人教A版高中数学（必修第一册）同步讲义 3.1.1函数的概念及其表示（教师版）

第第页3.1.1函数的概念课程标准学习目标①函数的概念；②了解函数的三要素；③掌握简单函数的定义域；④掌握求函数的值；⑤掌握区间的写法.通过本节课的学习，掌握函数概念及函数的三要素，会判断同一函数，会求简单函数的定义域及值域.知识点01：函数的概念1、初中学习的函数的传统定义设在一个变化的过程中，有两个变量SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，如果给定了一个SKIPIF1<0值，相应地就有唯一确定的一个SKIPIF1<0值与之对应，那么我们就称SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的函数，其中SKIPIF1<0是自变量，SKIPIF1<0是因变量.它们描述的是两个变量之间的依赖关系.2、函数的近代定义一般地，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是非空的实数集，如果对于集合SKIPIF1<0中的任意一个数SKIPIF1<0，按照某种确定的对应关系SKIPIF1<0，在集合SKIPIF1<0中都有唯一确定的数SKIPIF1<0和它对应，那么就称SKIPIF1<0为从集合SKIPIF1<0到集合SKIPIF1<0的一个函数(function)，记作SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.其中，SKIPIF1<0叫做自变量，SKIPIF1<0的取值范围SKIPIF1<0叫做函数的定义域；与SKIPIF1<0的值相对应的SKIPIF1<0值叫做函数值，函数值的集合SKIPIF1<0叫做函数的值域．显然，值域是集合SKIPIF1<0的子集.函数的四个特征：①非空性：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0必须为非空数集（注意不仅非空，还要是数集），定义域或值域为空集的函数是不存在的.②任意性：即定义域中的每一个元素都有函数值.③单值性：每一个自变量有且仅有唯一的函数值与之对应（可以多对一，不能一对多）.④方向性：函数是一个从定义域到值域的对应关系，如果改变这个对应方向，那么新的对应所确定的关系就不一定是函数关系.【即学即练1】（多选）（2023·全国·高三专题练习）下列四个图象中，是函数图象的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】ACD【详解】由函数的定义可知，对任意的自变量SKIPIF1<0，有唯一的SKIPIF1<0值相对应，选项B中的图像不是函数图像，出现了一对多的情况，其中选项A、C、D皆符合函数的定义，可以表示是函数.故选：ACD知识点02：函数的三要素1、定义域：函数的定义域是自变量的取值范围．2、对应关系：对应关系SKIPIF1<0是函数的核心，它是对自变量SKIPIF1<0实施“对应操作”的“程序”或者“方法”．3、值域：与SKIPIF1<0的值相对应的SKIPIF1<0值叫做函数值，函数值的集合SKIPIF1<0叫做函数的值域(range).【即学即练2】（2023·上海普陀·统考二模）函数SKIPIF1<0的定义域为______．【答案】SKIPIF1<0【详解】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0所以定义域为：SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0知识点03：函数相等同一函数：只有当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时,这两个函数才相等,即是同一个函数.【即学即练3】（2023·全国·高一专题练习）下列四组函数中，表示同一函数的是（

）A．SKIPIF1<0与SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0与SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0与SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0与SKIPIF1<0【答案】D【详解】对选项A，因为SKIPIF1<0定义域为R，SKIPIF1<0定义域为R，定义域相同，但SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0不是同一函数，故A错误；对选项B，因为SKIPIF1<0定义域为R，SKIPIF1<0定义域为SKIPIF1<0，定义域不同，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0不是同一函数，故B错误；对选项C，因为SKIPIF1<0定义域为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0定义域为SKIPIF1<0，定义域不同，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0不是同一函数，故C错误；对选项D，因为SKIPIF1<0定义域为R，SKIPIF1<0定义域为R，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是同一函数，故D正确.故选：D知识点04：区间的概念1区间的概念设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是实数，且SKIPIF1<0，满足SKIPIF1<0的实数SKIPIF1<0的全体，叫做闭区间，记作SKIPIF1<0，即，SKIPIF1<0。如图：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0叫做区间的端点．在数轴上表示一个区间时，若区间包括端点，则端点用实心点表示；若区间不包括端点，则端点用空心点表示．集合SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0区间SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<02含有无穷大的表示全体实数也可用区间表示为SKIPIF1<0，符号“SKIPIF1<0”读作“正无穷大”，“SKIPIF1<0”读作“负无穷大”，即SKIPIF1<0。集合SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0区间SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0【即学即练4】（2023秋·广东广州·高一西关培英中学校考期末）已知集合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【详解】解：因为集合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故选：B.题型01函数关系的判断【典例1】（2023秋·湖北襄阳·高一襄阳四中校考阶段练习）若函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，值域为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的图象可能是（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】选项A中，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，不符合题意，排除A；选项C中，存在一个x对应多个y值，不是函数的图象，排除C；选项D中，x取不到0，不符合题意，排除D.故选：B.【典例2】（2023春·江西新余·高一新余市第一中学校考阶段练习）已知集合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，下列对应关系中，从SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的函数为（

