高中数学人教A版选修21讲义第一章14全称量词与存在量词

eq\a\vs4\al(全称量词与存在量词)预习课本P21～25，思索并完成以下问题1．全称量词、全称命题的定义是什么？2．存在量词、特称命题的定义是什么？3．全称命题与特称命题的否认分别是什么命题？eq\a\vs4\al([新知初探])1．全称量词与全称命题全称量词全部的、任意一个、一切、每一个、任给符号__∀__全称命题含有全称量词的命题形式“对M中任意一个x，有p(x)成立〞，可用符号简记为“∀x∈M，p(x)〞2．存在量词与特称命题存在量词存在一个、至少有一个、有一个、有些、有的符号表示__∃__特称命题含有存在量词的命题形式“存在M中的一个x0，使p(x0)成立〞可用符号简记为“∃x0∈M，p(x0)〞3．全称命题与特称命题的否认学问点原命题命题的否认全称命题的否认p：∀x∈M，p(x)綈p：∃x0∈M，綈p(x0)特称命题的否认p：∃x0∈M，p(x0)綈p：∀x∈M，綈p(x)[点睛](1)全称命题的否认全称命题的否认是一个特称命题，否认全称命题时关键是找出全称量词，明确命题所供应的性质．(2)特称命题的否认特称命题的否认是一个全称命题，否认特称命题时关键是找出存在量词，明确命题所供应的性质．eq\a\vs4\al([小试身手])1．推断以下命题是否正确．(正确的打“√〞，错误的打“×〞)(1)在全称命题和特称命题中，量词都可以省略()(2)“有的等差数列也是等比数列〞是特称命题()(3)“三角形内角和是180°〞是全称命题()答案：(1)×(2)√(3)√2．命题“∀x∈R，|x|＋x2≥0〞的否认是()A．∀x∈R，|x|＋x2<0 B．∀x∈R，|x|＋x2≤0C．∃x0∈R，|x0|＋xeq\o\al(2,0)<0 D．∃x0∈R，|x0|＋xeq\o\al(2,0)≥0答案：C3．以下全称命题为真命题的是()A．全部的质数是奇数B．∀x∈R，x2＋1≥1C．对每一个无理数x，x2也是无理数D．全部的能被5整除的整数，其末位数字都是5答案：B4．命题p：∃x0∈R，xeq\o\al(2,0)＋2x0＋5<0是________(填“全称命题〞或“特称命题〞)，它是________命题(填“真〞或“假〞)，它的否认为綈p：______________.答案：特称命题假∀x∈R，x2＋2x＋5≥0全称命题与特称命题的推断[典例]推断以下语句是全称命题，还是特称命题．(1)凸多边形的外角和等于360°；(2)有的向量方向不定；(3)对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1；(4)矩形的对角线不相等；(5)假设一个四边形是菱形，那么这个四边形的对角线相互垂直．[解](1)可以改为全部的凸多边形的外角和等于360°，故为全称命题．(2)含有存在量词“有的〞，故是特称命题．(3)含有全称量词“任意〞，故是全称命题．(4)可以改为全部矩形的对角线不相等，故为全称命题．(5)假设一个四边形是菱形，也就是全部的菱形，故为全称命题．推断一个语句是全称命题还是特称命题的思路[留意]全称命题可能省略全称量词，特称命题的存在量词一般不能省略．[活学活用]用全称量词或存在量词表示以下语句：(1)不等式x2＋x＋1>0恒成立；(2)当x为有理数时，eq\f(1,3)x2＋eq\f(1,2)x＋1也是有理数；(3)等式sin(α＋β)＝sinα＋sinβ对有些角α，β成立；(4)方程3x－2y＝10有整数解．解：(1)对任意实数x，不等式x2＋x＋1>0成立．(2)对任意有理数x，eq\f(1,3)x2＋eq\f(1,2)x＋1是有理数．(3)存在角α，β，使sin(α＋β)＝sinα＋sinβ成立．(4)存在一对整数x，y，使3x－2y＝10成立.全称命题、特称命题的真假推断[典例](1)以下命题中的假命题是()A．∃x0∈R，lgx0＝0 B．∃x0∈R，tanx0＝1C．∀x∈R，x2>0 D．∀x∈R，ex>0(2)以下命题中的真命题是()A．∀φ∈R，函数f(x)＝sin(2x＋φ)都不是偶函数B．∃α0，β0∈R，使cos(α0＋β0)＝cosα0＋cosβ0C．向量a＝(2,1)，b＝(－1,0)，那么a在b方向上的投影为2D．