人教版数学六年级上册教材分析

人教版数学六年级上册教材分析

第一单元分数乘法

一、教学内容

1.分数乘法的意义。

2.分数乘法的计算。

3.利用分数乘法解决相关实际问题。

二、教学目标

1.使学生理解分数乘法的意义是整数乘法意义的扩展；理解和掌握分数乘法

的计算方法，会计算分数乘整数、分数、小数；能运用乘法运算定律进行一些简

便计算。

2.使学生经历分数乘法计算方法的探索过程，经历应用分数乘法解决简单实

际问题的过程，进一步培养分析、比较、抽象、概括、归纳、类推的能力，发展

初步的合情推理和演绎推理的能力。

3.使学生感受知识之间的内在联系，提高自主探索与合作交流学习的能力，

建立学好数学的信心。

三、主要变化与具体编排

(-)主要变化

1.进一步厘清分数乘法的意义。

分数乘法的意义是整数乘法意义的扩展，二者在本质上完全一致，只是在表

述方式上有所区别。例如，如果脱离情境，在抽象的层面上讨论“5X3”，它既

可以表示5个3相加，用“倍”的语言来描述就是“3的5倍”；也可以表示3

个5相加，同样可以说成“5的3倍”。类似地，如果以这样的方式来讨论“3

X”，它既可以表示3个相加，即“的3倍”；也可以表示“3的”。从表面上

看，“一个数的几分之几”是一种全新的表述，但实际上，它只是省略了“3的

倍”中的“倍”字，把“一个数的几倍”扩展到“一个数的几分之几”。从另一

个角度看，“3的"和''个3”表示的意思完全相同，例如，一根绳子长3m,

“它的长多少米"和‘'根绳子长多少米”说的是一个意思。因此，不管是整数乘

法还是分数乘法，其意义都可以归结为“几个几”，只不过，这里的两个“几”

