测量误差及数据处理理论课

测量误差及数据处理理论课第一页，共五十八页，编辑于2023年，星期日大学物理实验基本要求预习实验实验报告第二页，共五十八页，编辑于2023年，星期日1.实验预习

看懂教材、明确目的、写出预习报告。预习报告要求：①写实验目的、主要公式、线路图或光路图。

②画好原始数据表格。上课教师要检查预习情况。

即预习报告作正式报告的前半部分。要用正式报告纸写第三页，共五十八页，编辑于2023年，星期日2.实验操作①对号入座，等老师讲完要求和注意事项后才动手；②珍惜独立操作的机会，完成基本内容，争取做选做内容；③认真记录数据；④仪器还原(归整）；⑤教师在预习报告和原始数据上签字；⑥学生在实验室的登记本上签名。

才离开实验室第四页，共五十八页，编辑于2023年，星期日要求如下：①不迟到②正确连接实验仪或实验装置。③按仪器操作规程调整仪器，合理选择量程。④细心操作—观察实验现象-记录数据（正确表示有效数字和单位）。⑤分析数据和结果。实验数据与标准数据有差别，不能笼统说实验结果不好。误差在允许范围内，就正常。误差太大，要分析原因，解决。遇到问题及时举手，不能拼凑数据。第五页，共五十八页，编辑于2023年，星期日3.实验报告

①实验报告要用正式报告纸。

②报告内容：见绪论要求（其中实验原理可根据预习要点来写）。数据处理时必须先重新整理原始记录，然后进行计算（应包含主要过程）、作图。③交报告的时间：第六页，共五十八页，编辑于2023年，星期日实验报告是实验工作的总结实验报告必须要有实验结果的分析讨论：讨论是实验的升华分析讨论：分析实验结果和现象；讨论实验误差的大小和原因；有何体会

实验报告不能互相抄袭，凑数据，要实事求是，未达到期望值可以重做。第七页，共五十八页，编辑于2023年，星期日实验安全人身安全：用电安全、激光使用安全等仪器安全：操作规范、爱护实验仪器第八页，共五十八页，编辑于2023年，星期日大学物理实验理论

—误差与数据处理测量与误差不确定度有效数字数据处理第九页，共五十八页，编辑于2023年，星期日测量与误差§1.1测量定义：把待测量与作为标准的量（仪器）进行比较，确定出待测量是标准量的多少倍的过程就叫做测量。例如，物体的质量可通过与规定用千克作为标准单位的标准砝码进行比较而得出测量结果。测量得到的实验数据应包含测量值的大小和单位，二者是缺一不可的。一个被测物理量，除了用数值和单位来表征它外，还有一个很重要的表征它的参数，这便是对测量结果可靠性的定量估计。对测量结果可靠性的定量估计与其数值和单位至少具有同等的重要意义，三者是缺一不可的。第十页，共五十八页，编辑于2023年，星期日测量与误差§1.2测量分类按照得到测量结果的方式分按照测量条件分直接测量间接测量等精度测量不等精度测量第十一页，共五十八页，编辑于2023年，星期日直接测量：由仪器直接得到测量值举例：

VRAE测量电流I为

测量？测量电阻R为

测量？测量电压V为

测量？注：直接还是间接测量取决于所用仪器，例如电桥测电阻为直接测量。直接直接间接间接测量：由仪器间接得到测量值测量与误差第十二页，共五十八页，编辑于2023年，星期日等精度测量不等精度测量对同一物理量在相同条件（指测量仪器、方法、环境、观测者等）下进行的多次测量；在不同测量条件下进行的多次测量。例如：用多档位电流表测电流时，为防止烧坏电表，总是先用大档位粗测电流后，在用小档位细测，这种测量便是不等精度测量。测量与误差第十三页，共五十八页，编辑于2023年，星期日§1.3

仪器性能基本概念仪器精密度：是指仪器的最小分度相当的物理量。仪器最小的分度越小，所测量物理量的位数就越多，仪器精密度就越高。对测量读数最小一位的取值，一般在仪器最小分度范围内再进行估计读出一位数字。如螺旋测微器的精密度为0.01毫米，应估读出到毫米的千分位。仪器准确度：是指仪器测量读数的可靠程度。一般标在仪器上或写在仪器说明书上。如电学仪表所标示的级别就是该仪器的准确度。对于没有标明准确度的仪器，可粗略地取仪器最小的分度数值或最小分度数值的一半，一般对连续读数的仪器取最小分度数值的一半，对非连续读数的仪器取最小的分度数值。第十四页，共五十八页，编辑于2023年，星期日

