高中数学人教B版一学案：第三单元 3.2.3　指数函数与对数函数的关系 含答案

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精3。2。3指数函数与对数函数的关系学习目标1.了解反函数的概念，理解互为反函数的图象间的关系.2。知道指数函数与对数函数互为反函数，明确它们的图象关于y＝x对称．知识点一反函数思考1下列哪些函数是一一映射？(1）y＝5x，(2）y＝2x，（3)y＝eq\f（1，5)x，(4）y＝x2.思考2函数y＝5x与y＝eq\f（1，5)x的关系是什么？梳理反函数的概念（1）前提：函数f（x）是____________．（2）定义:把函数f(x)的因变量作为新函数的________，把函数f(x）的自变量作为新函数的________，称这两个函数互为反函数．(3）记法：函数y＝f（x）的反函数为y＝________.知识点二指数函数与对数函数的关系思考指数函数y＝2x与对数函数y＝log2x互为反函数吗？它们的图象有什么关系？梳理指数函数与对数函数的关系（1)关系：指数函数y＝ax（a＞0，a≠1）与对数函数y＝logax（a＞0，a≠1）______________．(2)图象特征:指数函数y＝ax(a＞0,a≠1)与对数函数y＝logax(a＞0，a≠1)的图象________对称．(3）单调性：在区间［1，＋∞）内，指数函数y＝2x随着x的增长函数值的增长速度逐渐________，而对数函数y＝log2x的增长时速度逐渐变得________．类型一求反函数例1写出下列函数的反函数：（1)y＝lgx;(2）y＝logx;（3)y＝eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(2，3))）x.反思与感悟求给定解析式的函数的反函数的步骤(1)求出原函数的值域，这就是反函数的定义域；（2）从y＝f(x）中解出x；(3）x、y互换并注明反函数的定义域．跟踪训练1求下列函数的反函数：（1)y＝3x－1；（2)y＝x3＋1（x∈R）；(3）y＝eq\r（x)＋1（x≥0)；(4）y＝eq\f(2x＋3,x－1)（x∈R，x≠1）．类型二反函数的应用例2已知函数y＝ax＋b(a＞0且a≠1)的图象过点（1,4)，其反函数的图象过点(2,0)，求a，b的值．反思与感悟互为反函数的图象关于直线y＝x对称是反函数的重要性质，由此可得互为反函数图象上任一成对的相应点也关于y＝x对称，所以若点（a，b）在函数y＝f(x)图象上，则点（b，a）必在其反函数y＝f－1(x)图象上．跟踪训练2已知函数f(x)＝ax－k的图象过点（1，3),其反函数y＝f－1（x）的图象过(2，0)点，则f（x）的表达式为________．类型三指数函数与对数函数的综合应用例3已知f(x)＝eq\f(a·2x－1,2x＋1)(a∈R)，f(0)＝0。(1）求a的值,并判断f(x)的奇偶性;（2）求f(x）的反函数；(3）对任意的k∈(0，＋∞)，解不等式f－1(x)＞log2eq\f(1＋x,k)。反思与感悟(1）明确求反函数的方法，注意在求反函数时一定要标明定义域．(2）要注意应用指数函数与对数函数是一对反函数的性质．跟踪训练3设方程2x＋x－3＝0的根为a，方程log2x＋x－3＝0的根为b,求a＋b的值．1．函数y＝x＋2，x∈R的反函数为(）A．x＝2－yB．x＝y－2C．y＝2－x，x∈RD．y＝x－2，x∈R2．函数y＝－eq\r（1－x）（x≤1)的反函数是（）A．y＝x2－1（－1≤x≤0)B．y＝x2－1(0≤x≤1）C．y＝1－x2(x≤0）D．y＝1－x2(0≤x≤1）3．函数y＝f(x)的图象经过第三、四象限,则y＝f－1（x）的图象经过(）A．第一、二象限 B．第二、三象限C．第三、四象限 D．第一、四象限4．若f（x－1）＝x2－2x＋3（x≤1)，则f－1(4）等于(）A。eq\r(2) B．1－eq\r(2）C．－eq\r(2） D。eq\r（2）－25．若函数y＝f(x)的图象和函数y＝log3x（x＞0)的图象关于直线y＝x对称，则f（x）＝________.1．对数函数y＝logax与指数函数y＝ax互为反函数．它们的图象关于直线y＝x对称．2．反函数的性质(1）互为反函数的两个函数的图象关于直线y＝x对称．若函数y＝f（x)的图象关于y＝x对称，说明y＝f(x）的反函数是它本身，如反比例函数y＝eq\f(1,x）.(2）若函数y＝f（x)上有一点(a,b)，则(b，a）必在其反函数图象上，反之若(b,a）在反函数图象上,则（a，b）必在原函数图象上．3．反函数的定义域是原函数的值域，并不一定是使反函数有意义的所有x的集合．