）A．f：SKIPIF1<0 B．f：SKIPIF1<0C．f：SKIPIF1<0 D．f：SKIPIF1<0【答案】D【详解】解：对A：当SKIPIF1<0时，对应的SKIPIF1<0为0,1,2，所以选项A不能构成函数；对B：当SKIPIF1<0时，对应的SKIPIF1<0为0,1,4，所以选项B不能构成函数；对C：当SKIPIF1<0时，对应的SKIPIF1<0为0,2,4，所以选项C不能构成函数；对D：当SKIPIF1<0时，对应的SKIPIF1<0为SKIPIF1<0,1,3，所以选项D能构成函数；故选：D.【变式1】（多选）（2023秋·江苏扬州·高一校考期末）下列对应中是函数的是（

）．A．SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0，其中y为不大于x的最大整数，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0【答案】AC【详解】对于A，对集合SKIPIF1<0中的每个元素x，按照SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中都有唯一元素y与之对应，A是；对于B，在区间SKIPIF1<0内存在元素x，按照SKIPIF1<0，在R中有两个y值与这对应，如SKIPIF1<0，与之对应的SKIPIF1<0，B不是；对于C，对每个实数x，按照“y为不大于x的最大整数”，都有唯一一个整数y与之对应，C是；对于D，当SKIPIF1<0时，按照SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中不存在元素与之对应，D不是.故选：AC题型02集合与区间的转化【典例1】（2023秋·江苏南通·高三统考期末）已知全集SKIPIF1<0,集合SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【详解】解:由题知SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.故选:B【典例2】（2023秋·广东广州·高一广州市海珠中学校考期末）若集合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】由集合交集运算可得SKIPIF1<0.故选：C.【变式1】（2023·全国·高三专题练习）全集SKIPIF1<0，集合SKIPIF1<0，集合SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【详解】由A中不等式SKIPIF1<0变形得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0中不等式SKIPIF1<0解得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又全集SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0,故选：SKIPIF1<0.题型03同一个函数【典例1】（2023·全国·高一专题练习）下列各组函数表示相同函数的是（

）A．SKIPIF1<0和SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0和SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0和SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0和SKIPIF1<0【答案】C【详解】对于A中，函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，两个函数的定义域不同，所以表示不同的函数；对于B中，函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，两个函数的定义域不同，所以表示不同的函数；对于C中，函数SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的定义域和对应法则都相同，所以表示相同的函数；对于D中，函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，两个函数的定义域不同，所以表示不同的函数.故选：C【典例2】（都选）（2023秋·内蒙古乌兰察布·高一校考期末）下面各组函数表示同一函数的是（

）A．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0【答案】BC【详解】对于A，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，定义域和对应法则不一样，故不为同一函数；对于B，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，定义域和对应法则相同，故为同一函数；对于C，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，定义域和对应法则相同，故为同一函数；对于D，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，定义域不同，故不为同一函数；故选:BC【变式1】（2023·全国·高三专题练习）下列每组中的函数是同一个函数的是（