都既可以是整数，也可以是分数。

根据这样的思路，教材编排了三道例题来教学分数乘法的意义和计算。例1,

让学生计算3个m是多少，学生可以直接利用整数乘法的意义，转化成连加进

行计算。例2,是例3的铺垫，让学生根据整数乘法中的数量关系“单位量义数

量=总量”列出“1桶水12L,桶是多少升”的算式是12X,然后结合直观图和

分数的意义，发现12X在这儿表示的就是12L的，进而得出“一个数乘几分之

几可以表示求这个数的几分之几是多少”的结论。在这一过程中，把“桶水”变

成“1桶水的”，实现了从“量”到“率”的有效转换。有了例2的基础，例3

中求“公顷的”，算式列成义就“有据可依”了。

这样编排，有几个好处。一是在单元之始就把分数乘法意义的两种不同表述

方式都呈现出来，使学生对分数乘法的意义有比较全面、完整的认识。二是编排

逻辑更加清晰，先让学生理解分数乘法的意义，解决“如何列式”，再解决“如

何计算”。三是突破了过去教材中到“问题解决”部分才去解决“求一个数的几

分之几是多少”的限制，大大拓宽了本单元其他内容的素材选择范围。例如，既

可以出现“蜂鸟的飞行速度是千米/分，分钟飞行多少千米”的题材（分数是一

种具体量，带单位），也可以出现‘'一头鲸长28m,一个人身高是鲸体长的。

这个人身高是多少米”的练习题（分数是一种“率”，不带单位）。

2.增加分、小数相乘的内容。

学生在未来的学习中会遇到许多分、小数相乘的情况，例如，解决“按1：

5的比配制一杯1.2L的稀释液，需要多少升浓缩液”的问题时，需要计算形

如1.2X的算式。如果学生不会直接约分，计算的繁琐程度和出错概率就会大大

增加。因此，教材新编了例5,让学生分别计算2.IX和2.4X,让学生根据数

据的特点灵活选择计算方法，能直接约分的尽量直接约分。教学时，要使学生通

过2.4义=24X0.IX=义0.IX=0.6X的推导过程理解“为什么能直接约分”的原

理。

3.调整了用分数乘法解决实际问题的类型。

如前所述，学生已经在“分数乘法的意义和计算”中解决了“求一个数的几

分之几是多少”的基本问题。这一基本数量关系的掌握对于解决更复杂的分数乘

法问题至关重要。

此次修订增加了“连续求一个数的几分之几是多少”的问题。这一类问题是

“求一个数的几分之几是多少”的延续，已知量和所求的量之间的关系没有直接

给出，而是通过一个“中间量”搭建起二者之间的“桥梁”。在解决这一类问题

时，需要学生把复杂的问题化归为基本的“求一个数的几分之几是多少”，并抓

住这一基本数量关系中的几个关键要素：单位“1”是谁？所求的量是谁？二者

之间是几分之几的关系？尤其要注意单位“1”与几分之几之间的对应关系。

对于“求比一个数多（或少）几分之几的数是多少”这类问题，与实验教材

相比，修订后的教材减轻了例题的份量，在例题中只出现不同量的情况（婴儿每

分钟心跳的次数比青少年多），对于同一量的情况（嗓音降低），则放在“做一

做”中让学生巩固掌握。

4.把“倒数”的内容移至“分数除法”单元。

倒数是联结分数乘法和分数除法的纽带。在进行分数除法计算时，要用到“除

以一个数，等于乘上这个数的倒数”这一结论，因此，把“倒数”安排在“分数

除法”单元，更能体现出学习倒数的必要性。

（二）具体编排

1.例lo

直接利用整数乘法的意义来引入分数乘法，使学生理解几个相同分数相加和

几个相同整数相加都可以用乘法计算。并通过将分数乘法转化为分数加法来探究

分数乘法的算理，掌握计算方法。

从吃蛋糕的实际问题引入，借助圆形直观图帮助学生理解题意，探究计算方

法。这一直观图延续了三年级学习简单的分数加法时所用的直观图，有助于学生

利用己学的知识自主探索。此例中的分数带单位，是一个“量”，学生对于求几

个相同量之和的数量关系非常熟悉。先呈现加法计算，然后直接根据整数乘法的

意义列出两个乘法算式，说明在这种情况下整数乘法的意义同样适用。

计算时，先将分数乘法转化为几个相同分数相加，使学生明白分母不变、分

子相乘的道理。在此基础上总结分数乘整数的计算方法，并指出有时可以先约分

再相乘的简便算法。

2.例20

让学生利用己学的整数乘法的数量关系进行类推，列出分数乘法算式，结合

具体情境，使学生理解“一个数乘几分之几可以表示求这个数的几分之几”。这

是“求一个数的几分之几可以用这个数乘几分之几”的列式依据。

教材呈现了三幅图，都是已知1桶水的体积，分别要求3桶水、桶水、桶水

的体积。在这里，列式所依据的数量关系都是“每桶水的体积X桶数=水的体积”，

只是桶数可以由整数扩展到分数。接下来，结合情境，说明求桶水、桶水的体积

就是求12L的和12L的分别是多少。在此基础上，概括出“一个数乘几分之几,

可以表示这个数的几分之几是多少”。

3.例30

本例是在学生会利用“求一个数的几分之几是多少，用乘法计算”列式之后，

学习分数乘分数的计算方法。

教材利用两个小题，由简单到复杂，结合直观操作，使学生在探索和理解分

数乘分数算理的基础上，一步一步总结出分数乘分数的计算方法，渗透数形结合

的数学思想，培养学生的逻辑推理能力。

要理解分数乘分数的算理，其根本在于分数意义的理解。在这里，有些分数

是带单位的“量”，有些分数是不带单位的“率”，事实上，“量”与“率”也

是可以互相转化的。例如，公顷，实际上就是1公顷的；公顷的，就是1公顷的，

即公顷。

4.例4。

本例是学习分数乘法的简便方法。学生在前面对于分数乘法的意义和算理有

了深刻的理解后，教学重点转入寻求便捷的算法。

在设计情境时，教材特意把两个小题设计成需要运用分数乘法意义的两种不

同形式进行列式的情形，旨在进一步巩固分数乘法的意义。其中，第（1）小题

是“求一个数的几分之几”，第（2）小题既可以根据“速度X时间=路程”列式，

也可以根据“几个相同分数相加”列式。

在数据处理上，本例中既包含分数与分数相乘，又包含分数与整数相乘。学

生可以通过此例，进一步掌握分数乘法的一般性算法。

5.例5。

本例是教学分数与小数相乘的计算问题。分、小数混合运算是在日常生活中

以及未来的数学与其他学科的学习中经常会遇到的情形，因此，根据分、小数的

数据特点灵活选择计算策略，也是学生应该具备的一项技能。为此，教材在修订

时增加了这部分内容。

分数和小数相乘，可把分数化成小数相乘（如果分数可以化成有限小数），

也可把小数化成分数相乘。不管哪种方法，都是学生已学的知识，可以让学生自

行解决。而当小数与分数的分母存在某种倍数关系时，可以直接“约分”。这种

约分虽然与以前学过的约分形式不同，但实质都是除以一个相同的数。

6.例6o

从“做一个长方形画框需要多长的木条”的实际问题引入，利用长方形画框

的周长计算引出分数混合运算。鼓励学生用不同的方法（除了教材上的两种方法，

还有可能用四条边相加的）计算，很自然地呈现各种形式的算式，有两级运算的，

有带小括号的。教材直接说明分数混合运算的顺序和整数混合运算顺序相同，让

学生自主解决。

教材特意用两道有关联的算式教学分数混合运算的顺序，为接下来正式教学

把整数乘法运算定律推广到分数乘法作了很好的铺垫。在此基础上，再通过观察、

计算，归纳得出“整数乘法的交换律、结合律和分配律，对于分数乘法也适用”

