习惯上，我们记第十一页，共八十七页，编辑于2023年，星期日其中定义3.5.2设为原始序列，D为序列算子，其中，则称D为的一次累减生成算子，r阶算子称为的r次累减生成算子。定理3.5.1累减算子是累加算子的逆算子。第十二页，共八十七页，编辑于2023年，星期日第十三页，共八十七页，编辑于2023年，星期日一般的抽象系统都包含有许多影响因素，多种因素共同作用的结果决定了系统的发展态势。我们希望从众多的因素中判断出，哪些是主要因素、哪些是次要因素。这些属于系统分析的内容，数理统计中的回归分析、方差分析、主成分分析等都可以用来进行系统分析。这些方法的不足之处是：1、要求有大量的数据。2、要求样本服从某一种典型概率分布，各因素数据与系统特征数据之间呈线性关系且个因素之间彼此无关。3、计算量大，4、可能出现量化结果与定性分析结果不符的情况。第十四页，共八十七页，编辑于2023年，星期日灰色关联分析方法的基本思想是根据序列曲线几何形状的相似程度来判断其联系是否紧密，曲线越接近，相应序列之间的关联度就越大，反之就越小。对一个抽象系统或现象进行分析，首先要选准反映系统行为特征的数据序列。我们称之为找系统行为的映射量，用映射量来间接地表征系统行为。比如：国民平均受教育的年限教育的发达程度刑事案件的发案率社会治安面貌和社会秩序第十五页，共八十七页，编辑于2023年，星期日4.1灰色关联因素和关联算子集定义4.1.1设为系统因素，其在序号k上的观测数据为则称为因素的行为序列；若k为时间序号，为因素在k时刻的观测数据，则称为因素的行为时间序列；若k为指标序号，为因素关于第k个指标的观测数据，则称为因素的行为指标序列。若k为观测对象序号，为因素关于第k个对象的观测数据，则称为因素的行为横向序列第十六页，共八十七页，编辑于2023年，星期日无论是时间序列数据、指标序列数据还是横向序列数据，都可以用来做关联分析。定义4.1.2设为因素的行为序列，为序列算子，且其中则称为初值化算子，为原像，为在初值化算子下的像，简称初值像。第十七页，共八十七页，编辑于2023年，星期日定义4.1.4设为因素的行为序列，为序列算子，且其中则称为均值化算子，为在均值化算子下的像，简称均值像。

第十八页，共八十七页，编辑于2023年，星期日定义4.1.4设为因素的行为序列，为序列算子，且其中则称为区间化算子，为区间值像。命题4.1.1初值化算子、均值化算子和区间值化算子皆可以使系统行为序列无量纲化，且在数量上规一。一般地，不宜混合、重叠使用。第十九页，共八十七页，编辑于2023年，星期日定义4.1.5设为因素的行为序列，为序列算子，且其中则称为逆化算子，为在逆化算子下的像，简称逆化像。第二十页，共八十七页，编辑于2023年，星期日定义4.1.6设为因素的行为序列，为序列算子，且其中则称为倒数化算子，为倒数化像。命题4.1.3若系统因素与系统主行为呈负相关关系，则的逆化算子作用像和倒数化作用像与具有正相关关系。第二十一页，共八十七页，编辑于2023年，星期日4.3灰色关联公理与灰色关联度命题4.3.1设系统特征行为序列为增长序列，为相关因素行为序列，则有1、当为增长序列时，与为正相关关系；2、当为衰减序列时，与为负相关关系。由于负相关序列可以通过4.1节中定义的逆化算子或倒数化算子作用转化为正相关序列，所以我们主要研究非负的相关关系。第二十二页，共八十七页，编辑于2023年，星期日定义4.3.3设为系统特征序列，且为相关因素序列，第二十三页，共八十七页，编辑于2023年，星期日给定实数，若实数满足1、规范性2、整体性对于有3、偶对称性=第二十四页，共八十七页，编辑于2023年，星期日4、接近性越小，越大。则称为对的灰色关联度，以上4条称为灰色关联四公理。表明系统中的任何两个行为序列都不可能时严格无关联的。整体性则体现了环境对灰色关联比较的影响，环境不同，灰色关联度亦随之变化。偶对对称性表明，当灰色关联因子集中只有两个序列时，两两比较满足对称性。