）A．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0【答案】B【详解】对于A，函数SKIPIF1<0的定义域为R，函数SKIPIF1<0的定义域为[0，+∞），所以这两个函数不是同一个函数；对于B，因为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的定义域均为R，所以这两个函数是同一个函数；对于C，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的对应关系不同，所以这两个函数不是同一个函数；对于D，函数SKIPIF1<0的定义域为{SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0}，函数SKIPIF1<0的定义域为R，所以这两个函数不是同一个函数.故选：B.题型04求函数值【典例1】（2023·全国·高三专题练习）若函数SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0_________．【答案】4【详解】因为SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,故答案为：4.【典例2】（2023·高一课时练习）若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0＝______．【答案】3【详解】解：因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故答案为：3【变式1】（2023·高一课时练习）设函数SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【详解】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故选：B.【变式2】（2023·高一课时练习）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）计算：SKIPIF1<0____________；（2）计算：SKIPIF1<0____________．【答案】1SKIPIF1<0【详解】（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．（2）由（1）知SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故答案为：1；SKIPIF1<0.题型05根据函数值请求自变量或参数【典例1】（2022秋·福建厦门·高三校联考阶段练习）若函数SKIPIF1<0的值域是SKIPIF1<0，则此函数的定义域为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【详解】由函数SKIPIF1<0的值域是SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以函数的定义域为：SKIPIF1<0，故选：D【典例2】（多选）（2022秋·湖南岳阳·高一湖南省岳阳县第一中学校联考阶段练习）若函数SKIPIF1<0在定义域SKIPIF1<0上的值域为SKIPIF1<0，则区间SKIPIF1<0可能为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】BC【详解】∵函数SKIPIF1<0的图象是开口向上的抛物线，对称轴方程为SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，故要定义域SKIPIF1<0上的值域为SKIPIF1<0，满足题意的选项是：BC.故选：BC.【变式1】（2023·全国·高三对口高考）已知函数SKIPIF1<0的值域是SKIPIF1<0，则x的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【详解】SKIPIF1<0，画出图像，如图所示，