的结论。

7.例7o

教材结合具体计算，说明应用乘法运算定律可以使分数混合运算更加简便。

8.例8O

本例是让学生在会解决求一个数的几分之几是多少的基础上，解决连续求一

个数的几分之几是多少的实际问题。在这里，由于研究的是三个量之间的关系，

在描述其中某两个量的数量关系时，单位“1”是在动态变化的。

教材按“阅读与理解”“分析与解答”和“回顾与反思”呈现解决问题的一

般步骤。到了高年级，随着问题复杂度提高，对于信息的搜集、题意的理解以及

整个问题解答过程以及结果合理性的回顾与讨论，显得越来越重要。

在“分析与解答"环节，一方面，通过折纸或画图等操作活动，借助直观图

形帮助学生理解题中的数量关系，体会画图是分析问题、解决问题的重要策略。

另一方面，倡导解决问题方法的多样化。既可以先求出萝卜地的面积，再求出红

萝卜地的面积；也可以先求出红萝卜地占大棚面积的几分之几，再求出红萝卜地

的面积。不同解题思路的呈现，可以提高学生思维的灵活性和发散性。

“回顾与反思”让学生自己完成。检验的角度很多，比如，看看直观图画得

是否符合题意，看看列式是否符合图意，看看计算是否正确。检验的方法也是多

样化的。例如，可以看到萝卜地的面积是红萝卜地的4倍，而大棚面积是萝卜地

的2倍%用红萝卜地的60m2乘4,得到萝卜地是240nl,，再乘2,是480m:与题

中的信息相符。也可以看看红萝卜地的面积是否占整块萝卜地的。

9.例9o

本例是让学生解决求比一个数多（或少）几分之几的数是多少的问题。虽然

还是研究两个量间的关系，但由于没有直接给出“一个量是另一个量的几分之几”,

需要先求出一个量比另一个量多（或少）的具体数量或者先求出一个量是另一个

量的几分之几。

教材通过线段图直观地表示出“婴儿每分钟心跳的次数比青少年多”的意思，

对于学生理解题意、选择解决方法起到了关键性的作用。

教材体现了多样化的解题策略。可以先计算婴儿每分钟心跳比青少年多多少

次，这就需要先解决“75次的是多少次”的问题。还可以先求出婴儿每分钟心

跳次数是青少年的几分之几，这就需要先解决“比一个数多的数是这个数的几分

之几”的问题。

“回顾与反思”部分，使学生通过回顾解题的过程，充分认识到画线段图

这一策略对于解决问题的重要作用。同时，列举了一种检验结果的方法，引导学

生用不同的方法加以检验。

四、教学建议

1.在已有知识的基础上，帮助学生自主构建新知识。

2.通过操作和直观图示帮助学生理解分数乘法的算理，掌握计算方法。

3.紧密联系分数乘法的意义，引导学生在理解数量关系的基础上正确列式，

解决实际问题。

第二单元位置与方向（二）

一、教学内容

用方向和距离描述平面上两个点的相对位置关系并在此基础上描述简单的

路线图。

二、教学目标

1.使学生会根据平面上一个点的位置说出它相对于观测点的方向和距离；

会根据一个点相对于观测点的方向和距离确定这个点的具体位置；会描述简单的

路线图。

2.通过让学生想象出物体的方位和相互之间的位置关系，培养空间观念。

3.使学生通过用方向和距离来表示平面上的位置，初步感受坐标法的思想。

4.使学生通过生活实例学习位置与方向的知识，感受数学与生活的紧密联

系，学会在生活中应用数学。

三、主要变化与具体编排

（一）主要变化

“用数对确定位置”和“用方向和距离确定位置”是直角坐标和极坐标思想

在小学的初步渗透。在上一轮教材的实验过程中，教师普遍反映“用方向和距离

确定位置”的教学难度要大于“用数对确定位置”。因此，此次修订，根据各方

意见，把实验教材六年级上册的“用数对确定位置”移至五年级上册，把实验教

材四年级下册的“用方向和距离确定位置”移至本册。

（二）具体编排

在具体编排上，也更加注重体现层次性。教材选择台风移动这一学生相对熟

悉的现实素材作为一个大背景，用“情境串”的形式引出3个例题。

1•例lo

教材以电视播报台风警报作为情境引入，具有很强的生活气息，使学生充分

感受生活和数学的紧密联系。

教材直接给出标出台风中心和A市的方位图，让学生利用图示理解台风中心

“位于A市东偏南30°方向、距离A市600km”所表示的含义。

确定一个位置，需要方向和距离两个条件，教材先通过小精灵提问的方式，

让学生思考东偏南30。表示什么意思，这也是本例的重点。使学生看到东偏南

300表示的是一条射线上的所有点，如果只有这一条件，还无法判断台风中心的

确切位置，由此引出距离。“东偏南30°”与“南偏东60°”含义完全相同，

只是生活中更习惯于选择小于45°的角度来描述。图示中用一条线段表示100km,

由于学生还没学习比例尺，只要能说出这样的6条线段表示600km就可以了，不

必涉及比例尺。

最后小精灵问“台风大约多少小时后到达A市”，主要目的是为了在解决实

际问题的过程中，与例2进行很自然的情境连接。