接近性是对关联度量化的约束。第二十五页，共八十七页，编辑于2023年，星期日定理4.3.2设系统行为序列对于令第二十六页，共八十七页，编辑于2023年，星期日则称满足灰色关联四公理，其中为分辨系数。灰色关联度的计算步骤：1、求各序列的初值像（或均值像），令2、求差序列，记3、求两极最大差与最小差，记第二十七页，共八十七页，编辑于2023年，星期日4、求关联系数5、计算关联度第二十八页，共八十七页，编辑于2023年，星期日应用研究☆一级男子百米运动员身体素质与运动成绩的灰色关联度分析选择100米作为研究项目,依据灰色关联度分析原理,揭示一级水平男子百米运动员的各项身体素质、各类型素质与运动成绩之间的关联度;针对训练实践中对身体素质认识上的模糊,提出相应的训练策略,旨在对提高运动成绩有所裨益。相关因素：行进间30米，230米，460米，5150米，立定跳远，立定三级跳，二级蛙跳，后抛铅球，仰卧起坐，坐蹲起，深蹲，前后劈叉，左右劈叉，站立体前屈，折回跑，象限跳，侧跨步。第二十九页，共八十七页，编辑于2023年，星期日应用研究☆我国铁路货物运输发展的灰色关联分析本文用灰色关联分析方法对1989～2002年我国铁路运输货运量的发展进行系统分析,探讨影响我国铁路运输货运量发展的主要因素以及各因素相对于铁路运输货运量发展的关联程度,以便为有关部门的决策者提供数据资料.影响我国铁路运输货运量发展的主要因素有:GDP、人口数量、居民消费水平、固定资产总投资及国家财政总收入等.把铁路运输货运量作为母序列X0,其影响因素作为子序列第三十页，共八十七页，编辑于2023年，星期日4.4广义灰色关联度一、绝对灰色关联度命题4.4.1设行为序列记折线为令第三十一页，共八十七页，编辑于2023年，星期日定义4.4.1设行为序列为序列算子，且其中则称D为始点零化算子，为的始点零化像，记为命题4.4.2设行为序列的始点零化像分别为第三十二页，共八十七页，编辑于2023年，星期日令则1、若恒在上方，2、若恒在下方，3、若与相交，符号不定。定义4.4.2称序列各个观测数据间时距之和为的长度。注意：长度相等的两个序列中的观测数据数量不一定相等。第三十三页，共八十七页，编辑于2023年，星期日定义4.4.3设序列与的长度相等，则称为与的灰色绝对关联度。灰色绝对关联度满足灰色关联公理中的规范性、偶对对称性与接近性，但不满足整体性。引理4.4.2设序列与的长度相同，且皆为1-时距，而分别为和的始点零化像，则第三十四页，共八十七页，编辑于2023年，星期日定理4.4.3设序列和的长度相同，当他们时距不同或至少有一个为非等时距序列时，若通过均值生成填补相应空穴使之化成时距相等的等时距序列，则此时灰色绝对关联度不变。第三十五页，共八十七页，编辑于2023年，星期日定理4.4.4灰色绝对关联度具有下列性质：1、2、只与和的几何形状有关，而与其空间相对位置无关。3、任何两个序列都不是绝对无关的，即恒不为0。4、与几何上的相似程度越大，越大。5、与的长度变化，亦变。6、当或的任一个观测数据变化，将随之变化。7、8、第三十六页，共八十七页，编辑于2023年，星期日应用研究☆登陆地域选择登陆作战中登陆地域的选择是决定能否“登得上”的主要因素之一。登陆地域选择的好坏直接影响到登陆成败、战场兵力与武器损耗的多少,以及作战价值的大小等等。因此,必须在认真分析海岸区域的地理条件和敌海岸兵力分布情况的基础上,科学地选择登陆地域。用灰色关联理论的方法来分析登陆地域选择问题,主要是提出一种新的用以解决登陆地域选择的问题的解法,即灰色关联理论的方法。第三十七页，共八十七页，编辑于2023年，星期日二、灰色相对关联度定义4.4.5设序列长度相同，且初值不等于0，分别为的初值像，则称的灰色绝对关联度为与的灰色相对关联度。记为灰色相对关联度是序列与相对于初始点的变化速率的联系的数量表征。与的变化速率越接近，越大，反之越小。