答案精析问题导学知识点一思考1（1)(2）(3）都是一一映射，（4)不是一一映射．思考2由y＝5x得x＝eq\f（1，5)y,把y＝5x中的自变量x和因变量y互换即得y＝eq\f(1，5)x。梳理(1)一一映射（2)自变量因变量(3)f－1（x）知识点二思考是，关于y＝x对称．梳理（1)互为反函数（2)关于y＝x(3）加快很缓慢题型探究例1解（1)y＝lgx(x〉0）的底数为10，它的反函数为指数函数y＝10x(x∈R)．（2)y＝logx（x〉0）的底数为eq\f（1，3），它的反函数为指数函数y＝eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（1,3))）x（x∈R)．（3）y＝eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（2,3）)）x（x∈R）的底数为eq\f（2,3），它的反函数为对数函数y＝logx(x>0）．跟踪训练1解(1）由y＝3x－1,得x＝eq\f（1，3)（y＋1)，即所求反函数为y＝eq\f(1，3）（x＋1）；（2)函数y＝x3＋1的值域为R，x3＝y－1,x＝eq\r(3，y－1），所以反函数为y＝eq\r（3,x－1）（x∈R）；（3)函数y＝eq\r（x)＋1（x≥0)的值域为y≥1，由eq\r(x）＝y－1,得x＝（y－1)2，所以反函数为y＝（x－1)2（x≥1）．(4）因为y＝eq\f（2x＋3,x－1）＝eq\f(2x－2＋5,x－1)＝2＋eq\f(5，x－1），所以y≠2，由eq\f(5，x－1)＝y－2，得x＝1＋eq\f(5,y－2)＝eq\f(y＋3，y－2），所以反函数为y＝eq\f(x＋3,x－2）(x≠2）．例2解∵y＝ax＋b的图象过点（1,4），∴a＋b＝4.①又∵y＝ax＋b的反函数的图象过点（2，0），∴点（0,2)在函数y＝ax＋b的图象上．a0＋b＝2。②联立①②得a＝3，b＝1。跟踪训练2f(x）＝2x＋1例3解（1）由f（0)＝0，得a＝1,所以f(x）＝eq\f(2x－1,2x＋1）.因为f(x）＋f（－x)＝eq\f(2x－1,2x＋1）＋eq\f(2－x－1,2－x＋1)＝eq\f(2x－1，2x＋1)＋eq\f(1－2x,1＋2x）＝0，所以f（－x）＝－f(x），即f（x)为奇函数．（2)因为f(x）＝y＝eq\f（2x－1，2x＋1)＝1－eq\f(2,2x＋1)，所以2x＝eq\f（1＋y，1－y）(－1＜y＜1),所以f－1（x）＝log2eq\f（1＋x，1－x）（－1＜x＜1)．(3）因为f－1(x）＞log2eq\f(1＋x,k)，即log2eq\f(1＋x,1－x）＞log2eq\f（1＋x,k)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（\f(1＋x,1－x)＞\f(1＋x，k),,－1＜x＜1，))所以eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x＞1－k，,－1＜x＜1，）)所以当0＜k＜2时,原不等式的解集为{x｜1－k＜x＜1｝；当k≥2时，原不等式的解集为｛x｜－1＜x＜1}．跟踪训练3解将方程整理得2x＝－x＋3，log2x＝－x＋3.如图可知，a是指数函数y＝2x的图象与直线y＝－x＋3交点A的横坐标，b是对数函数y＝log2x的图象与直线y＝－x＋3交点B的横坐标．由于函数y＝2x与y＝log2x互为反函数，所以它们的图象关于直线y＝x对称，由题意可得出A、B两点也关于直线y＝