“|x|≤1〞是“x≤1〞的既不充分又不必要条件[解析](1)对于A，x＝1时，lgx＝0；对于B，x＝kπ＋eq\f(π,4)(k∈Z)时，tanx＝1；对于C，当x＝0时，x2＝0，所以C中命题为假命题；对于D，ex>0恒成立．(2)对于A，当φ＝eq\f(π,2)时，f(x)＝cos2x，为偶函数，故A为假命题；对于B，令α0＝eq\f(π,4)，β0＝－eq\f(π,2)，那么cos(α0＋β0)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)))＝eq\f(\r(2),2)，cosα0＋cosβ0＝eq\f(\r(2),2)＋0＝eq\f(\r(2),2)，cos(α0＋β0)＝cosα0＋cosβ0成立，故B为真命题；对于C，向量a＝(2,1)，b＝(－1,0)，那么a在b方向上的投影为eq\f(a·b,|b|)＝eq\f(－2＋0,1)＝－2，故C为假命题；对于D，|x|≤1，即－1≤x≤1，故充分性成立，假设x≤1，那么|x|≤1不肯定成立，所以“|x|≤1〞为“x≤1〞的充分不必要条件，故D为假命题．[答案](1)C(2)B全称命题与特称命题的真假推断的技巧(1)要判定一个全称命题是真命题，必需对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；但要判定全称命题是假命题，只要能举出集合M中的一个x0，使得p(x0)不成马上可．(2)要判定一个特称命题是真命题，只要在限定集合M中，能找到一个x0使p(x0)成马上可；否那么，这个特称命题就是假命题．[活学活用]指出以下命题是全称命题，还是特称命题，并推断真假．(1)假设a>0，且a≠1，那么对任意实数x，ax>0.(2)对任意实数x1，x2，假设x1<x2，那么tanx1<tanx2.(3)存在两个相交平面垂直于同一条直线．(4)∃x0∈R，使xeq\o\al(2,0)＋1<0.解：(1)是全称命题．∵ax>0(a>0，且a≠1)恒成立，∴命题(1)是真命题．(2)是全称命题．存在x1＝0，x2＝π，x1<x2，但tan0＝tanπ，∴命题(2)是假命题．(3)是特称命题．由于垂直于同一条直线的两个平面是相互平行的，∴命题(3)是假命题．(4)是特称命题．对任意x∈R，x2＋1>0，∴命题(4)是假命题.全称命题与特称命题的否认[典例](1)设命题p：∃n∈N，n2>2n，那么綈p为()A．∀n∈N，n2>2n B．∃n∈N，n2≤2nC．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2＝2n(2)(2016·浙江高考)命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2〞的否认形式是()A．∀x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2B．∀x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2C．∃x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2D．∃x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2[解析](1)由于“∃x∈M，p(x)〞的否认是“∀x∈M，綈p(x)〞，所以命题“∃n∈N，n2>2n〞的否认是“∀n∈N，n2≤2n〞，应选C.(2)由于特称命题的否认形式是全称命题，全称命题的否认形式是特称命题，所以“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2〞的否认形式为“∃x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2〞．[答案](1)C(2)D全称命题与特称命题的否认的思路(1)一般地，写含有一个量词的命题的否认，首先要明确这个命题是全称命题还是特称命题，并找到量词及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词，存在量词改成全称量词，同时否认结论．(2)对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再依据规那么来写出命题的否认．