命题4.4.4设为长度相同且初值不等于0的序列，若，其中c>0为常数，则。第三十八页，共八十七页，编辑于2023年，星期日应用研究☆海洋产业与海洋主要产业总产值关联度分析，确定主导产业Ｘ0为海洋主要产业总产值;Ｘ1为海洋水产业;Ｘ2为海洋油气业;Ｘ3为海滨砂矿业;Ｘ4为海洋盐业;Ｘ5为沿海造船业;Ｘ6为海洋交通运输业;Ｘ7为沿海海外旅游业。第三十九页，共八十七页，编辑于2023年，星期日三、灰色综合关联度定义4.4.6设序列的长度相同，且初值不等于0，与分别为与的灰色绝对关联度和灰色相对关联度，则称为与的灰色综合关联度。它既体现了折线的相似程度，又反映了相对与始点的变化速率全面反映了序列之间联系，一般取=0.5。第四十页，共八十七页，编辑于2023年，星期日☆灰色聚类决策在上市公司投资中的应用灰色聚类分析是利用灰色系统中的决策理论,将不同的决策对象,根据评判指标,按照一定的评判目标进行聚类分析,从而对对象优劣进行排序,为投资者提供决策的参考依据。文章介绍了灰类聚类决策模型的原理,并在此基础上详细阐述了其在上市公司投资中的应用。第四十一页，共八十七页，编辑于2023年，星期日4.7优势分析定义4.7.1设为系统特征行为数据序列，为相关因素序列，且与长度相同为与的灰色关联度，则称为灰色关联矩阵。第四十二页，共八十七页，编辑于2023年，星期日灰色关联矩阵中第行的元素是系统特征数据序列与相关因素序列的灰色关联度；第列的元素是系统特征数据序列与的灰色关联度。类似的我们可以定义灰色绝对关联矩阵、灰色相对关联矩阵以及灰色综合关联矩阵。利用灰色关联矩阵可以对系统特征或相关因素做优势分析。第四十三页，共八十七页，编辑于2023年，星期日定义4.7.2设为系统特征行为序列，为相关因素行为序列，为其灰色关联矩阵，若存在满足则称系统特征优于，记为若恒有则称为最优特征第四十四页，共八十七页，编辑于2023年，星期日定义4.7.3设为系统特征行为序列，为相关因素行为序列，且为其灰色关联矩阵，若存在满足则称系统特征优于，记为若恒有则称为最优因素。第四十五页，共八十七页，编辑于2023年，星期日定义4.7.4设为灰色关联矩阵，若1、存在，满足则称系统特征准优于系统特征记为第四十六页，共八十七页，编辑于2023年，星期日2、存在，满足则称因素准优于记为第四十七页，共八十七页，编辑于2023年，星期日☆导弹武器系统作战效能的灰色评估依据导弹武器系统的战术技术指标要求,建立了导弹武器系统的指标体系;运用灰色系统的原理和方法结合层次分析法对该系统的能力进行评价,评价采取定量分析为主,与定性分析相结合。实例证明,灰色评估与层次分析法相结合能有效降低人为因素的影响,评价结果具有客观性,一定程度上能给决策者提供可靠的依据第四十八页，共八十七页，编辑于2023年，星期日

第四十九页，共八十七页，编辑于2023年，星期日

灰色聚类是根据灰色关联矩阵或灰数的白化权函数将一些观测指标或观测对象聚集成若干个可以定义类别的方法。按聚类对象划分，可以分为灰色关联聚类和灰色白化权函数聚类。灰色关联聚类主要用于同类因素的归并，以使复杂系统简化。由此，我们可以检查许多因素中是否有若干个因素关系十分密切，使我们既能够用这些因素的综合平均指标或其中的某一个因素来代表这几个因素，又可以使信息不受到严重损失。灰色白化权函数聚类主要用于检查观测对象是否属于事先设定的不同类别，以区别对待。第五十页，共八十七页，编辑于2023年，星期日

5.1灰色关联聚类设有个观测对象，每个观测对象个特征数据，得到序列如下对所有的计算出与的绝对关联度得上三角矩阵第五十一页，共八十七页，编辑于2023年，星期日

其中定义5.1.1上述矩阵A称为特征变量关联矩阵.取定临界值一般要求当时则视与为同类特征.定义5.1.2特征变量在临界值下的分类称为特征变量的灰色关联聚类.可以根据实际问题的需要确定,越接近于1,分类越细;越小,分类越粗.