对不同的仪器准确度是不一样的，对测量长度的常用仪器米尺、游标卡尺和螺旋测微器它们的仪器准确度依次提高。两者的关系精密度是保证准确度的先决条件；精密度高不一定准确度高；两者的差别主要是由于系统误差的存在量程：是指仪器所能测量的物理量最大值和最小值之差，即仪器的测量范围（有时也将所能测量的最大值称量程）。测量过程中，超过仪器量程使用仪器是不允许的，轻则仪器准确度降低，使用寿命缩短，重则损坏仪器。第十五页，共五十八页，编辑于2023年，星期日§1.4误差

误差定义：指测量值x与真值a之间的差异误差ε＝测量值x－真值a误差表示方式有两种：（1）绝对误差：ε

=x-a；有单位，可正可负，不能反映准确度。注意，绝对误差不是误差的绝对值！

（2）相对误差：,无单位，可正可负，能反映准确度。例如：两电阻，绝对误差均为，无法判断哪一个测量更准确。但从相对误差便可判断准确度。由于真值的不可知，误差实际上很难计算第十六页，共五十八页，编辑于2023年，星期日§1.5误差分类

根据误差的性质和产生的原因，可分为系统误差：在相同条件下多次测量同一物理量时，误差的大小、符号恒定；或在测量条件改变时，误差的大小和符号按一定规律变化。随机误差：在相同条件下多次测量同一物理量时，由于不可预知的随机因素，出现时大时小、时正时负的误差。

第十七页，共五十八页，编辑于2023年，星期日系统误差的来源：由于测量仪器、测量方法、环境带入

①仪器误差：仪器本身的缺陷（如天平不等臂）或安装调试不当（零位不在零点）；电表、螺旋测微计的零位误差，制造时的螺纹公差等②理论近似性引起的误差：伏安法测电阻电流表内接、外接由于忽略表内阻引起的误差。③人为误差:由于观察者的习惯、反应快慢等引起的④环境引起的，如温度产生的零漂第十八页，共五十八页，编辑于2023年，星期日系统误差的发现1、实验对比法（1）采用不同的测量方法测同一物理量，看结果是否一致；（如伏安法和电桥法）（2）更换不同的仪器、仪表测同一物理量；（3）改变测量步骤；如升温和降温（4）改变实验条件或测量者。2、理论分析法分析理论公式的条件和仪器的使用条件是否与本实验相符。一旦条件不符，必然会出现偏差，甚至是错误（真理的条件性）

3、数据分析法

系统误差不满足概率分布，因此误差总是偏向一侧。

第十九页，共五十八页，编辑于2023年，星期日系统误差的处理对于已知的系统误差，给结果加一个负误差或给出一个修正公式即可；对于难以找出的系统误差，要采用下面的办法尽量抵消：

L1L2xT(1)替代法：对未知量测量后，再用标准量代替未知量所得的结果即为所测量。如图：为不等臂天平，用砝码P代替未知量x，使天平再次平衡，则P即为待测值。当臂长L1和L2测出时，可用力矩修正公式第二十页，共五十八页，编辑于2023年，星期日（2）抵消法（3）交换法将被测量与标准量互换进行两次测量，取平均值；如（1）中的不等臂天平砝码与被测量量交换。（4）半周期偶数观测法偶数次观测后取平均；如分光计测量角度。（5）对称观测法随时间线性变化的系统误差，可将观测程序相对某时刻对称地再测一次，然后取平均；如灵敏电流计测前和测后分别校对一次零点，然后对零点取平均。正误差和负误差方向各测一次，取平均；如居里温度测试。第二十一页，共五十八页，编辑于2023年，星期日偶然误差（随机误差）：对同一量的多次重复测

量中误差的绝对值和符号的变化不定

产生原因：实验条件、环境因素无规则的起伏变化、观察者生理分辨能力等的限制例如：螺旋测微计测量在一定范围内操作读数时的视差影响。特点：①绝对值小的误差出现的概率比大误差出现的概率大；绝对值很大的误差出现的概率为零②多次测量时分布对称，具有抵偿性按正态分布因此取多次测量的平均值有利于消减随机误差。f(ε)-σ0σε第二十二页，共五十八页，编辑于2023年，星期日随机误差是随机因素产生的，因此很难预料，也无法消除，只能按其满足的统计规律进行数学处理。多次测量的误差满足正态分布，具有以下特点：（1）对称性：正负误差出现的概率基本相同；（2）有界性：存在绝对值最大的误差；（3）单峰性：绝对值小的误差出现的概率大，绝对值大的误差出现的概率小；（4）抵偿性：当测量次数足够多时，绝对值相等的正负误差出现的概率大致相等，可相互抵消。第二十三页，共五十八页，编辑于2023年，星期日随机误差的估算正态分布图：横坐标为误差，纵坐标为误差概率密度，误差的总概率为1：。图中称为标准误差，