[活学活用]推断以下命题的真假，并写出它们的否认．(1)三角形的内角和为180°；(2)每个二次函数的图象都开口向下；(3)存在一个四边形不是平行四边形．解：(1)三角形的内角和为180°，是全称命题，是真命题．命题的否认：三角形的内角和不全为180°，即存在一个三角形，其内角和不等于180°.(2)每个二次函数的图象都开口向下，是全称命题，是假命题．命题的否认：存在一个二次函数的图象开口不向下．(3)存在一个四边形不是平行四边形，是特称命题，是真命题．命题的否认：全部的四边形都是平行四边形.利用全称命题与特称命题求参数[典例]假设命题“∀x∈[－1，＋∞)，x2－2ax＋2≥a〞是真命题，求实数a的取值范围．[解]法一：由题意，∀x∈[－1，＋∞)，令f(x)＝x2－2ax＋2≥a恒成立，所以f(x)＝(x－a)2＋2－a2≥a可转化为∀x∈[－1，＋∞)，f(x)min≥a恒成立，而∀x∈[－1，＋∞)，f(x)min＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－a2，a≥－1，,1＋a2＋2－a2，a<－1.))由f(x)的最小值f(x)min≥a，知a∈[－3,1]．法二：x2－2ax＋2≥a，即x2－2ax＋2－a≥0，令f(x)＝x2－2ax＋2－a，所以全称命题转化为∀x∈[－1，＋∞)，f(x)≥0恒成立，所以Δ≤0或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＝4a2－42－a>0，,a<－1，,f－1≥0，))即－2≤a≤1或－3≤a<－2.所以－3≤a≤1.综上，所求实数a的取值范围是[－3,1]．利用全称命题与特称命题求参数范围的两类题型(1)全称命题的常见题型是“恒成立〞问题，全称命题为真时，意味着命题对应的集合中的每一个元素都具有某种性质，所以利用代入可以表达集合中相应元素的详细性质；也可以依据函数等数学学问来解决．(2)特称命题的常见题型是以适合某种条件的结论“存在〞“不存在〞“是否存在〞等语句表达．解答这类问题，一般要先对结论作出确定存在的假设，然后从确定的假设动身，结合条件进行推理证明，假设推出合理的结论，那么存在性随之解决；假设导致冲突，那么否认了假设．[活学活用]1．命题p：∃x0∈[0，π]，使sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0＋\f(π,3)))<a，假设p是真命题，那么实数a的取值范围为________．解析：由0≤x≤π，得eq\f(π,3)≤x＋eq\f(π,3)≤eq\f(4π,3)，所以－eq\f(\r(3),2)≤sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))≤1.而命题p：∃x0∈[0，π]，使sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0＋\f(π,3)))<a，由于p为真命题，所以a>－eq\f(\r(3),2).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，＋∞))2．命题p：∃x0∈R，使xeq\o\al(2,0)－mx0＋1＝0，命题q：∀x∈R，有x2－2x＋mq∨(p∧q)为真，綈p为真，求实数m的取值范围．解：由于綈p为真，所以p为假，那么p∧q为假．又q∨(p∧q)为真，故q为真，即p假、q真．命题p为假，即关于x的方程x2－mx＋1＝0无实数解，那么m2－4<0，解得－2<m<2；命题q为真，那么4－4m<0，解得m>1.故实数m的取值范围是(1,2)．层级一学业水平达标1．命题p：∀x>0，总有ex>1，那么綈p为()A．∃x0≤0，使得ex0≤1 B．∃x0>0，使得ex0≤1C．∀x>0，总有ex≤1 D．∀x≤0，总有ex<1解析：选B由于全称命题的否认是特称命题，所以命题p的否认綈p为∃x0>0，使得ex0≤1.应选B.2．以下四个命题中的真命题为()A．假设sinA＝sinB，那么A＝BB．∀x∈R，都有x2＋1>0C．假设lgx2＝0，那么x＝1D．