第五十二页，共八十七页，编辑于2023年，星期日南京航空航天大学经济管理学院精品课程建设组第八章灰色系统建模第五十三页，共八十七页，编辑于2023年，星期日8.1GM(1,1)模型定义8.1.1称为灰色微分型方程.定义8.1.2若灰色微分型方程满足下列条件:信息浓度无限大序列具有灰微分内涵背景值到灰导数成分具有平射关系则称此灰色微分型方程为灰色微分方程.命题8.1.1方程为灰色微分方程,其中第五十四页，共八十七页，编辑于2023年，星期日定义8.1.3称为GM(1,1)模型.符号GM(1,1)的含义如下:GM(1,1)↑↑↑↑GreyModel1阶方程1个变量第五十五页，共八十七页，编辑于2023年，星期日定理8.1.1设X(0)为非负序列:其中x(0)(k)>=0,k=1,2,…,n;X(1)为X(0)的1-AGO序列:其中;Z(1)为X(1)的紧邻均值生成序列:其中;k=2,3,…,n若为参数列,且则灰色微分方程的最小二乘估计参数列满足第五十六页，共八十七页，编辑于2023年，星期日定义8.1.4设X(0)为非负序列,X(1)为X(0)的1-AGO序列,Z(1)为X(1)的紧邻均值生成序列,,则称为灰色微分方程的白化方程,也叫影子方程.第五十七页，共八十七页，编辑于2023年，星期日定理8.1.2设B,Y,如定理8.1.1所述,则白化方程的解也称时间响应函数为GM(1,1)灰色微分方程的时间响应序列为取x(1)(0)=x(0)(1),则还原值第五十八页，共八十七页，编辑于2023年，星期日定义8.1.5称GM(1,1)模型中的参数-a为发展系数,b为灰色作用量.-a反映了及的发展态势.一般情况下,系统作用量应是外生的或前定的,而GM(1,1)是单序列建模,只用到系统的行为序列(或称输出序列,背景值),而无外作用序列(或称输入序列,驱动量).GM(1,1)中的灰色作用量是从背景值挖掘出来的数据,它反映数据变化的关系,其确切内涵是灰的.灰色作用量是内涵外延化的具体体现,它的存在,是区别灰色建模与一般输入输出建模(黑箱建模)的分水岭,也是区分灰色系统观点与灰箱观点的重要标志.第五十九页，共八十七页，编辑于2023年，星期日定理8.1.3GM(1,1)模型可以转化为其中第六十页，共八十七页，编辑于2023年，星期日定理8.1.4设,,且为GM(1,1)模型时间响应序列,其中则第六十一页，共八十七页，编辑于2023年，星期日8.2GM(1,1)模型群定义8.2.1设序列将x(0)(n)取为时间轴的原点,则称t<n为过去,t=n为现在,t>n为未来.定义8.2.2设序列为其GM(1,1)时间响应式的累减还原值,则当t<=n时,称为模型模拟值;当t>n时,称为模型预测值.建模的主要目的是预测,为提高预测精度,首先要保证有充分高的模拟精度,尤其是t=n时的模拟精度.因此建模数据一般应取为包括x(0)(n)在内的一个等时距序列.第六十二页，共八十七页，编辑于2023年，星期日定义8.2.3设原始数据序列用建立的GM(1,1)模型称为全数据GM(1,1)用建立的GM(1,1)模型称为部分数据GM(1,1)设x(0)(n+1)为最新信息,将x(0)(n+1)置入X(0),称用建立的模型为新信息GM(1,1)4置入最新信息x(0)(n+1),去掉最老信息x(0)(1),称用建立的模型为新陈代谢GM(1,1).第六十三页，共八十七页，编辑于2023年，星期日8.3GM(1,1)模型的适用范围模型具有多种不同的形式,主要有:第六十四页，共八十七页，编辑于2023年，星期日第六十五页，共八十七页，编辑于2023年，星期日命题8.3.1当时,GM(1,1)模型无意义.命题8.3.2当GM(1,1)发展系数|a|>=2时,GM(1,1)模型无意义.