最优控制课件第三章

最优控制课件第三章第一页，共五十七页，编辑于2023年，星期六第三章：线性二次型指标的最优控制§4-1线性二次型问题提法§4-2

状态调节器问题§4-3

线性定常系统的状态调节器问题§4-4

输出调节器问题§4-5

跟踪问题2第二页，共五十七页，编辑于2023年，星期六 如果系统是线性的，性能指标为二次型函数，则最优控制问题为线性二次型问题。代表了大量工程实际问题中提出的性能指标要求易于工程实现（线性最优反馈控制规律的确定可归结为Riccati方程的求解）3第三页，共五十七页，编辑于2023年，星期六§4-1

二次型问题提法设线性系统的动态方程为：为n维状态向量，为m维控制向量，为输出向量。设不受限制。定义下列误差向量其中，为期望输出向量。寻求最优控制，使下列性能指标最小：4第四页，共五十七页，编辑于2023年，星期六其中，P为半正定对称阵，为半正定对称阵，为正定对称阵。一般将P，，取为对角阵。性能指标函数中的每一项：表示对终端误差(例如导弹的脱靶量等)的惩罚（4-1）

表示对系统误差的惩罚，定量地刻画了整个控制过程中实际状态偏离期望状态的状况。定量地刻画了整个过程中所消耗的能量，反映了控制的代价，表示对消耗控制能量的惩罚。5第五页，共五十七页，编辑于2023年，星期六（2）根据终端状态自由终端二次型最优控制问题非自由终端二次型最优控制问题根据不同的出发点，二次型最优控制问题具有各种不同的分类：（1）根据终点时刻有限终点时间的二次型最优控制问题无限终点时间的二次型最优控制问题（3）根据期望输出二次型最优调节器问题（定点）二次型最优跟踪器问题(动点）线性二次型问题的本质：用不大的控制，来保持较小的误差，以达到能量和误差综合最优的目的。

6第六页，共五十七页，编辑于2023年，星期六线性二次型问题的三种重要情形：状态调节器输出调节器跟踪问题7第七页，共五十七页，编辑于2023年，星期六该性能指标的物理含义为：以较小的控制能量为代价，使保持在零值附近。§4-2状态调节器问题系统状态方程和性能指标（4-2）和前一节比较:,，则（4-3）8第八页，共五十七页，编辑于2023年，星期六横截条件（4-6）

则协态方程为（4-4）控制方程为取哈密顿函数为（4-5）思路：确定与的关系，带入（4-5）形成状态反馈9第九页，共五十七页，编辑于2023年，星期六，这种方法称为扫描法。由上式可见，协态和状态，在终端时刻成线性关系。然后再求假定：（4-7）将（4-7）式两边分别对t求导，并将（4-4）式代入得（4-9）由（4-2）、（4-5）、（4-7）式得（4-8）10第十页，共五十七页，编辑于2023年，星期六把式（4-8）代入上式并整理得（4-10）上式对任意均成立，因而有（4-11）式（4-11）称为黎卡提（Riccati）矩阵微分方程，即为该矩阵微分方程的解。一般来说得不出的解析表达式，但可利用数值计算得到其数值解。比较（4-6）和（4-7）式可得的边界条件为：(4-12)

11第十一页，共五十七页，编辑于2023年，星期六1）与状态无关，故可在系统运行之前，将其先计算出来，把它存储在计算机中，系统运行时只需计算简单的乘法，节省计算时间。求解黎卡提矩阵微分方程时，利用，从时刻开始逆时间求解。在获得之后，可计算最优反馈控制规律：从式（4-11）可以看出：只要控制时间是有限的，就是时变的，最优反馈系统将为线性时变系统。2）12第十二页，共五十七页，编辑于2023年，星期六是黎卡提矩阵微分方程的解，则必为对称阵，即定理4-1

矩阵性质：证明:对黎卡提矩阵微分方程取转置方程形式相同且边界条件相同（思路：）13第十三页，共五十七页，编辑于2023年，星期六又对任意均成立，故可得（4-11）比较式(4-11)和(4-13)，二者为同一形式的矩阵微分方程，且边界条件相同即 ，因此二者的解必相同，证毕。)()()()()()()()()()()(1tQtKtBtRtBtKtKtAtAtKdttdKTTTTTT-+--=-（4-13）14第十四页，共五十七页，编辑于2023年，星期六作用下，性能指标取且当时，在区间上，为为半正定矩阵。正定阵，定理4-2当性能指标为（4-3）式时，系统（4-2）在最优 控制律最小值：时当证明:将其转化为性能指标的形式）构造（思路：构造下面等式:（4-3）15第十五页，共五十七页，编辑于2023年，星期六（4-14）上式左边可展成:将状态方程及黎卡提方程代入可得(4-15)16第十六页，共五十七页，编辑于2023年，星期六由式（4-14）和（4-15）得对上式整理得:17第十七页，共五十七页，编辑于2023年，星期六左端即为在最优控制下从t到的性能指标，故有