∃x0∈Z，使1<4x0<3解析：选BA中，假设sinA＝sinB，不肯定有A＝B，故A为假命题，B明显是真命题；C中，假设lgx2＝0，那么x2＝1，解得x＝±1，故C为假命题；D中，解1<4x<3得eq\f(1,4)<x<eq\f(3,4)，故不存在这样的x∈Z，故D为假命题．3．命题“∃x0∈R,2x0<eq\f(1,2)或xeq\o\al(2,0)>x0〞的否认是()A．∃x0∈R,2x0≥eq\f(1,2)或xeq\o\al(2,0)≤x0B．∀x∈R,2x≥eq\f(1,2)或x2≤xC．∀x∈R,2x≥eq\f(1,2)且x2≤xD．∃x0∈R,2x0≥eq\f(1,2)且xeq\o\al(2,0)≤x0解析：选C原命题为特称命题，其否认为全称命题，应选C.4．以下四个命题既是特称命题又是真命题的是()A．锐角三角形的内角是锐角或钝角B．至少有一个实数x，使x2≤0C．两个无理数的和必是无理数D．存在一个负数x，使eq\f(1,x)>2解析：选BA中锐角三角形的内角是锐角或钝角是全称命题；B中x＝0时，x2＝0，所以B既是特称命题又是真命题；C中由于eq\r(3)＋(－eq\r(3))＝0，所以C是假命题；D中对于任一个负数x，都有eq\f(1,x)<0，所以D是假命题．5．命题p：∀x∈R，ax2＋ax＋1≥0，假设綈p是真命题，那么实数a的取值范围是()A．(0,4] B．[0,4]C．(－∞，0]∪[4，＋∞) D．(－∞，0)∪(4，＋∞)解析：选D当a＝0时，不等式恒成立；当a≠0时，要使不等式恒成立，那么有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ≤0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,a2－4a≤0，))解得0<a≤4.综上，0≤a≤4，那么命题p：0≤a≤4，所以綈p：a<0或a>4.6．以下命题中，是全称命题的是________；是特称命题的是________．(填序号)①正方形的四条边相等；②有两个角相等的三角形是等腰三角形；③正数的平方根不等于0；④至少有一个正整数是偶数．解析：①可表述为“每一个正方形的四条边相等〞，是全称命题；②是全称命题，即“但凡有两个角相等的三角形都是等腰三角形〞；③可表述为“全部正数的平方根不等于0〞是全称命题；④是特称命题．答案：①②③④7．命题“至少有一个正实数x满意方程x2＋2(a－1)x＋2a＋6＝0〞的否认是________．解析：把量词“至少有一个〞改为“全部〞，“满意〞改为“都不满意〞得命题的否认．答案：全部正实数x都不满意方程x2＋2(a－1)x＋2a＋6＝08．命题“∃x0∈R,2xeq\o\al(2,0)＋(a－1)x0＋eq\f(1,2)≤0〞是假命题，那么实数a的取值范围是________．解析：原命题等价于“∀x∈R,2x2＋(a－1)x＋eq\f(1,2)>0〞是真命题，即Δ＝(a－1)2－4<0，解得－1<a<3.答案：(－1,3)9．推断以下命题的真假，并写出它们的否认．(1)∀α，β∈R，sin(α＋β)≠sinα＋sinβ；(2)∃x0，y0∈Z,3x0－4y0＝20；(3)在实数范围内，有些一元二次方程无解；(4)正数的确定值是它本身．解：(1)当α＝β＝0时，sin(α＋β)＝sinα＋sinβ，故命题为假命题．命题的否认为：∃α0，β0∈R，sin(α0＋β0)＝sinα0＋sinβ0.(2)真命题．命题的否认为：∀x，y∈Z,3x－4y≠20.(3)真命题．命题的否认为：在实数范围内，全部的一元二次方程都有解．(4)省略了量词“全部的〞，该命题是全称命题，且为真命题．命题的否认为：有的正数的确定值不是它本身．10．命题p：∀a∈(0，b](b∈R且b>0)，函数f(x)＝eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,a)＋\f(π,3)))的周期不大于4π.(1)写出綈p；(2)当綈p是假命题时，求实数b的最大值．解：(1)綈p：∃a0∈(0，b](b∈R且b>0)，函数f(x)＝eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,a0)＋\f(π,3)))的周期大于4π.