2.例2。

本例在学生通过例1了解了方向与距离的含义之后，让学生根据给出的某个

点相对于参照点的方向和距离，在方位图上找到该点的位置。延续了例1的情境，

情节连贯，随着现实情境的发展，自然地引出数学问题。

教材给出了两类定位的情形，一类是非正东、正南、正北、正西的，一方面

需要确定角度，另一方面需要确定距离；另一类的正东、正南、正北、正西的，

只需要确定距离即可。

教材采取小组合作的方式，提示学生应该如何根据方向和距离确定位置。先

确定方向再确定距离和先确定距离再确定方向这两种方法都可以用，但学生通过

尝试，一般会主动选择先确定方向，然后在该方向所在射线上根据相应的距离找

到该位置。

3.例3o

教材呈现了台风从生成地出发、经过四次方向改变的大致路径，让学生用数

学的语言来描述简单的路线图。路线图中包括了例1和例2中台风的移动路线，

体现了情境的整体性和知识的综合性。

路线图描述的不仅仅是两个点的静态关系，而是物体在多个点之间的运动关

系。除了整条路线的起点和终点之外，其他点都既是某一段路线的终点，也是下

一段路线的起点。教材通过学生对话的方式，给出了分段描述的示范，使学生明

白方向与距离的描述是具有相对性的，并掌握在描述每一段路线时要注意的几个

关键点：起点在哪儿？终点在哪儿？沿着什么方向？移动了多少距离？

四、教学建议

1.注意联系学生的生活经验和已有知识，引导学生自主探索新知，发展空间

观念。

2.以问题为载体，鼓励学生通过自主探究、合作交流，克服教学重难点，初

步建立坐标观念。

第三单元分数除法

一、教学内容

1.倒数的认识

2.分数除法的计算

3.问题解决

二、教学目标

1.使学生理解倒数的意义，掌握求一个数的倒数的方法。

2.使学生体会分数除法的意义，理解并掌握分数除法的计算方法，会进行

分数除法计算。

3.使学生会解决一些和分数除法相关的实际问题。

4.使学生体会数学与生活的密切联系，体会并掌握模型、方程、数形结合

等数学思想。

三、主要变化与具体编排

(-)主要变化

除了把“倒数”从“分数乘法”单元移过来和把“比”的内容另设单元以外,

本单元还有两个较大的变化。

1.删去“分数除法意义”的相关例题。

考虑到学生对整数乘、除法之间的关系已经非常熟悉，修订后的教材不再单

独设置有关“分数除法意义”的例题，只在相关练习中进一步巩固分数乘、除法

之间的关系。

2.增加两类“问题解决”。

第一类是和倍、差倍问题（两个量之间的“倍数关系”是以“几分之几”的

形式出现的）。在这类问题中，有两个未知量，这两个未知量之间的数量关系也

有两个。例如，第41页例6中，两个未知量分别是''上半场得分”和“下半场

得分”，两个数量关系分别是“上半场和下半场共得42分”和“下半场得分是

上半场的一半”。解决时，可以设其中一个未知量为％利用其中的一个数量关

系，用代数式表示出另一个未知量，再利用另一个数量关系列出方程。设的未知

数不同，列代数式和列方程所依据的数量关系不同，列出的方程也完全不同。例

如，本例就可以列出如下一些方程。

设其中一个未如果设上半场：X分如果设下半场：x分

知量为X

用代数式表示下半场：（42-X）下半场：X分上半场：（42-x）上半场：2x分

出另一个量分（依据“下半场分（依据“下半场

（依据“全场得得分是上半场（依据“全场得得分是上半场

42分”）的一半”）42分”）的一半”，即“上

半场得分是下

半场的2倍”）

列出方程42-个矛或X+A=42产（42-x）2X+A=42

x=2（42-x）（依据“全场得或42-A=2X（依据“全场得

（依据“下半场42分”）（依据“下半场42分”）

得分是上半场得分是上半场

的一半”或“上的一半”或“上

半场得分是下半场得分是下

半场的2倍”）半场的2倍”）

虽然这些方程之间可以通过变形互相转化，但其背后的思考角度是各不相同

的。教学时，要注意引导学生说一说解决问题的完整过程，并通过不同解法的交

流，养成多角度地思考问题的习惯。

第二类是可用抽象的“1”来解决的实际问题。教材利用修路这一“工程问

题”来引入，使学生经历发现和提出问题、分析和解答问题的过程。例如，学生

会认为题中缺少解题的信息，此时，教师追问：缺少什么信息呢？学生会回答:

不知道公路长多少千米。这样就很自然地引导学生假设公路总长为某个具体的长

度，把新问题转化为旧问题，加以解决。通过学生之间的交流，发现虽然假设的

公路具体长度不同，得到的结果却是相同的，使学生产生探究原因的欲望。通过

分析，发现不管公路总长是多少，两队每天修的长度分别占总长度的和是不变的,

这也是能得到相同结果的内在原因。此基础上，进一步抽象，可用“1”来表示

公路总长。

教学此例时，要注意以下几点。

第一，这里不是要系统地教学各类“工程问题”，教学时不要对“工程问题”

