2023学年完整公开课版解三角形2

解三角形1.三角形中的边角关系：BAC大边对大角两边之和大于第三边，两边之差小于第三边2RsinB2RsinC例1.(2015·全国Ⅰ卷,文17)已知a,b,c分别为△ABC内角A,B,C的对边,sin2B=2sinAsinC.(1)若a=b,求cosB;(2)设B=90°,且a=,求△ABC的面积.类型一：边、角、面积的计算问题解三角形问题一般有两种途径：边化角或角化边,选哪个就需要根据已知条件灵活转化运用注意三角形隐含角的范围（0，π）类型二：与范围有关的问题注意三角形隐含角的范围（0，π）；以及A+B+C=π,两边之和大于第三边例3.(2014·全国Ⅰ卷,文16)如图,为测量山高MN,选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.从A点测得M点的仰角∠MAN=60°,C点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°;从C点测得∠MCA=60°,已知山高BC=100m,则山高MN=

m.

类型三：正、余弦定理的实际应用答案:150类型一：边、角、面积的计算问题类型三：正、余弦定理的实际应用类型二：与范围有关的问题课堂小结：利用正、余弦定理解决平面几何问题要注意平面几何里的一些性质(2)由(1)知,AB=2AC,在△ABC中,由余弦定理可得BC2=AC2+AB2-2AC·AB·cos∠BAC=AC2+4AC2-2AC×2AC×=3AC2.【答题启示】1.解三角形问题,一般有两种途径,边化角或角化边,第(1)问合理利用正弦定理及角平分线性质是解题的关键.第(2)问注意三角形隐含条件A+B+C=180°,进而转化为角的计算.2.解决本题时常会因不能合理利用正、余弦定理转化边角关系而造成失分.高考导航演真题·明备考高考体验D2.(2013·全国Ⅰ卷,文10)已知锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,23cos2A+cos2A=0,a=7,c=6,则b等于(

)(A)10 (B)9 (C)8 (D)5D3.(2016·全国Ⅱ卷,文15)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cosA=,cosC=,a=1,则b=

.

答案:高考感悟1.考查角度(1)正、余弦定理的简单应用:利用正、余弦定理解三角形;(2)求三角形的面积或以面积为依托解三角形;(3)与三角恒等变换相结合;(4)解三角形的实际应用.2.题型及难易度选择题、填空题、解答题.难度中档或偏下.热点突破剖典例·促迁移正、余弦定理的应用热点一考向1解三角形答案:(1)B(2)(2016·湖南岳阳二模)在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,且满足acosB+bcosA=2ccosC,则角C=

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答案:(2)考向2判定三角形的形状【例2】(1)(2016·江西南昌三模)在△ABC中,若sin2Ccos2B+sin2Csin2B=0,且cos2C+cosC=0,则△ABC是(

)(A)直角非等腰三角形 (B)等腰非等边三角形(C)等腰直角三角形 (D)等边三角形(2)(2016·辽宁大连一模)△ABC中,D为BC的中点,满足∠BAD+∠C=90°,则△ABC的形状是(

