等腰三角形 全省一等奖

等腰三角形的性质概念认知在△ABC中，AB=AC。ABC腰腰底顶角底角底角等腰三角形在实际生活中的应用等腰三角形ABC等腰三角形是一种特殊的三角形，它除具有一般三角形的性质外，还有一些特殊性质。等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）顶角平分线底边上的高底边上的中线等腰三角形的、、互相重合。（简称：）三线合一等腰三角形的性质定理1等腰三角形的性质定理2证明：过点A作∠BAC的角平分线交BC于点D

D

AB=AC(已知) ∠BAD=∠CAD(已证) AD=AD(公共边)∴△BAD≌△CAD(SAS)∴∠B=∠C(全等三角形对应角相等)∴∠BAD=∠CAD(角平分性质定理)∵在△BAD与△CAD中根据这一题，我们还可以得到什么结论？还可以得到AD⊥BC和BD=CD等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边。ＡＢＣ已知：求证：△ABC中，AB＝AC∠Ｂ＝∠ＣＡＢＣ已知：△ABC中，AB＝AC求证：∠Ｂ＝∠Ｃ证明：作BC边上的中线

AD

D

AB=AC(已知) BD=CD（已证）

AD=AD(公共边)∴△BAD≌△CAD(SSS)∴∠B=∠C(全等三角形对应角相等)∴BD=CD(中线定义)∵在△BAD与△CAD中还可以得到∠BAD=∠CAD和AD⊥BC根据这一题，我们还可以得到什么结论？等腰三角形底边上的中线平分顶角并且垂直于底边。ＡＣ已知：△ABC中，AB＝AC求证：∠Ｂ＝∠Ｃ证明：过点A作AD⊥BC交BC于点D

D

AB=AC(已知)

AD=AD(公共边)∴△BAD≌△CAD(HL)∴∠B=∠C(全等三角形对应角相等)∴∠BDA=∠CDA=90°(垂直定义)∵在Rt△BAD与Rt△CAD中Ｂ还可以得到∠BAD=∠CAD和BD=CD根据这一题，我们还可以得到什么结论？等腰三角形底边上的高平分底边并且平分顶角。ABCD已知：△ABC中，AB＝AC、BD平分∠ABC。能否推出BD⊥AC、DA=DC吗？（不能）例1 例1如图在△ABC中AB＝AC点D在AC上，且BD＝BC＝AD，求△ABC各角的度数。（1）∵AD⊥BC，∴∠____=∠____，___=___（2）∵AD是中线，∴___⊥___，∠____=∠____（3）∵AD是角平分线，∴___⊥___，___=___BADCADBDCD

ADBC

ADBCBADCADBDCD根据等腰三角形性质定理的推论，在△ABC中，AB=AC时，巩固练习一ＡＣDＢ找出下面图形中相等的角：（1）在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，CD⊥AB∠A=∠B=∠ACD=∠BCD=45°∠ADC=∠BDC=∠ACB=90°巩固练习二ACBD巩固练习三根据下列条件求等腰三角形中其余角的度数顶角为70°(2)一个底角为45°(3)一个底角为60°(4)一个角是30°(5)一个外角是70°55°和55°45°和90°60°和60°30°和120°或75°和75°110°、35°、35°巩固练习四在△ABC中，AB=AC=BC,用已有的知识。如何推导出∠A、∠B、∠C的度数。ＡＣＢ证明:∵AB=AC∴∠B=∠C(等边对等角)

同理:∠A=∠C、∠A=∠B∴∠B=∠C=∠A

∴∠B=∠C=∠A=60°推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°.∵∠B+∠C+∠A=180°（三角形内角和定理）30°75°75°30°30°120°70°70°110°110°110°35°35°例1

已知：如图，房屋的顶角∠BAC=100°，过屋顶

A的立柱AD⊥BC，屋椽AB=AC。求：顶架上∠B、∠C、∠BAD、∠CAD的度数。ABDC解：在△ABC中，∵AB=AC（已知）∴∠B=∠C（等边对等角）∴∠B=∠C=

（180°—∠BAC）

=40°（三角形内角和定理）又∵AD⊥BC（已知）∴∠BAD=∠CAD（

）等腰三角形底边上的高和顶角平分线互相重合∴∠BAD=∠CAD=50°三线合一）关于撑伞的数学问题已知：如图，AB=AC，DB=DC猜想：AD垂直平分BCＡＢＣDO证明:∴△ABD≌△ACD(SSS)∴∠BAD=∠CAD∴AD垂直平分BC∵在△ABD与△ACD中AB=ACBD=CDAD=CD∠AOB=∠AOC∵∠AOB+∠AOC=180°∴∠AOB=∠AOC=90°巩固练习五已知：在△ABC中，AB=AC，CD⊥AB，∠1=45°求：∠BCD的度数∵DC⊥AB，∠1=45°∴∠A=45°∵AB=AC（已知）∴∠B=∠ACB（等边对等角）∵∠A+∠B+∠ACB=180°（三角形内角和定理）∴∠B=∠ACB=67.5°∵∠BCD=∠BCA－∠1∴∠BCD=67.5°－45°=22.5°证明ＡＢＣD1已知：AD=DC=CB，∠A=25°求：∠DCB的度数。巩固练习六ＡＢＣD∵在△ADC中，AD=CD∴∠DCA=∠A=25°（等边对等角）∴∠BDC=∠DCA+∠A=50°（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）在△BDC中，D