福建四地六校2023届高三第三次联考数学（理）试题及答案

福建省“华安、连城、永安、漳平一中，龙海二中，泉港一中”六校联考09-10学年上学期第三次月考高三数学（理科）试题（考试时间：120分钟总分：150分）第Ⅰ卷(选择题共50分)一、选择题（本题共10个小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1、方程的两根的等比中项是()ABCD2、设函数的定义域为集合P,集合Q=,则=()APBQCD3、抛物线的准线方程为（）ABCD4、表面积为的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面直径是（）ABCD5、下列给出的四组不等式中，同解的是（）ABCD6、已知是不同的直线，是不同的平面，给出下列命题：其中的两个真命题是（）A(1)(4)B(1)(3)C(1)(2)D(2)(4)7、双曲线的两条渐近线互相垂直，则它的离心率是（）ABCD8、如图为一个几何体的三视图，其中俯视图为正三角形，,则该几何体的表面积为（）ABCD(第8题图)（第9题图）9、如图在中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若，则的最大值为（）ABCD10、已知点P是椭圆上的动点，、分别是左、右焦点,为坐标原点，则的取值范围是（）ABCD第Ⅱ卷(非选择题共100分)二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置上）11、若，则=；12、已知正方体,则直线所成的角的大小为；13、=；14、设是椭圆的左焦点，为坐标原点，点P在椭圆上，则的取值范围为；15、给出下列四个命题：①通项公式为的数列是首项为公比为2的等比数列；②有两个侧面同时与底面垂直的棱柱一定是直棱柱；③直线的倾斜角是；③函数的值域是集合A,则函数的值域也是A。其中正确的命题的序号是。三、解答题（本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16、（本小题满分13分）已知数列是等差数列，它的前项和为，且,。（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和的最小值。17、（本小题满分13分）已知圆C：，直线过点P(1,2),且与圆C交于A、B两点，若,求直线的方程。18、（本小题满分13分）已知点，O为坐标原点。（1）若,求的值；（2）若实数满足,求的最大值。MPDCBA19、（本小题满分13分）如图，边长为的等边所在的平面垂直于矩形所在的平面，，为的中点。MPDCBA(Ⅰ)证明：；(Ⅱ)求二面角的大小；(Ⅲ)求点到平面的距离20、（本小题满分14分）设。（1）求的表达式；（2）若方程在区间上有且仅有两个不同实根，求实数的取值范围。21、（本小题满分14分）如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点M（2，1），平行于OM的直线在y轴上的截距为m（m≠0），交椭圆于A、B两个不同点。（1）求椭圆的方程；（2）求m的取值范围；（3）求证直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形。SKIPIF1<0福建省“华安、连城、永安、漳平一中，龙海二中，泉港一中”六校联考09-10学年上学期第三次月考高三数学（理科）答题卷（考试时间：120分钟总分：150分）题号选择题填空题161718192021总分得分一、选择题（每小题5分，共50分）题号12345678910答案二、填空题（本大题共5小题，共20分）11、12、13、14、15、三、解答题（本大题共6小题，共80分）16、17、18、MMPDCBA19、20、------------密------封-----线------内------不------要------答------题------答------题------一律------不------给------分--------福建省“华安、连城、永安、漳平一中，龙海二中，泉港一中”六校联考09-10学年上学期第三次月考高三数学（理科）试题参考答案及评分标准一、选择题（每小题5分，共50分）题号12345678910答案BBCACADABC二、填空题（本大题共5小题，共20分）11、1；12、；13、2；14、；15、④。三、解答题（本大题共6小题，共80分）EÁBCEÁBCDPM∵△PCD为正三角形，∴PE⊥CD，∵平面PCD⊥平面ABCD，∴PE⊥平面ABCD∴AM⊥PE……….（2分）∵四边形ABCD是矩形∴△ADE、△ECM、△ABM均为直角三角形由勾股定理可求得：EM=，AM=，AE=3∴，…………..（4分）又PEEM=E∴AM⊥平面PEM∴AM⊥PM…………..（5分）(Ⅱ)由(Ⅰ)可知EM⊥AM，PM⊥AM∴∠PME是二面角P－AM－D的平面角………….（7分）∴tan∠PME=∴∠PME=45°∴二面角P－AM－D为45°；………….（9分）(Ⅲ)设D点到平面PAM的距离为，连结DM，则，∴而…………（11分）在中，由勾股定理可求得PM=,所以：∴即点D到平面PAM的距离为…………（13分）解法2：(Ⅰ)以D点为原点，分别以直线DA、DC为x轴、y轴，建立如图所示的空间直角坐标系,依题意，可得zyxMPzyxMPDCBÁ∴……….（3分）∴即,∴AM⊥PM…………（5分）(Ⅱ)设，且平面PAM，则即∴，取，得………….（7分）取，显然平面ABCD，∴结合图形可知，二面角P－AM－D为45°；………….（9分）(Ⅲ)设点D到平面PAM的距离为，由(Ⅱ)可知与平面PAM垂直，则=即点D到平面PAM的距离为…………….（13分）21、解：（1）设椭圆方程为……………1分则…………3分∴椭圆方程为………………4分（2）∵直线l平行于OM，且在y轴