多变式、深挖掘、广训练。

第二，不必要求学生死记硬背”工作总量+工作效率=工作时间”等数量关

系，只要会用具体的语言描述出来就可以，如“公路的总长♦每天修的长度=需

要修的天数”。

第三，最重要的不是让学生记住结论，尤其不要把列出“1+(+)”这一最

简形式的算式作为教学的终极目标，形成“解题套路”，而是要让学生经历问题

解决的全过程，掌握问题解决的技能和策略。例如，假设的方法是解决此类问题

的重要策略，也是数学学习中常用的有效方法。如果学生认为把公路总长假设成

一个具体的量来解决更易于理解，要允许学生继续采用这种一般性的解题思路。

把公路总长假设成“1”(而不是1km),需要学生具有更抽象的数学思维。

第四，要结合问题解决，使学生体会和运用基本的数学思想和方法，积累基

本的活动经验。在此例的教学中，要注意体现变中有不变的思想、抽象的思想、

模型的思想。为了让学生进一步体会模型化的思想，教材特意在练习中编排了运

输问题、行程问题、泄洪问题、种树问题，使学生发现：虽然这些问题的现实背

景各不相同，但其背后的数量关系是相同的。数学教学的一个重要任务就是让学

生学会透过纷繁芜杂的现实情境的表象，找出体现数量之间本质关系的数学模型。

(-)具体编排

1.倒数的认识

(1)例1。

教材编排了几组乘积为1的乘法算式，使学生通过计算、观察、讨论等活动，

归纳出它们的共同规律，引出倒数的定义，并用实例突出“互为倒数”的含义。

然后引导学生思考互为倒数的两个数有什么特点；如果两个数都是分数，那么这

两个数的分子、分母交换位置；如果一个是整数，那么另一个分数的分子是1,

分母就是该整数，为例1的学习打下基础。

例1教学求倒数的方法。教材先安排找倒数的活动，初步体验找倒数的方法：

调换分子、分母的位置。在总结求倒数的方法时，要分三种情况：求分数的倒数；

求整数的倒数；1和0的倒数的问题。对于1和0的倒数问题，因为1X1=1,所

以1的倒数是1；因为0与任何数相乘都不可能是1,所以0没有倒数。

2.分数除法

(1)例lo

例1以折纸活动为载体，利用数形结合的方法帮助学生理解分数除以整数的

算理。教材分两个层次编排：先解决分数的分子能被整数整除的特殊情况；再引

出分子不能被整数整除的情况。第一个问题是分子能被整数整除的情况，有两种

思考方法，方法一是利用整数除法的意义，将分数除法转化为整数除法理解并计

算；方法二是利用分数的意义，将问题转化为求的来理解和计算。在此基础上提

出第二个问题，凸显方法一的局限性和方法二的一般适用性。

教材体现了让学生经历由特殊到一般的探索过程，进而理解把一个数平均分

成几份，求其中的1份，就是求这个数的几分之一是多少，渗透转化的数学思想。

(2)例2o

例2研究一个数除以分数的计算，包括整数除以分数和分数除以分数两种情

况。在解决“谁走得快些”这一实际问题的过程中，自然地列出两个算式，列式

的依据是“路程♦时间=速度”的数量关系，和以前所不同的是路程、时间由整

数换成了分数。由于学生对这一数量关系比较熟悉，所以列出分数除法算式不会

感到困难，有利于把教学重点集中于计算方法的探索与理解。

理解“2+”的算理是本例的重点。教材采用画线段图的直观方式呈现推算

的思路：由于1小时里有3个小时，所以可以先求出小时走了多少千米，即先求

出小时走的2km的一半(即)。由于有了直观图的支持，降低了学生对2XX3

中每一部分含义的理解难度，顺利完成从“除以一个分数”到“乘上这个分数的

倒数”的转化。

通过求小红平均每小时走多少路程引出分数除以分数的算式。由于有了整数

除以分数的算理的铺垫，教材在这儿没有呈现线段图，而是通过提问“为什么写

成X”，引导学生通过迁移类推，自行阐述算理。

以提问的方式，引导学生总结分数除法的一般算法，使学生看到，不管被除

数是整数还是分数，不管除数是整数还是分数，只要除数不为0,都可以转化成

乘上除数的倒数来计算。并启发学生用自己的方式表示这一算法。

(3)例3o

本例以学生熟悉的生活情境为素材引出分数混合运算。分数混合运算的顺序

问题已在“分数乘数”单元解决了，学生在此学习分数混合运算，既是分数四则

运算的综合应用，也为后面学习利用分数四则运算解决实际问题打下基础。

教材提供了两种不同的解决方法，体现了不同的分析思路。先分步列式，再

列综合算式解答。对于不带括号的分数乘除法混合运算，既可以从左至右按步骤

计算，也可以直接转化为分数连乘后同时约分计算。

(4)例4。

本例是让学生解决简单的“已知一个数的几分之几是多少，求这个数”的实

际问题。这类问题是分数乘法中“求一个数的几分之几是多少”的逆向问题。

教材通过问题解决的三大步骤让学生经历问题解决的全过程。其中，“阅读

与理解”让学生自行分析题意，弄清楚条件和问题，选取有效信息。在这里，成

人体内水分与体重的关系是一个多余条件，需要学生加以辨别。

这类问题如果用算术方法解，较难理解，学生往往难以判断谁是单位“1”，

数量关系也较复杂。因此，教材根据分数乘法的意义，利用已有知识画线段图，

找到数量关系，列出方程，并解出方程。这样思考问题的思路与相应的分数乘法

问题完全一致，只是参与列式的是未知数而已。

“回顾与反思”部分中检验结果的合理性是相应乘法数量关系的二次应用。

同时，对有效信息的选取的反思，以及对列方程方法价值的体会，也是反思的重

点。

（5）例5。

本例是“求比一个数多（或少）几分之几的数是多少”的逆向问题，是以例

4为基础，把条件稍作改变，形成稍复杂的问题。

用算术方法解决这样的实际问题，不仅需要逆向思考，还要把“比一个数多

（少）几分之几”，转化为“是一个数的几分之几”，比较抽象，思维难度大。

用方程方法解决，可以列出形如的方程，也可以列出形如的方程，前者仍然要经

历从“多（少）几分之几”到“是几分之几”的转化，后者只要根据一个数加（减）

增加部分等于增加（减少）后的数，就能列出方程。这样的等量关系，学生容易

理解。因此，教材选择符合学生顺向思维的思路，给出多样化的解题方法。

为了帮助学生思考，教材提示“先画线段图看看”，并给出了完整的图示,

为学生分析、理解等量关系提供直观支柱。然后得出不同的等量关系，并据此列

方程解答。

回顾与反思的目的在于反思问题解决的过程是否合理，检验解答是否正确，

方法可以多样化。