令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0（舍去）或SKIPIF1<0，对于A：当SKIPIF1<0时，结合图像，得SKIPIF1<0，故A错误；对于B：当SKIPIF1<0时，结合图像，得SKIPIF1<0，故B错误；对于C：当SKIPIF1<0时，结合图像，得SKIPIF1<0，故C错误；对于D：当SKIPIF1<0时，结合图像，得SKIPIF1<0，故D正确；故选：D．题型06函数的定义域（具体函数的定义域）【典例1】（2023·全国·高三专题练习）已知函数SKIPIF1<0的定义域为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【详解】由题意得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故定义域为SKIPIF1<0.故选：B【典例2】（2023·全国·高三专题练习）函数SKIPIF1<0的定义域为______．【答案】SKIPIF1<0【详解】由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，故函数的定义域为：SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0【变式1】（2023·全国·高一专题练习）函数SKIPIF1<0的定义域为________.【答案】SKIPIF1<0【详解】令SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0.故答案为:SKIPIF1<0.题型07函数的定义域（抽象函数的定义域）【典例1】（2023秋·陕西西安·高一长安一中校考期末）已知函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，则函数SKIPIF1<0的定义域为______.【答案】SKIPIF1<0【详解】因为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.【典例2】（2023·江西九江·校考模拟预测）若SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的定义域．【答案】SKIPIF1<0.【详解】由函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，则要使函数SKIPIF1<0有意义，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0,∴函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0.【变式1】（2023·全国·高三专题练习）（1）已知函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，则函数SKIPIF1<0的定义域为______．（2）已知函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，则函数SKIPIF1<0的定义域为______．【答案】SKIPIF1<0SKIPIF1<0【详解】（1）令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，因为函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0．（2）令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．因为函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0题型08函数的定义域（复合函数的定义域）【典例1】（2023秋·福建宁德·高一福建省霞浦第一中学校考期末）若函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，则函数SKIPIF1<0的定义域为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】解：因为函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，对于函数SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0.故选：C【典例2】（2023春·黑龙江佳木斯·高一富锦市第一中学校考阶段练习）已知函数SKIPIF1<0）的定义域为SKIPIF1<0，则函数SKIPIF1<0的定义域为（）A．（SKIPIF1<0，4）B．[SKIPIF1<0，4）C．（SKIPIF1<0，6）D．（SKIPIF1<0，2）【答案】C【详解】由函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0定义域为SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，取交集得SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．故选：C．【变式1】（2023·全国·高三专题练习）已知函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则函数SKIPIF1<0的定义域为______.【答案】SKIPIF1<0【详解】解法1：由函数SKIPIF1<0，则满足SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，即函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，对于函数SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0.解法2：由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.题型09函数的定义域（实际问题中的定义域）【典例1】（2023·全国·高三专题练习）已知等腰三角形的周长为SKIPIF1<0，底边长SKIPIF1<0是腰长SKIPIF1<0的函数，则函数的定义域为()A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【详解】由题设有SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，故选A.【典例2】（2022·高一课时练习）周长为定值SKIPIF1<0的矩形，它的面积SKIPIF1<0是这个矩形的一边长SKIPIF1<0的函数，则这个函数的定义域是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【详解】依题意知，矩形的一边长为x，则该边的邻边长为SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，故这个函数的定义域是SKIPIF1<0.故选：D【变式1】（2022秋·山东烟台·高一校考阶段练习）如图，某小区有一块底边和高均为40m的锐角三角形空地，现规划在空地内种植一边长为SKIPIF1<0（单位：m）的矩形草坪（阴影部分），要求草坪面积不小于SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的取值范围为______.【答案】SKIPIF1<0【详解】设矩形另一边的长为SKIPIF1<0m，由三角形相似得：SKIPIF1<0，（SKIPIF1<0）,所以SKIPIF1<0,所以矩形草坪的面积SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0题型10函数的值域（常见（一次，二次，反比例）函数的值域）【典例1】（2022秋·黑龙江哈尔滨·高一校考期中）函数SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值域为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【详解】解：SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0所以函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，在SKIPIF1<0上单调递减则SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0的值域为SKIPIF1<0.故选：B.【典例2】（2022·江苏·高一专题练习）求下列函数的定义域、值域，并画出图象：(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0；(3)SKIPIF1<0；(4)SKIPIF1<0；(5)SKIPIF1<0；(6)SKIPIF1<0．【详解】（1）SKIPIF1<0定义域为SKIPIF1<0，值域为SKIPIF1<0，列表如下：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0作出图象如图：（2）SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，值域为SKIPIF1<0，列表如下：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0作出图象如图：.（3）SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，列表如下：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0作出图象如图：由图知：值域为SKIPIF1<0.（4）SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，列表如下：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0作出图象如图：由图知：值域为SKIPIF1<0；（5）SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，开口向下的抛物线，最大值为SKIPIF1<0，所以值域为SKIPIF1<0，列表如下：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0作出图象如图：（6）SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，对称轴为SKIPIF1<0，开口向上，SKIPIF1<0，所以值域为SKIPIF1<0；列表如下：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0作出图象如图：【变式1】例题3．（2022秋·浙江杭州·高一校考阶段练习）求下列函数的值域.(1)SKIPIF1<0;(2)SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【详解】（1）函数的定义域为SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,所以函数SKIPIF1<0的值域为SKIPIF1<0.（2）因为函数SKIPIF1<0的对称轴为SKIPIF1<0,所以函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递减,SKIPIF1<0单调递增,所以函数SKIPIF1<0的值域为SKIPIF1<0.题型11函数的值域（根式型函数的值域）【典例1】（2023·全国·高三专题练习）函数SKIPIF1<0的值域为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【详解】设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以函数SKIPIF1<0的值域为SKIPIF1<0.故选：A．【典例2】（2023·全国·高三专题练习）求函数SKIPIF1<0的值域为_________.【答案】SKIPIF1<0【详解】令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0容易看出，该函数转化为一个开口向下的二次函数，对称轴为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以该函数在SKIPIF1<0时取到最大值SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，函数取得最小值SKIPIF1<0，所以函数SKIPIF1<0值域为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0【变式1】（2023·高一课时练习）函数SKIPIF1<0的值域是___________.【答案】SKIPIF1<0【详解】设SKIPIF1<0则SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0因为函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以函数SKIPIF1<0的值域为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.题型12函数的值域（分式型函数的值域）【典例1】（2023·全国·高三专题练习）函数ySKIPIF1<0的值域是（）A．（﹣∞，+∞） B．（﹣∞，SKIPIF1<0）∪（SKIPIF1<0，+∞）C．（﹣∞，SKIPIF1<0）∪（SKIPIF1<0，+∞） D．（﹣∞，SKIPIF1<0）∪（SKIPIF1<0，+∞）【答案】D【详解】解：SKIPIF1<0，∴ySKIPIF1<0，∴该函数的值域为SKIPIF1<0．故选：D．【典例2】（2023秋·上海徐汇·高一上海中学校考期末）（1）求函数SKIPIF1<0的值域；（2）求函数SKIPIF1<0的值域.【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0【详解】（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时等号成立；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时等号成立.故函数值域为SKIPIF1<0；（2）函数定义域为SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故函数值域为SKIPIF1<0.【变式1】（2023·全国·高三专题练习）求函数SKIPIF1<0的值域______________．【答案】SKIPIF1<0【详解】由解析式知：函数的定义域为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，∴整理可得：SKIPIF1<0，即该方程在SKIPIF1<0上有解，∴当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，显然成立；当SKIPIF1<0时，有SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴综上，有函数值域为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.【变式2】（2023·全国·高三专题练习）函数SKIPIF1<0的值域是___________.【答案】SKIPIF1<0【详解】解：SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0所以函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0令SKIPIF1<0，整理得方程：SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，方程无解；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0不等式整理得：SKIPIF1<0解得：SKIPIF1<0所以函数SKIPIF1<0的值域为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0题型13根据函数的值域求定义域【典例1】（2023·全国·高三对口高考）已知函数SKIPIF1<0的值域是SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【详解】SKIPIF1<0，画出图像，如图所示，