越小，曲线越窄，误差分布越集中，可靠性高（黑线）；反之，可靠性低（蓝线）。第二十四页，共五十八页，编辑于2023年，星期日§1.6算术平均值与标准偏差1、算术平均值一组测量数据的算术平均值为：

算术平均值是真值的最佳近似值第二十五页，共五十八页，编辑于2023年，星期日2、标准偏差真实值是无法测得的，常用算术平均值来代替。测量值与算术平均值的差，称为偏差类比标准误差，定义标准偏差为表示这组数与其平均值的离散性。第二十六页，共五十八页，编辑于2023年，星期日标准偏差意义:表示某次测量值的随机误差在之间的概率为68.3％。f(ε)-σ0σε第二十七页，共五十八页，编辑于2023年，星期日3、算术平均值的标准偏差意义:测量平均值的随机误差在之间的概率为68.3%。反映了平均值接近真值的程度。因为一组数据不可能有无限多，所以在相同条件下，测得的不同组数据的平均值也不完全相等，即它们与真值之间存在离散性，我们引入算术平均值的标准偏差，可证明其为：f(ε)-σ0σε第二十八页，共五十八页，编辑于2023年，星期日一般：测5～10次理论上：测量次数n→∞，051015

20n平均值的标准偏差实际测量多少次合适？由图可知第二十九页，共五十八页，编辑于2023年，星期日II.测量的不确定度

:用统计方法评定σB

:用估算方法评定取仪器误差σA取偶然误差总的不确定度

因真值得不到，测量误差就不能肯定，所以用不确定度的概念对测量数据做出评定比用误差来描述更合理。

第三十页，共五十八页，编辑于2023年，星期日测量的不确定度

:用统计方法评定σB

:用估算方法评定取仪器误差σA取σB＝ΔI偶然误差σ

A＝Sx总的不确定度

第三十一页，共五十八页，编辑于2023年，星期日(1)偶然误差较大时：σx=Sx(2)偶然误差与仪器误差相差不大时：仪器误差可不考虑可只取仪器误差(3)只测一次或偶然误差很小：第三十二页，共五十八页，编辑于2023年，星期日仪器误差一般取：最小刻度（分度值）的1/10、1/5、1/2

或最小刻度例：用米尺测量某物的长度为20.25cm,仪器误差取0.05cm,即：L=20.25±0.05cm1、对仪器准确度未知的2、对非连续读数仪器取其最末位数的一个最小单位

第三十三页，共五十八页，编辑于2023年，星期日已知仪器准确度如一个量程150mA，准确度0.2级的电流表测某一次电流，读数为131.2mA最大绝对误差为ΔI=150×0.2％＝0.3mA测量的结果：I＝131.2±0.3mA最大绝对误差：如：电表第三十四页，共五十八页，编辑于2023年，星期日电表板面上的符号～交流U磁电系仪表或1.01.0准确度等级为1.02绝缘强度试验电压为2千伏或水平放置或垂直放置Ⅱ二级防外磁场BU1.02ⅡB工作环境直流第三十五页，共五十八页，编辑于2023年，星期日测量结果的表达：测量值、绝对误差和相对误差

相对误差百分误差完整的结果表示第三十六页，共五十八页，编辑于2023年，星期日例：算得σx＝0.21cm取σx＝0.3cm

σx只取1位，下一位0以上的数一律进位例：的末位与σx所在位对齐，下1位简单采取4舍5入（1）测量值和绝对误差第三十七页，共五十八页，编辑于2023年，星期日相对误差与哪个测量误差小？一般取2位（2）相对误差第三十八页，共五十八页，编辑于2023年，星期日有效数字

1基本概念

所有可靠数字和末位的一位有疑问的数字（存疑数字）统称为测量结果的有效数字。如右图：（厘米尺）图a测量的有效数字为2.4cm图b测量的有效数字为2.43cm注：存疑数字与不确定度数对齐，多余位需舍弃。第三十九页，共五十八页，编辑于2023年，星期日有效数字由准确数字和一位可疑数字组成，05101520mm例：13.7mm注意：（1）末位和中间的0是有效数字，如:13.0cm、10.3mm，为3位有效数字（2）数字前面表示小数点的0不是有效数字，如：0.0130mm为3位有效数字

(3)变换单位时有效位数不变，如：80cm=0.80m≠0.8m准确可疑第四十页，共五十八页，编辑于2023年，星期日2、有效数字的运算规则（1）加减运算的结果末位以参与运算的小数位最少者相同。如7.65+8.268=15.92

