2019年北京市东城区二模数学试题（解析版）

年北京市东城区中考数学二模试卷一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个1.若分式有意义，则x的取值范围是（）A.x＞3 B.x＜3 C.x≠3 D.x=3【答案】C【解析】【详解】试题分析：∵分式有意义，∴x﹣3≠0，∴x≠3；故选C．考点：分式有意义的条件．2.若，则实数在数轴上对应的点的大致位置是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据，即可选出答案.【详解】解：∵，故选C．【点睛】本题主要考查了无理数的估算和实数在数轴上的表示，能判断无理数的估值是解答此题的关键．3.下图是某几何体的三视图，则这个几何体是（）A.棱柱 B.圆柱 C.棱锥 D.圆锥【答案】D【解析】【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．【详解】由俯视图易得几何体的底面为圆，还有表示锥顶的圆心，符合题意的只有圆锥．故选D．【点睛】本题考查由三视图确定几何体的形状，主要考查学生空间想象能力以及对立体图形的认识．4.二元一次方程组的解是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：方程组利用加减消元法求出解即可．详解：，①+②得：2x=0，解得：x=0，把x=0代入①得：y=2，则方程组的解为，故选B．点睛：此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．5.下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【详解】解：A、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；B、是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；C、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项正确；D、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；故选C．【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．6.如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标．将线段沿某一方向平移后，若点的对应点的坐标为．则点的对应点的坐标为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据点A、点A的对应点的坐标确定出平移规律，然后根据规律求解点B的对应点的坐标即可．【详解】解：∵的对应点的坐标为，∴平移规律为横坐标减3，纵坐标减3，∴点的对应点的坐标为．故选B．【点睛】本题考查了坐标与图形变化-平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减，本题根据对应点的坐标确定出平移规律是解题的关键．7.如图，某地修建高速公路，要从地向地修一条隧道（点，在同一水平面上）．为了测量，两地之间的距离，一架直升飞机从地起飞，垂直上升1000米到达处，在处观察地的俯角为，则两地之间的距离约为（）A.米 B.米 C.米 D.米【答案】C【解析】【分析】在Rt△ABC中，∠CAB=90°，∠B=α，AC=1000米，根据，即可解决问题．【详解】解：在中，∵，，米，∴，∴米．故选C．【点睛】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．8.如图1，动点从菱形的顶点出发，沿以的速度运动到点．设点的运动时间为，的面积为．表示与的函数关系的图象如图2所示，则的值为（）A. B. C.2 D.【答案】B【解析】分析】由图2知，菱形的边长为a，对角线，则对角线为，当点P在线段AC上运动时，，即可求解．【详解】解：由图2知，菱形的边长为，对角线，则对角线为，当点在线段上运动时，，由图2知，当时，，即，解得：，故选B．