（6）例6o

本例中包括两个未知量，题中给出了这两个未知量之间的两种关系，要求学

生根据这样的关系列方程解答。由于这两种关系中，一种是两个量之间的倍数关

系，另一种是两个量之间的和或差的关系，因此，这样的问题过去被称为“和倍

问题”“差倍问题”。

教材以篮球比赛上、下场得分为素材，引出含有两个未知数的实际问题。这

样的问题如果用算术方法解决，需要逆向思考，比较抽象，思维难度大，容易出

错，列方程来解决更符合顺向思维。

教材给出了两种解法，区别在于先设哪个量为未知数，然后利用两个量的数

量关系，用代数式表示出另一个量。除了教材上的示例以外，还有其他的列方程

方法。

(7)例7o

本例是一类特殊的实际问题，使学生通过尝试、分析，找到本质的数量关系，

进而解决问题。

本例采用的素材是“工程问题”，但并不是要求学生解决形形色色的“工程

问题”，而是要借此让学生经历利用自主探究解决问题的过程，掌握用假设、

验证等方法解决问题的基本策略，让学生体会模型思想。

例题的呈现顺应学生的思维过程。“阅读与理解”部分在引导学生从题目中

获取已知条件和问题的同时，在学生利用已有经验解题时很自然地产生疑问：道

路的总长未知，怎么办？接下来就在“分析与解答”部分，提出思考的方向：如

果道路总长是已知的，这个问题就转化成以前学过的旧问题了。那是否可以假设

一个长度呢？这就是一个猜想、尝试的过程，学生在这一过程中经历了发现问题、

提出问题。通过假设，可以把抽象问题具体化，使复杂的数量关系明显化或简单

化。不同的学生假设的长度不同，又体现了解决问题方法的开放性和多样化。

四、教学建议

1.加强直观教学，结合实际操作和直观图形，帮助学生理解算理，掌握方

法。

2.加强分数乘、除法的沟通与联系，促进知识正迁移，提高解决实际问题的

能力。

第四单元比

一、教学内容

1.比的意义

2.比的基本性质

3.比的应用

二、教学目标

1.使学生理解比的意义，知道比与分数、除法的关系。

2.使学生理解并掌握比的基本性质，会求比值、化简比，能解答按比分配

的实际问题。

3.使学生在理解比的意义、探索比与分数和除法之间的关系以及比的基本

性质的过程中，体会类比法、推理思想，积累数学活动经验，体会数学知识之间

的内在联系，把握数学知识的本质。

4.使学生经历用比描述生活现象和解决实际问题的过程，感受数学知识在

日常生活中的应用价值。

三、主要变化与具体编排

(-)主要变化

这一单元的内容与编排与实验教材基本一致。把这部分内容分拆出来另成单

元，主要是为了突出“比和比例”的独立性、重要性。比不仅与分数除法有联系，

与分数、除法等知识的联系更加紧密和重要。比的知识是学习比例相关知识的必

要基础，把比单独设单元，能使学生从量与量之间的关系这一角度去认识比，而

不仅仅从运算的角度去理解比，有利于学生代数思想的培养。

(二)具体编排

1.比的意义、各部分名称。

教材精心选取了“神舟”五号这一现实素材作为载体，既富有教育意义，又

能比较自然地引出比的两种情形。例1的素材也是从中选取的，凸显情境的连续

性和整体性。

教材先给出两面长方形小旗的数据，引导学生讨论长与宽的关系。除了可以

用减法表示出它们之间的相差关系，还可以用除法表示它们的倍数关系。在此基

础上直接指出：可以用比来表示它们之间的关系，由此引出同类量的比。如果仅

从形式上看，比是除法关系的另一种表示方式，这为学生认识比和除法、分数之

间的关系奠定了基础。

接下来，教材介绍飞船的运行路程与时间，用除法表示出飞船进入轨道后的

速度。在此基础上，直接指出还可以用比来表示路程和时间的关系，引出非同类

量的比。使学生进一步认识比的意义以及比和除法的关系。

教材在教学了可以用比来表示两个同类量或不同类量相除的关系的基础上，

直接抽象出比的意义：两个数的比表示两个数相除。这一意义是后面求比值、推

导比的基本性质的直接保证。

接下来，给出比的写法、各部分名称以及比值的概念，并根据分数和除法的

关系，给出比的分数形式的写法。并根据小精灵的问题，进一步沟通比和除法、

分数的联系。

2.比的基本性质。

教材在前面“做一做”第3题对商不变性质和分数的基本性质进行了回顾，

在此基础上，启发学生根据比和除法、分数的关系思考：“在比中有什么样的规

律？”首先通过比较比值，直接看出6：8和12：16这两个比相等，同时也能看

出这两个比和3：4也是相等的。接下来，让学生探究两个比相等的内在原因。

教材给出了根据比和除法的关系类推的过程，再让学生根据比和分数的关系自主

探究。在此基础上，概括出比的基本性质。

3.例1。

本例教学运用比的基本性质化简比。第（1）题仍采用“神舟”五号的题材，

给出两面旗的长和宽，要求这两面旗长和宽的最简整数比。其中15：10的化简

给出了完整的过程并启发学生思考为什么这样化简；180：120的化简则让学生

自己完成。化简的过程便于学生感悟化简的必要性，即能使量与量之间的关系更

加简明、清晰。两个最简整数比相等，也渗透了图形按比例缩放的相似变换思想。

第（2）题的两个比中的前、后项分别出现了分数和小数。教材同样提出了启发

学生思考比的化简方法的问题，把前、后项不是整数的情况首先转化为前、后项

都是整数的情况，再利用第（1）题的方法自行完成。

4.例2o

本例让学生解决按比分配的实际问题,这一类问题与“和倍问题”实质相同。

教材创设了一个日常生活中比较常见的配制清洁剂稀释液的问题情境，便于学生

理解。

教材按问题解决的三个步骤编排，旨在使学生经历问题解决的完整过程，尤

其是养成审题和反思的习惯。在问题情境图中和解答过程中都采用直观图帮助学

生清楚地看到量与量之间的关系，理解稀释瓶上标明的比表示的含义。

教材介绍了两种解法。一种是把比看成份数之比，先求出每份是多少，再求

几份是多少。即把此问题转化为整数的“归一问题”来解决。另一种是根据直观

图和比的意义，算出浓缩液和水分别占总体的几分之几，把问题转化为求一个数

的几分之几是多少，用分数乘法来解决。

“回顾与反思”阶段，重新借助比的意义，看浓缩液与水的体积之比化简后

是否与题目中所给信息相符。

四、教学建议

1.联系生活实际，使学生在情境中学习比的意义。

2.加强比与除法、分数的联系，促进知识的融会贯通。

第五单元圆

一、教学内容