通过分析,可得下述结论:(1)当-a<=0.3时,GM(1,1)可用于中长期预测(2)当0.3<-a<=0.5时,GM(1,1)可用于短期预测,中长期预测慎用(3)当0.5<-a<=0.8时,GM(1,1)作短期预测应十分谨慎(4)当0.8<-a<=1时,应采用残差修正GM(1,1)(5)当-a>1时,不宜采用GM(1,1)第六十六页，共八十七页，编辑于2023年，星期日8.4GM(2,1)和Verhulst模型GM(1,1)适用于具有较强指数规律的序列,只能描述单调的变化过程.对于非单调的摆动发展序列或有饱和的S形序列,可以考虑建立GM(2,1),DGM和Verhulst模型.第六十七页，共八十七页，编辑于2023年，星期日一、GM(2,1)模型定义8.4.1设原始序列其1-AGO序列X(1)和1-IAGO序列(1)X(0)分别为和其中X(1)的紧邻均值生成序列为则称为GM(2,1)灰色微分方程.第六十八页，共八十七页，编辑于2023年，星期日定义8.4.2称为GM(2,1)灰色微分方程的白化方程.定理8.4.1设如定义8.4.1所述,且则GM(2,1)参数列的最小二乘估计为第六十九页，共八十七页，编辑于2023年，星期日定理8.4.2关于GM(2,1)白化方程的解有以下结论:若是的特解,是对应齐次方程的通解,则是GM(2,1)白化方程的通解.齐次方程的通解有以下三种情况:当特征方程有两个不相等实根时,当特征方程有重根时,当特征方程有一对共轭复根时第七十页，共八十七页，编辑于2023年，星期日白化方程的特解有以下三种情况:当零不是特征方程的根时,当零是特征方程的单根时,当零是特征方程的重根时,第七十一页，共八十七页，编辑于2023年，星期日二、DGM模型定义8.4.3设原始序列为1-AGO序列为1-IAGO序列为则称为DGM(2,1)灰色微分方程.定义8.4.4称为DGM(2,1)灰色微分方程的白化方程.第七十二页，共八十七页，编辑于2023年，星期日定理8.4.3若为参数列,而如定义8.4.3所述则灰色微分方程的最小二乘估计参数满足第七十三页，共八十七页，编辑于2023年，星期日定理8.4.4设X(0)为非负序列,X(1)为X(0)的1-AGO序列,B,Y,如定理8.4.3所述,则白化方程的时间响应函数为灰色微分方程的时间响应序列为还原值为第七十四页，共八十七页，编辑于2023年，星期日三、Verhulst模型定义8.4.5设X(0)为原始数据序列,X(1)为X(0)的1-AGO序列,Z(1)为X(1)的紧邻均值生成序列,则称为GM(1,1)幂模型.定义8.4.6称为GM(1,1)幂模型的白化方程.定理8.4.5GM(1,1)幂模型之白化方程的解为第七十五页，共八十七页，编辑于2023年，星期日定理8.4.6设如定义8.4.5所述则GM(1,1)幂模型参数列的最小二乘估计为第七十六页，共八十七页，编辑于2023年，星期日定义8.4.7当a=2时,称为灰色Verhulst模型.定义8.4.8称为灰色Verhulst模型的白化过程..第七十七页，共八十七页，编辑于2023年，星期日定理8.4.7Verhulst白化方程的解为灰色Verhulst模型的时间响应式为第七十八页，共八十七页，编辑于2023年，星期日Verhulst模型主要用来描述具有饱和状态的过程,即S形过程,常用于人口预测,生物生长,繁殖预测和产品经济寿命预测等.由Verhulst方程的解可以看出,当t→∞时,若a>0,则x(1)(t)→0;若a<0,则x(1)(t)→a/b,即有充分大t的,对任意的k>t,x(1)(k+1)与x(1)(k)充分接近,此时x(0)(k)≈0,系统趋于死亡.第七十九页，共八十七页，编辑于2023年，星期日基于串联灰色神经网络的电力负荷预测方法为了提高电力负荷预测的精度,分析现有人工神经网络和灰色预测方法各自的优缺点,将二者相结合提出了一种串联灰色神经