【点睛】本题考查的是动点图象问题，涉及到二次函数、解直角三角形等知识，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9.分解因式：_______________；【答案】【解析】【分析】先提取公因式，再利用平方差公式进行因式分解即可得出答案.【详解】故答案为.【点睛】本题考查的是因式分解，因式分解的一般方法有：①提公因式法；②公式法；③分组分解法；④十字相乘法.【此处有视频，请去附件查看】10.某校准备从甲、乙、丙、丁四个科创小组中选出一组，参加区青少年科技创新大赛，表格反映的是各组平时成绩的平均数（单位：分）及方差，如果要选出一个成绩较好且状态稳定的组去参赛，那么应选的组是_____．【答案】丙【解析】【分析】先比较平均数得到乙组和丙组成绩较好，然后比较方差得到丙组的状态稳定，于是可决定选丙组去参赛．【详解】解：因为乙组、丙组的平均数比甲组、丁组大，而丙组的方差比乙组的小，所以丙组的成绩比较稳定，所以丙组的成绩较好且状态稳定，应选的组是丙组．故答案为丙．【点睛】本题考查了方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．也考查了平均数的意义．11.如果，那么代数式的值是_____．【答案】6【解析】【分析】根据，将代数式变形后代入可得所求式子的值．【详解】解：∵，∴，故答案为6．【点睛】本题考查整式的混合运算-化简求值，解答本题的关键是明确整式化简求值的方法．12.如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D均落在格点上，则∠BAC+∠ACD＝_____°．【答案】90【解析】【分析】证明△DCE≌△ABD（SAS），得∠CDE=∠DAB，根据同角的余角相等和三角形的内角和可得结论．【详解】在△DCE和△ABD中，∵，∴△DCE≌△ABD（SAS），∴∠CDE＝∠DAB，∵∠CDE+∠ADC＝∠ADC+∠DAB＝90°，∴∠AFD＝90°，∴∠BAC+∠ACD＝90°，故答案为90．【点睛】本题网格型问题，考查了三角形全等的性质和判定及直角三角形各角的关系，本题构建全等三角形是关键．13.如图，在平面直角坐标系中，若直线与直线相交于点，则关于的不等式的解集是_____．【答案】【解析】【分析】观察函数图象得到当x＞1时，函数y=-x+a的图象都在y=bx-4的图象下方，所以不等式-x+a＜bx-4的解集为x＞1；【详解】解：当时，函数的图象都在的图象下方，所以不等式的解集为；故答案为．【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=ax+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．14.用一组，的值说明命题“若，则一次函数的图象经过第一、二、三象限”是错误的，这组值可以是_____，_____．【答案】(1).2；(2).-3，答案不唯一【解析】【分析】直接利用一次函数的性质结合经过象限的特点分析得出答案．【详解】解：若，则一次函数的图象经过第一、二、三象限，故，则说明此命题错误时，即可．则这组值可以是，（答案不唯一）．故答案为2，﹣3（答案不唯一）．【点睛】此题主要考查了命题与定理，正确掌握一次函数的性质是解题关键．15.如图，，，，为上的点，，，则圆心到弦的距离为_____．【答案】【解析】【分析】延长CA交⊙A于F，连接BF，作AH⊥BC于H，根据圆心角、弧、弦之间的关系定理求出BF，根据垂径定理得到CH=HB，根据三角形中位线定理计算即可．【详解】解：延长交于，连接，作于，∵，，∴，∴，∴，∵，∴，又，∴，故答案为．【点睛】本题考查的是垂径定理、三角形中位线定理、圆心角、弧、弦之间的关系，掌握垂径定理、三角形中位线定理是解题的关键．16.运算能力是一项重要的数学能力．王老师为帮助学生诊断和改进运算中的问题，对全班学生进行了三次运算测试．下面的气泡图中，描述了其中5位同学的测试成绩．（气泡圆的圆心横、纵坐标分别表示第一次和第二次测试成绩，气泡的大小表示三次成绩的平均分的高低；气泡越大平均分越高．）①在5位同学中，有_____位同学第一次成绩比第二次成绩高；②在甲、乙两位同学中，第三次成绩高的是_____．（填“甲”或“乙”）【答案】(1).3；(2).甲【解析】【分析】①看横坐标比纵坐标大的有几个同学；