)(A)等腰三角形 (B)直角三角形(C)等腰直角三角形 (D)等腰或直角三角形

解析:(2)因为∠BAD+∠C=90°,所以∠CAD+∠B=180°-(∠BAD+∠C)=90°.设∠BAD=α,∠B=β,则∠C=90°-α,∠CAD=90°-β,在△ABD和△ACD中,由正弦定理得sinα∶sinβ=BD∶AD,sin(90°-β)∶sin(90°-α)=CD∶AD.又D为BC中点,所以BD=CD,所以sinα∶sinβ=sin(90°-β)∶sin(90°-α)=cosβ∶cosα,所以sinαcosα=sinβcosβ,即sin2α=sin2β,所以2α=2β或2α+2β=180°,所以α=β或α+β=90°,所以BD=AD=CD或AD⊥CD,所以∠BAC=90°或AB=AC,所以△ABC为直角三角形或等腰三角形.故选D.【方法技巧】(1)解三角形问题,多为边和角的求值问题,这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系,从而达到解决问题的目的.(2)判定三角形的形状要对所给边角关系进行转化,一般有两种途径:边化角或角化边.同时注意“解”是否唯一,并注意挖掘隐含条件.另外,在变形过程中要注意角A,B,C的范围对三角函数值的影响.三角恒等变换与解三角形的综合热点二(2)若c=,sinA=,求△ABC的面积.(2)若c=,sinA=,求△ABC的面积.突破痛点换元、消元在本例中,若将条件式改为“ccosB-(2a-b)cosC=0”,试求角C的大小.【方法诠释】

解决与三角恒等变换相结合的问题,其思想是换元、消元.常用方法有:①边角互化;②弦切互化;③统一角;④特殊角.对条件式的处理以化简为主,找到关系.答案:【方法技巧】

关于解三角形问题,一般要用到三角形的内角和定理,正、余弦定理及有关三角形的性质,常见的三角变换方法和原则都适用,同时要注意“三统一”,即“统一角、统一函数、统一结构”,这是使问题获得解决的突破口.热点训练2:(2016·河南开封一模)在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若ccosA,bcosB,acosC成等差数列.(1)求∠B;解:(1)因为ccosA,bcosB,acosC成等差数列,所以2bcosB=ccosA+acosC.由正弦定理知a=2RsinA,c=2RsinC,b=2RsinB,代入上式得2sinBcosB=sinCcosA+sinAcosC,即2sinBcosB=sin(A+C).又A+C=π-B,所以有2sinBcosB=sin(π-B),即2sinBcosB=sinB.而sinB≠0,所以cosB=,结合0<B<π,得B=.(2)若a+c=,b=,求△ABC的面积.(2)若a+c=,b=,求△ABC的面积.正、余弦定理的实际应用热点三【例4】(2016·河南六市一模)如图,在一条海防警戒线上的点A,B,C处各有一个水声监测点,B,C两点到A的距离分别为20千米和50千米,某时刻,B收到发自静止目标P的一个声波信号,8秒后A,C同时接收到该声波信号,已知声波在水中的传播速度是1.5千米/秒.(1)设A到P的距离为x千米,用x表示B,C到P的距离,并求x的值;(2)求P到海防警戒线AC的距离.(2)求P到海防警戒线AC的距离.【方法技巧】

运用解三角形知识解决实际问题的步骤(1)分析题意,准确理解题意,分清已知与所求,尤其要理解题中有关名词、术语,如坡度、仰角、俯角、方位角等;(2)根据题意画出示意图,并将已知条件在图形中标出;(3)将所求解的问题归结到一个或几个三角形中,通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识正确求解;(4)检验解出的结果是否具有实际意义,对结果进行取舍,得出正确答案.热点训练3:(2016·湖南常德模拟)为了测量一铁塔AB的高度,某人在塔底B的正东方向C处测得塔顶A的仰角为45°,再由C点沿北偏东30°方向走了20米后到达D点,又测得塔顶A的仰角为30°,则铁塔AB的高度为

米.

解析:在Rt△ABC中,∠ACB=45°,所以BC=AB.在Rt△ABD中,∠ADB=30°,所以BD=AB.在△BCD中,∠BCD=120°,由余弦定理可得,BD2=BC2+CD2-2BC·CD·cos120°,所以3AB2=AB2+400-2×AB×20×.解得AB=20(米).答案:20备选例题挖内涵·寻思路【例题】(2016·四川绵阳质量诊断)已知在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足b=acosC+csinA.(1)求角A的大小;解:(1)在△ABC中,由正弦定理有,a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,代入b=acosC+csinA中,即得2RsinB=2RsinAcosC+2RsinCsinA,所以sinB=sinAcosC+sinCsin