令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0（舍去）或SKIPIF1<0，对于A：当SKIPIF1<0时，结合图像，得SKIPIF1<0，故A错误；对于B：当SKIPIF1<0时，结合图像，得SKIPIF1<0，故B错误；对于C：当SKIPIF1<0时，结合图像，得SKIPIF1<0，故C错误；对于D：当SKIPIF1<0时，结合图像，得SKIPIF1<0，故D正确；故选：D．【典例2】（多选）（2022秋·湖南郴州·高一校考阶段练习）已知函数SKIPIF1<0的值域是SKIPIF1<0，则其定义域可能是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】AD【详解】令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或-2，可作出函数图象如图：设定义域为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，故AD正确，BC错.故选：AD.【变式1】（多选）（2022秋·湖南岳阳·高一湖南省岳阳县第一中学校联考阶段练习）若函数SKIPIF1<0在定义域SKIPIF1<0上的值域为SKIPIF1<0，则区间SKIPIF1<0可能为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】BC【详解】∵函数SKIPIF1<0的图象是开口向上的抛物线，对称轴方程为SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，故要定义域SKIPIF1<0上的值域为SKIPIF1<0，满足题意的选项是：BC.故选：BC.题型14重点方法之换元法求值域【典例1】（2023·全国·高三专题练习）函数SKIPIF1<0的值域为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【详解】设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以函数SKIPIF1<0的值域为SKIPIF1<0.故选：A．【典例2】（2023秋·上海徐汇·高一上海中学校考期末）求函数SKIPIF1<0的值域.【答案】SKIPIF1<0函数定义域为SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故函数值域为SKIPIF1<0.题型15重点方法之分离常数法求值域【典例1】（2023·全国·高三专题练习）求函数SKIPIF1<0的值域.【答案】SKIPIF1<0.【详解】由函数SKIPIF1<0，可得其定义域为SKIPIF1<0，又由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0所以函数SKIPIF1<0的值域为SKIPIF1<0.【典例2】（2023·全国·高一专题练习）求下列函数的值域：SKIPIF1<0【答案】SKIPIF1<0【详解】因为SKIPIF1<0SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以函数SKIPIF1<0的值域为SKIPIF1<0．题型16数学思想方法（数形结合的思想方法）【典例1】（2023·全国·高三对口高考）已知函数SKIPIF1<0的值域是SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【详解】SKIPIF1<0，画出图像，如图所示，

令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0（舍去）或SKIPIF1<0，对于A：当SKIPIF1<0时，结合图像，得SKIPIF1<0，故A错误；对于B：当SKIPIF1<0时，结合图像，得SKIPIF1<0，故B错误；对于C：当SKIPIF1<0时，结合图像，得SKIPIF1<0，故C错误；对于D：当SKIPIF1<0时，结合图像，得SKIPIF1<0，故D正确；故选：D．【典例2】（2023春·江苏泰州·高一靖江高级中学校考阶段练习）若函数SKIPIF1<0的定义域是SKIPIF1<0，则其值域为（

）.A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】D【详解】函数SKIPIF1<0图像可由SKIPIF1<0图像向右平移一个单位得到，如图所示:SKIPIF1<0，结合图像可知，函数的值域为SKIPIF1<0.故选：D题型17易错题（换元必换范围）【典例1】（2023·全国·高一专题练习）求下列函数的值域：SKIPIF1<0．【答案】SKIPIF1<0【详解】设SKIPIF1<0（换元），则SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即函数SKIPIF1<0的值域为SKIPIF1<0.【典例2】（2023·全国·高三专题练习）函数SKIPIF1<0的值域为___________．【答案】SKIPIF1<0【详解】解：因为SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0的值域为SKIPIF1<0；故答案为：SKIPIF1<03.1.1函数的概念A夯实基础一、单选题1．（2023·重庆·高二统考学业考试