1.圆的认识

2.圆的周长

3.圆的面积

4.扇形的认识

二、教学目标

1.使学生认识圆，学会用圆规画圆，掌握圆的基本特征。

2.使学生会利用直尺和圆规，在教师指导下设计一些与圆有关的图案。

3.使学生通过实践操作，理解圆周率的意义，理解和掌握圆的周长计算公

式，并解决一些相应的实际问题。

4.引导学生探索并掌握圆的面积计算公式，并解决一些简单的实际问题。

5.使学生认识扇形，掌握扇形的一些基本特征。

6.使学生经历尝试、探究、分析、反思等过程，培养数学活动经验，在解

决一些与圆有关的数学问题的过程中，提高问题解决的能力。

7.使学生在推导圆的周长与面积的计算公式过程中体会和掌握转化、极限

等数学思想。

8.通过生活实例、数学史料，感受数学之美，了解数学文化，提高学习兴

趣。

三、主要变化与具体编排

（一）主要变化

1.改变圆的各部分名称的引入方式。

实验教材在引入圆时，先让学生利用圆形杯盖、圆柱体物体、三角板上的圆

孔描出圆，再把圆剪下来，通过多次对折等方式引出圆心、半径、直径等概念；

在认识了圆的半径和直径的特点之后，再专门教学用圆规画圆的方法。

考虑到学生在生活中已经具备初步的用圆规画圆的知识，本次修订时，对于

“你能想办法在纸上画一个圆吗”这一问题，教材同时给出了用杯盖、三角尺上

的圆孔、圆规画圆的方法，符合真实的学情。接下来，利用圆规画圆的方法引出

圆心、半径、直径等概念，水到渠成，这样的引入方式也能更好地体现圆“一中

同长”的本质特征。接下来，通过让学生用圆规画几个大小不同的圆，探讨直径、

半径的特点，在这一过程中，使学生进一步熟练掌握用圆规画圆的方法。

2.增加圆心决定圆的位置、半径决定圆的大小的内容。

“圆，一中同长也”，这是《墨子》中对圆的定义。只要确定了“中”和“长”，

圆的位置与大小就确定下来了。解析几何中圆的解析式（x-a）2+（厂8）2=/中也

很好地体现了这一点。圆心决定圆的位置、半径决定圆的大小这一事实，过去虽

然没在教材中明确指出，但实际上学生已经在自觉应用了。例如，用圆规画圆时，

不可避免地会遇到“针尖定在哪儿”“画多大的圆”等问题，如果要画半径是3cm

的圆，针尖到纸边缘的距离必须大于3cm,才能在纸上画出一个完整的圆来。

在本册教材中，接下来还要安排利用圆设计图案的内容，在设计图案的过程，学

生会时时处处遇到“要画一个多大的圆”“这个圆的圆心应该在哪儿”等问题。

因此，教材增加这一部分内容，能帮助学生在应用知识的过程中更好地认识圆的

数学特征。

3.正文中降低圆的对称性的篇幅，新增利用圆设计图案的内容。

由于在“轴对称图形”的相关内容中，已经对圆的对称性有过比较充分的探

讨，所以，本单元不再单独编排圆的对称性的例题，只在相关练习中加以巩固。

在修订过程中，新增了利用圆设计图案的内容。先让学生模仿教材上提供的

步骤，画出美丽的图案，再放手让学生试着画出教材上提供的图案。在这一过程

中，需要用到用圆规画圆的方法，需要观察这些图案是由哪些图形组成的，是如

何组成的。需要学生对圆心位置的确定、半径大小的确定、圆的对称性等知识加

以综合应用，一方面，帮助学生进一步了解圆的特征，另一方面，使学生充分体

会数学的对称美、和谐美。

例如，下面左图中大圆内部的每个“水滴”是由三个半圆围成的，其中两个

半圆的直径是大圆半径的一半，还有一个半圆的直径是大圆的半径，除此之外,

还要关注这些半圆的圆心位置在哪里。右图中，大圆的内部有八个小圆，这些圆

的直径都是大圆的半径，依次排列在大圆的八等分线上，互相重叠，形成了美丽

的图案。

教学时，还可以让学生自由创作出更多的作品。此外，还可以借助这些图

案，复习轴对称、平移、旋转等图形变换的知识。由于这一内容的操作性、综合

性、探究性都很强，也可以把它设计成一个“综合与实践”活动。

4.增加求圆与外切正方形、内接正方形之间面积的内容。

在“圆的面积”部分，增加了解决实际问题的内容，即求圆与外切正方形、

内接正方形之间的面积。要求学生利用图形之间的关系，灵活计算这两部分的面

积，并在“讨论”环节进一步得出更为一般化的结论。

要计算正方形的面积，首先要求出正方形的边长，这是比较常规的思路。例

如，求圆的外切正方形的面积时，观察到正方形的边长和圆的直径相等，所以很

容易求出来。但在求圆的内接正方形的边长时却遇到了困难，圆的直径和正方形

的对角线相等，但没有办法直接求出正方形的边长。此时，教材引导学生改变观

察角度，把正方形分割成两个三角形，这两个三角形的底是圆的直径，高是圆的

半径，很容易求出其面积。在解决几何问题时，经常会有这种“山重水复疑无路，

柳暗花明又一村”的情形。有时，换一个角度看问题，会发现一个全新的世界。

经历这样的问题解决过程，有助于提高学生多角度分析问题的意识和能力。

解决了圆半径是1m的特殊问题后，教材在“回顾与反思”环节，进一步讨

论半径为r的情况，使学生发现，圆的外切正方形面积是4r，外切正方形与圆

之间的面积是0.86日内接正方形的面积是2/,圆与内接正方形之间的面积是

1.14/。这些结果中隐藏着很多有意思的数学事实，如：外切正方形的面积始终

是内接正方形面积的2倍，外切正方形与内接正方形之间的面积正好是2/,即和

内接正方形面积相等，等等。

5.“扇形”由选学变为正式教学内容。

扇形的内容是学习扇形统计图的必要基础，根据《标准（2011年版）》对

相关内容的调整，此次修订把这部分内容由选学变为正式教学内容。

（二）具体编排

1.圆的认识

（1）圆的各部分名称、圆的性质。

教材首先呈现了自然界和社会生活中形形色色的“圆”，其中包括许多同心

圆。丰富的圆形图案，使学生感受到圆很美，同时，感受到数学就在身边，激发

起良好的学习情绪。

接下来，请学生想办法在纸上画一个圆，学生可以调动以前的经验，用茶杯

盖、三角尺上的圆洞等圆形物体进行描摹，也可以用圆规画圆。用实物画圆也是

很有意义的动手实践机会，但画出的圆的大小是固定的，不能随意变化。而用圆

规画圆却可以在两脚叉开的范围内画出任意大小的圆来。在画圆环节出现用圆规

画圆，也是尊重学情的一种体现。学生在课外应该都尝试过用圆规画圆，但是如

何画得标准，画得轻松，还需教师进一步指导。

利用圆规画圆，引出圆的各部分名称。一方面，与前面的活动自然衔接；另