由于P、Q、R为半正定或正定阵，当时，必有可见必为正定阵，仅当时， 为半正定阵，J的最小值与起始时间有关。（4-3）18第十八页，共五十七页，编辑于2023年，星期六（1）根据系统要求和工程实际经验，选取加权矩阵P,Q,R状态调节器的设计步骤（2）求解黎卡提微分方程，求得矩阵K(t)（3）求反馈增益矩阵K(t)及最优控制u*(t)（4）求解最优轨线x*(t)（5）计算性能指标最优值19第十九页，共五十七页，编辑于2023年，星期六例4-1

系统状态方程为

初始条件为。终端时间给定，性能指标为试求最优控制，使其性能指标取得最小值。解:题中

20第二十页，共五十七页，编辑于2023年，星期六设，由黎卡提矩阵微分方程可得即边界条件为。对上面三个微分方程可用数值求解法：21第二十一页，共五十七页，编辑于2023年，星期六取为一较小的负数，从时刻求解然后再增加一个步长，求出，一直到为止。22第二十二页，共五十七页，编辑于2023年，星期六设 ，图4-1中的（a）、(b)、（c）分别表示黎卡提方程的解、最优状态轨线及最优控制。(a)(b)(c)u(t)ttt图4-1例4-1中各变量的变化过程23第二十三页，共五十七页，编辑于2023年，星期六§4－3无限时间定常状态调节器上面讨论的状态调节器，即使系统是时不变的，由于控制时间区间 是有限的，求得的是时变的，大大增加了系统结构的复杂性。问题的提出：解决思路:为了探索使成为常阵的条件，终端时刻取，期望得到，即所谓无限时间状态调节器或稳态状态调节器。24第二十四页，共五十七页，编辑于2023年，星期六设线性定常系统的状态方程为其中,均为常值正定对称矩阵。初始条件终端时刻

假设控制向量不受约束，求最优控制，使系统的二次型性能指标取极小值。，矩阵对[A,B]完全可控，25第二十五页，共五十七页，编辑于2023年，星期六与有限时间状态调节器的不同点：1）系统是时不变的，性能指标中的权矩阵为常值矩阵；3）终端权矩阵P=0,没有终端性能要求；2）要求系统完全可控;趋于常值；4）终端时刻，稳态时：稳态时间过渡时间黎卡提矩阵微分方程黎卡提代数方程K阵为常值矩阵由于26第二十六页，共五十七页，编辑于2023年，星期六下面直接给出最优解的结论：是可控的，性能指标为(4-17)线性定常系统（4-16）其中u不受限制，和为常数对称正定阵。则使J为极小的最优控制存在，且唯一，并可表示为(4-18)27第二十七页，共五十七页，编辑于2023年，星期六式中K为黎卡提代数方程(4-19)在最优控制下，最优轨线是下面线性定常齐次微分方程的解(4-20)所对应的性能指标的最小值为(4-21)

对于无限时间状态调节器，要强调以下三点：的解。28第二十八页，共五十七页，编辑于2023年，星期六1）适用于线性定常系统,且要求系统完全可控，而在有限时间状态调节器中则不强调这一点。因为在无限时间调节器中，控制区间扩大至无穷，为了保证积分值为有限，和要收敛到零，也就是受控系统的状态变量必须是渐近稳定的。对有限时间调节器来讲，因为积分上限有限值，即使系统不可控，状态变量不稳定，但积分指标仍可为有限值，故仍旧有最优解。

2）闭环系统是渐近稳定的，即系统矩阵 的特征值均具有负实部，而不论原系统A的特征值如何。证明思路：采用李亚普诺夫第二法，证明李亚普诺夫函数正定，负定，则原系统是渐进稳定的。（李亚普诺夫第二法稳定性定理）（见例4-3）（见例4-4）29第二十九页，共五十七页，编辑于2023年，星期六证明：设李雅普诺夫函数因K正定，故是正定的与黎卡提代数方程（4-19）式比较得由于Q，R均为正定矩阵，故负定，结论得证。30第三十页，共五十七页，编辑于2023年，星期六3）Q为正定，这个条件是保证最优反馈系统稳定而提出的。性能指标J取有限值，还不能保系统稳定，例如，只要不稳定的状态变量在性能指标中不出现（未被指标函数所“观测”到）即可，Q为半正定时就可能出现这种情况，所以Q必须正定。（见例4-2）31第三十一页，共五十七页，编辑于2023年，星期六例4－2