(2)由于綈p是假命题，所以p是真命题，所以∀a∈(0，b]，eq\f(2π,\f(1,a))≤4π恒成立，解得a≤2，所以b≤2，所以实数b的最大值是2.层级二应试力量达标1．f(x)＝3sinx－πx，命题p：∀x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，f(x)<0，那么()A．p是假命题，綈p：∀x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，f(x)≥0B．p是假命题，綈p：∃x0∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，f(x0)≥0C．p是真命题，綈p：∀x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，f(x)≥0D．p是真命题，綈p：∃x0∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，f(x0)≥0解析：选D由正弦函数的图象，知∀x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，sinx<x，又3<π，∴当x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))时，3sinx<πx，即∀x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，f(x)<0恒成立，∴p是真命题．又全称命题的否认是特称命题，∴綈p：∃x0∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，f(x0)≥0.2．命题p：∀x∈R,2x2＋2x＋eq\f(1,2)<0；命题q：∃x0∈R，sinx0－cosx0＝eq\r(2).那么以下推断正确的选项是()A．p是真命题 B．q是假命题C．p，q都是假命题 D．綈q是假命题解析：选Dp：2x2＋2x＋eq\f(1,2)＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋x＋\f(1,4)))＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋eq\f(1,2)))2≥0，∴p为假命题，綈p为真命题．q：sinx0－cosx0＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0－\f(π,4)))，∴x0＝eq\f(3,4)π时成立．故q为真，而綈q为假命题．3．命题p：∃x0∈R，使sinx0＝eq\f(\r(5),2)；命题q：∀x∈R，都有x2＋eq\f(1,2)x＋eq\f(3,4)>0.给出以下结论：①命题p是真命题；②命题q是假命题；③命题(綈p)∧q是真命题；④命题p∨(綈q)是假命题．其中正确的选项是()A．②④ B．②③C．③④ D．①②③解析：选C对于命题p，由于函数y＝sinx的值域为[－1,1]，所以命题p为假命题；对于命题q，由于函数y＝x2＋eq\f(1,2)x＋eq\f(3,4)的图象开口向上，最小值在x＝－eq\f(1,4)处取得，且feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)))＝eq\f(11,16)>0，所以命题q为真命题．由命题p为假命题和命题q为真命题可得：命题(綈p)∧q是真命题，命题p∨(綈q)是假命题．故③④正确．4．命题“∀n∈N*，f(n)∈N*且f(n)≤n〞的否认形式是()A．∀n∈N*，f(n)∉N*且f(n)>nB．∀n∈N*，f(n)∉N*或f(n)>nC．∃n0∈N*，f(n0)∉N*且f(n0)>n0D．∃n0∈N*，f(n0)∉N*或f(n0)>n0解析：选D写全称命题的否认时，要把量词∀改为∃，并且否认结论，留意把“且〞改为“或〞．5．有以下四个命题：①∀x∈R,2x2－3x＋4>0；②∀x∈{1，－1,0},2x＋1>0；③∃x0∈N，xeq\o\al(2,0)≤x0；④∃x0∈N*，x0为29的约数．其中真命题有________个．解析：易知①③④正确．当x＝－1时，2x＋1<