一方面，画圆的过程非常切合“圆是到定点的距离等于定长的所有点的集合”这

一几何学的定义。通过这一过程引出圆心、半径、直径等概念，将动手操作、观

察思考、概念引出融为一体，自然流畅。

对圆特征的认识，分四个层次编排：首先，让学生将画好的圆折一折、画一

画、量一量，发现沿着任意一条直径对折，两边可以重合，说明了圆是轴对称图

形。第二，通过对折痕的观察和想象，让学生理解半径和直径都有无数条。第三，

通过测量与比较，让学生认识到同一圆内所有的半径都相等，所有的直径也都相

等，并且直径的长度是半径的2倍。第四，结合画圆的经验，理解圆心可决定圆

的位置，半径可决定圆的大小。

（2）利用圆设计图案。

尺规作图是一项有着悠久历史、充满魅力的数学技能。教材在认识圆之后，

安排了这样一个实践性内容，既可以让学生进一步熟练用圆规画圆的技能，促进

学生对圆的特征的进一步认识，又能让学生在用尺规画出漂亮图案的过程中提高

动手操作的能力，学会欣赏数学的美，培养热爱数学学习的情感。

教材先以分解的步骤，展示了如何利用圆的特征，一步一步画出四个花瓣式

的漂亮图案。这中间，涉及到充分利用圆的对称性，需要学生学会确定某个圆或

半圆的圆心和半径，这也是圆心和半径分别确定圆的位置与大小的最直接应用。

此外，还需要学生添加一些辅助线。因此，这样的活动体现了很强的综合性。

之后，教材呈现了两个更复杂的图案，让学生尝试画一画，这需要学生综合

运用观察、思考、动手等多方面的技能。教材给出了一些辅助线加以提示，需要

学生对已经成形的图案进行“分解”，知道每一部分是怎么来的。用直尺画出基

本的图形后，再进行涂色，涂不同的颜色，也会形成不同的作品。

2.圆的周长

（1）圆的周长计算公式的推导。

圆的周长计算在实际生活中有广泛的应用，因此，教材从“要在圆桌和菜板

的边缘箍上一圈铁皮，求铁皮的长度”这一学生熟悉的实际情境引入，帮助学生

理解圆的局长的概念。

学生已经具备了测量一般图形（物体）周长的技能，因此，面对“分别需要

多长的铁皮”的问题，他们完全能想到解决的办法：拿卷尺直接绕一圈量，或者

把圆形物体在直尺上滚一圈再量出长度，或者拿线在圆形物体上绕一圈，量出线

的长度。学生在解决实际问题的过程中感受了方法多样性和“化曲为直”的转化

思想。更重要的是，圆周长概念的内涵，就在这样的过程中得以清晰化、直观化。

方法需要优化，思维需要提升。教材在此基础上提出“除了上面的方法，还

可以怎样求圆的周长呢？”要求学生跳出绕、滚、围等策略的测量方法，找到一

种更为一般化的方法。通过“圆的周长和圆的大小有关系，圆的大小取决于……”,

启发学生将问题解决的方向放在从圆本身的特征去想办法突破。

第63页上方的表格，是引导学生通过测量几组圆的直径和周长，自主发现

周长和直径的比值是一个固定值，从而引出圆周率的概念，并总结出圆的周长计

算公式。

在这个内容中，教学的重点是让学生利用实验的手段，通过测量、计算、猜

测圆的周长和直径的关系、验证猜测等过程，理解并掌握圆的周长计算方法。

教材通过直接介绍的方式说明周长与直径的比值是一个固定的数，叫做圆周

率，用字母“n”来表示。为了方便学生计算，教材规定“n”这个无限不循环

小数常常只取它的近似数，即两位小数3.14。根据圆的周长和直径的倍数关系，

可以得出求圆的周长的计算公式：C=nd或占2口八

（2）例1。

本例是一个与圆的周长计算有关的实际问题。通过学生经常看到或使用的自

行车引出问题，能让学生体会到数学知识的广泛应用。自行车的后轮半径是33cm,

它滚一圈能走多远，那就是求它的周长。这样的问题，是“化曲为直”思想的应

用一一用曲的车轮周长计量自行车前进的距离。第二个问题带有更强的现实性,

“小明从家到学校1km,轮子大约转了多少圈？”学生必须通过计算，才能解决

这个问题。得出的相关结果，也能加强学生的生活经验。

3.圆的面积

（1）圆的面积计算公式的推导。

教材首先通过计算圆形草坪占地面积的实际情境提出圆面积的概念，一方面

使学生在以前所学知识的基础上理解“圆的面积就是它所占平面的大小”，另一

方面使学生体会在实际生活中计算圆面积的必要性。

学生以前所学的图形都是多边形（如三角形、长方形、正方形、平行四边形、

梯形等），像圆这样的曲线图形的面积计算，学生还是第一次接触到。把圆分割

成若干等份后拼成近似的长方形的方法，学生很难自主发现，因此，教材直接给

出明确的提示，让学生把圆分成若干等份，拼一拼。接下来的过程，则主要交给

学生自主探索。

教材让学生通过观察，看到拼出的是近似的长方形（或平行四边形），随着

分的份数越来越多，拼出的图形越来越接近于长方形，体会“无限逼近”的极限

思想。这个近似的长方形的的长和宽与圆的周长、半径有着紧密的联系。引导学

生通过观察、对比，利用圆与长方形之间的关系，自行推导出圆的面积计算公式。

(2)例1。

本例是在学生推导出了圆面积计算公式以后，用此公式解决本节开头的实际

问题。求的是铺满草皮需要多少钱，这一问题比“求草皮面积是多少”更有现实

意义、更自然。要求铺满草皮需要多少钱，首先要求圆形草皮的面积。

(3)例2。

本例是求圆环的面积，教材通过插图帮助学生了解什么叫圆环，理解求圆环

的面积是用外圆面积减去内圆面积。教材给出了两种算法：3.14X62—3.14X22

和3.14X(62-22)o教材也有意引导学生根据乘法分配律，采用相对简便的算

法，这样，可以大大减少计算的繁杂程度，减少计算出错的可能性。

(4)例3o

本例通过让学生解决圆的内接正方形、外切正方形与圆之间部分的面积这一

实际问题，经历问题解决的全过程，并在解决具体问题的基础上发现更为一般的

数学规律，提高发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力。

例题以中国古建筑中“外方内圆”和“外圆内方”两种经典设计为情境，直

观清晰地提出了需要解决的数学问题一一求正方形与圆之间的那部分面积。两个

图中的圆大小相同，但正方形位置与大小都不同。很自然地引出一个问题：中间

部分的面积与圆的面积有没有关系？有什么样的关系？例3是给出一个特殊的

圆半径，先解决特殊问题，在“反思”部分再讨论一般性的规律。

“分析与解答”引导学生根据图示寻找正方形与圆之间的关系。第一个图，

很容易看出正方形的边长就是圆