75-10.356=65（2）乘除运算结果的有效位数多少以参与运算的有效位数最少的数为准，或多取一位。如3.841×2.42=9.30

4000×9=3.6×104

2.000÷0.99=2.00

7.65+)8.268

15.918=15.92可疑取一位可疑

3.841×2.42

76821536476829.29522=9.30注意：不同

3.841×8.42

7682153643072832.34022=32.343位4位第四十一页，共五十八页，编辑于2023年，星期日4位(3)三角函数、对数、指数运算的结果有效数字三角函数：结果有效数字由度数的有效位数决定

例：sin30o07′(4位）＝sin30.12o=0.5018(注意：不能写成sin30o7′（3位）)对数：结果的有效数字，其尾数与真数的位数相同例：ln1.550=0.4383第四十二页，共五十八页，编辑于2023年，星期日（4）自然数1,2,3,…不是测量而得，可以视为无穷多位有效数字的位数，如D＝2R，D的位数仅由直测量R的位数决定。（5）无理常数π的位数也可以看成很多位有效数字。例如L＝2πR,π应比R多取一位，若R＝2.23cm（3位），则π取3.142（4位）,或用计算器输入π。

（6）用计算器进行计算时中间结果可适当多取几位（但不能任意减少）。最后结果有效位数由误差决定。第四十三页，共五十八页，编辑于2023年，星期日数据处理

常用的数据处理办法有：

列表法作图法逐差法最小二乘法第四十四页，共五十八页，编辑于2023年，星期日

列表法列表法是记录数据的基本方法。是记录的最好方法。设计记录表格要求：1．列表要简单明了，利于记录、运算处理数据和检查处理结果，便于一目了然地看出有关量之间的关系。2．表中各栏中的物理量都要用符号标明，并写出数据所代表物理量的单位及量值的数量级要交代清楚。单位写在符号标题栏，不要重复记在各个数值上。3．记录的数据，应正确反映测量结果的有效数字。一般记录表格还有序号和名称。例如：要求测量圆柱体的体积，圆柱体高H和直径D的记录如下：第四十五页，共五十八页，编辑于2023年，星期日测柱体高H和直径D记录表135.32－0.0068.1350.0003235.30－0.0268.1370.0023335.32－0.0068.1360.0013435.340.0148.133－0.0017535.30－0.0268.132－0.0027平均35.3268.1347说明：测Hi

是用精度为0.02mm的游标卡尺，仪器误差为ΔI＝0.02mm；测Di

是用精度为0.01mm的螺旋测微器，其仪器误差ΔI＝0.005mm。第四十六页，共五十八页，编辑于2023年，星期日作图时要先整理出(或算出）数据表格，并要用正规纸张作图。用作图法处理数据第四十七页，共五十八页，编辑于2023年，星期日T(0C)15.724.026.531.135.040.345.0R(Ω)2.8072.8792.9172.9693.0033.0593.107作图步骤：实验数据列表如下：1.选择合适的坐标分度值，确定坐标纸的大小坐标分度值的选取应能反映测量值的有效位数，一般以整数格

对应于数据中最后一位准确位(即数据的倒数第二位）

2.标明坐标轴：用粗实线画坐标轴，用箭头标轴方向，标坐标轴的名称或符号、单位,再按顺序标出坐标轴整分格上的量值。4.连成图线：3.标实验点:实验点可用“＋”、“×”等符号标出。5.标出图名：在图线下方或空白位置写出图线的名称及某些必要的说明。数据要列出第四十八页，共五十八页，编辑于2023年，星期日T(C0)R(Ω)3.1003.0503.0002.9502.9002.8502.80015.020.025.030.035.040.045.050.055.0T(0C)15.724.026.531.135.040.345.0R(Ω)2.8072.8792.9172.9693.0033.0593.107R－T曲线第四十九页，共五十八页，编辑于2023年，星期日不当图例展示：nλ(nm)1.6500500.0700.01.67001.66001.70001.69001.6800600.0400.0玻璃材料色散曲线图图1曲线太粗，不均匀，不光滑。应该用直尺、曲线板等工具把实验点连成光滑、均匀的细实线。第五十页，共五十八页，编辑于2023年，星期日nλ(nm)1.6500500.0700.01.67001.66001.70001.69001.6800600.0400.0玻璃材料色散曲线图改正为：第五十一页，共五十八页，编辑于2023年，星期日图2I(mA)U(V)06.008.004.0020.0016.0012.0018.0014.0010.006.002.003.009.00电学元件伏安特性曲线12.00横轴坐标分度选取不当。横轴以2cm

代表3

V，使作图和读图都很困难。且降低有效位数。第五十二页，共五十八页，编辑于2023年，星期日I(mA)U(V)o1.002.003.004.008.004.0020.0016.0012.0018.0014.0010.006.002.00电学元件伏安特性曲线改正为：5.006.007.008.009.0010.0011.0012.00第五十三页，共五十八页，编辑于2023年，星期日定容气体压强～温度曲线1.20001.60000.80000.4