已知系统方程为性能指标为要求寻找最优控制使J最小。若，即，为正定，此时黎卡提代数解：设即原系统是不稳定的。方程为：32第三十二页，共五十七页，编辑于2023年，星期六整理得：取正定解由（4-18）式求得最优控制将上式代入状态方程，得闭环特征根为33第三十三页，共五十七页，编辑于2023年，星期六若（相当于Q半正定）则指标蜕化为由J的形成，可知 时J最小。这时无反馈控制作用，系统保持为开环不稳定状态。从黎卡提方程来看，这时有有二个解 和 ，只有可使，从而性能指标为最小，但这时系统不稳定。34第三十四页，共五十七页，编辑于2023年，星期六例4－3设系统状态方程为性能指标为解根据最优控制规律由于35第三十五页，共五十七页，编辑于2023年，星期六尽管是不可控的，但反馈控制中仍可包含有状态，性能指标尽管有，J仍有最小值。可由黎卡提矩阵微分方程得到:又，解得当时，，中必有。当时，必有，因为36第三十六页，共五十七页，编辑于2023年，星期六积分可得：在时，故有式中指数部分不为零，只有，可推得这时中将不包含。37第三十七页，共五十七页，编辑于2023年，星期六例4－4设系统的状态方程为性能指标为试确定最优控制，使J最小。设保证Q为正定。

解：系统中设38第三十八页，共五十七页，编辑于2023年，星期六由式（4-18）可得最优控制整理得由Q、K的正定性，下式成立39第三十九页，共五十七页，编辑于2023年，星期六最优控制函数为可看出闭环系统是稳定的。将上式代入状态方程，可得闭环系统的特征方程为40第四十页，共五十七页，编辑于2023年，星期六§4－4输出调节器问题在这节中，我们将依据系统可观测这一条件，来证明输出调节器问题可以转化成等效的状态调节器问题，并利用前两节的结果，应用类比法，建立输出调节器的控制规律。其控制不受约束，假定系统(4-22)完全可观测，寻找控制，使下列性能指标最小。（4-23）

（4-22a）（4-22b）设线性时变系统的动态方程为:41第四十一页，共五十七页，编辑于2023年，星期六其中和是半正定矩阵，是正定矩阵，终端时间固定。这一问题的物理含义是：以比较小的控制能量为代价，使输出保持在零值附近。把代入方程（4-23）得:（4-24）（4-3）比较（4-24）和（4-3）式42第四十二页，共五十七页，编辑于2023年，星期六要是能证明当矩阵 和 是半正定的，那么输出调节器问题也就转化成等效的状态调节器问题，于是状态调节器问题的所有研究结果，都可以推广到输出调节器问题中来。可见它们的结构形式相同，唯一差别是指标函数中的权函数发生了变化：在（4-3）式中的矩阵和在（4-24）式中分别换成 和 。43第四十三页，共五十七页，编辑于2023年，星期六，则对把代入上式得(4-26)式（4-26）对于所有的均成立，所以即是半正定的。同理可证是半正定阵。证明:因系统可观测，故,又都有（4-25）所有的(根据半正定阵的定义证明)44第四十四页，共五十七页，编辑于2023年，星期六因此对输出调节器问题可阐述为：（4-27）最优轨迹是下列线性微分方程的解:满足边界条件为下列黎卡提矩阵微分方程的解其中对于系统（4-22）和性能指标（4-23），最优控制存在、唯一，且可表示为:45第四十五页，共五十七页，编辑于2023年，星期六由于状态信息更完整地反映了系统的动态性能，比更为丰富，当系统可观测时，必可从中求得系统的全部状态信息。为实现最优控制，应当利用系统中所有可能的信息，故输出调节器的最优控制规律仍是以状态的线性函数构成状态反馈。46第四十六页，共五十七页，编辑于2023年，星期六无限时间定常输出调节器：关于线性时不变系统当时的输出调节器问题，可参照 时的状态调节器问题，得到相应的控制规律。设线性时不变系统完全可控，可观测，性能指标为47第四十七页，共五十七页，编辑于2023年，星期六其中不受约束，和都是正定对称常数矩阵，则最优控制存在，唯一，且由下式确定其中K是正定常数矩阵，满足下列矩阵代数黎卡提方程最优状态是下列齐次方程的解且矩阵的特征值具有负实部。

48第四十八页，共五十七页，编辑于2023年，星期六§4—5跟踪问题设有可观测线性系统（4-27a）(4-27b)系统输出的期望值为 ，即为所跟踪目标的运动规律，维数与相同，定义(4-28)

为误差函数。要求设计一控制向量，使跟踪的变化，且使性能指标(4-29）

取最小值，为给定值，这类问题称为跟踪问题。物理意义：以较小的控制能量为代价，使误差保持在零值附近。

49第四十九页，共五十七页，编辑于2023年，星期六定义哈密顿函数（4-30）控制方程为（4-31）协态方程为（4-32）50第五十页，共五十七页，编辑于2023年，星期六横截条件(4-33)由上式可见，中有一项与 成线性关系，另一项与理想输出成线性关系，根据扫描法的思想，令(4-34)

其中矩阵和向