②看甲、乙两位同学哪个的气泡大．【详解】①在5位同学中，有3个同学横的横坐标比纵坐标大，所以有3位同学第一次成绩比第二次成绩高；故答案为3；②在甲、乙两位同学中，根据甲、乙两位同学的位置可知第一次和第二次成绩的平均分差不多，而甲的气泡大，表示三次成绩的平均分的高，所以第三次成绩高的是甲．故答案为甲．【点睛】考查了象形统计图，象形统计图是人们描述数据常用的一种方法，其类型较多，其中用所统计的物体的象形图形来表示的一类统计图叫做象形统计图．解题的关键是得出每个象形符号代表什么．三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27-28题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17.下面是小明设计的“在一个平行四边形内作菱形”的尺规作图过程．已知：四边形是平行四边形．求作：菱形（点在上，点在上）．作法：①以为圆心，长为半径作弧，交于点；②以为圆心，长为半径作弧，交于点；③连接．所以四边形为所求作的菱形．根据小明设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：∵，，∴＝．在中，．即．∴四边形为平行四边形．∵，∴四边形为菱形（）（填推理的依据）．【答案】（1）作图见解析；（2），，邻边相等的平行四边形是菱形．【解析】【分析】（1）根据要求画出图形即可．

（2）根据邻边相等的平行四边形是菱形即可．【详解】解：（1）四边形为所求作的菱形．（2）∵，，∴，在中，．即．∴四边形为平行四边形．∵，∴四边形为菱形（邻边相等的平行四边形是菱形．）故答案为，，邻边相等的平行四边形是菱形．【点睛】本题考查作图-复杂作图，平行四边形的判定和性质，菱形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．18.计算：．【答案】2【解析】【分析】直接利用负指数幂的性质、绝对值的意义、零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值分别化简得出答案．【详解】解：原式，．【点睛】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．19.解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来．【答案】x≤﹣1，见解析.【解析】【分析】去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成1即可．【详解】解：去分母得：2（2x﹣1）﹣3（5x+1）≥6，4x﹣2﹣15x﹣3≥6，﹣11x≥11，x≤﹣1，在数轴上表示不等式的解集为：．【点睛】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集的应用，能求出不等式的解集是解此题的关键，难度适中．20.关于的一元二次方程．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一根大于3，求的取值范围．【答案】（1）证明见解析；（2）的取值范围是．【解析】【分析】（1）根据判别式△=（-m）2-4（m-1）=（m-2）2≥0即可得；

（2）因式分解法得出x1=1，x2=m-1，由方程有一个根大于3知m-1＞3，解之可得．【详解】（1）证明：依题意，得，∵，∴方程总有两个实数根；（2），，∴，，∵方程有一个根大于3，∴，∴．∴的取值范围是．【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．21.如图，在中，，为中点，，且．（1）求证：四边形是矩形；（2）连接交于点，若，，求的长．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】【分析】（1）根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可判断．

（2）证明△AEF∽△BCF，推出，由此即可解决问题．【详解】（1）证明：∵，，∴四边形是平行四边形，∵，为的中点，∴，∴，∴四边形是矩形．（2）解：∵四边形是矩形，∴，∵，，∴，，∴，∵，∴，∴，∴．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．22.在平面直角坐标系中，直线与双曲线的一个交点是．（1）求和的值；（2）设点是双曲线上一点，直线与轴交于点．若，结合图象，直接写出点的坐标．【答案】（1），．（2）满足条件的点坐标为或．【解析】【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题．

（2）分两种情形①当点B在第四象限时，作AE⊥x轴于E，PF⊥x轴于F，由AE∥PF，得到，推出BF=1，②当点B在第一象限时，作AE⊥x轴于E，BF⊥x轴于F，由AE∥BF，得，推出BF=1，由此即可解决问题．【详解】解：（1）把点再把代入得到，再把的再把代入，，解得，所以，．（2）①当点在第三象限时，如图1，作轴于，轴于，∵，∴，∴，∴，∴．②当点在第一象限时，如图2，作轴于，轴于，∵，∴，∴，∴，∴，综上所述，满足条件的点坐标为或．【点睛】本题考查一次函数与反比例函数图象交点，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用分类退了的思想思考问题，属于中考常考题型．23.2019年中国北京世界园艺博览会已于2019年4月29日在北京市延庆区开展，吸引了大批游客参观游览．五一小长假期间平均每天入园人数大约是8万人，佳佳等5名同学组成的学习小组，随机调查了五一假期中入园参观的部分游客，获得了他们在园内参观所用时间，并对数据进行整理，描述和分析，下面给出了部分信息：a．参观时间的频数分布表如下：时间（时）频数（人数）频率250.050851600.3201390.2780.100410.082合计1.000b．参观时间的频数分布直方图如图：根据以上图表提供的信息，解答下列问题：（1）这里采用的调查方式是；（2）表中，，；（3）并请补全频数分布直方图；（4）请你估算五一假期中平均每天参观时间小于4小时的游客约有多少万人？【答案】（1）抽样调查；（2）0.17，50，500；（3）作图见解析；（4）4.32万人.【解析】【分析】（1）由抽样调查的概念求解可得；

（2）根据频率=频数÷总数求解可得；

（3）根据以上所求结果补全图形；

（4）总人数乘以样本中对应部分的频率和即可得．【详解】解：（1）这里采用的调查方式是抽样调查，故答案抽样调查；（2），，，故答案为0.17，50，500；（3）补全直方图如下：（4）五一假期中平均每天参观时间小于4小时的游客约有（万人）．【点睛】本题主要考查频数分布直方图，解题的关键是掌握频率=频数÷总数及样本估计总体思想的运用．24.如图，是的外接圆，连接，过点作交的延长线于点，．（1）求证：是的切线；（2）若，的半径为，求的长．【答案】（1）证明见解析；（2）7.【解析】【分析】（1）连接OA，根据圆周角定理可知∠AOC=2∠ABC=90°，利用平行线的性质即可求出∠OAD=90°，从而可知AD是⊙O的切线；

（2）过C作CE⊥AB于E，根据勾股定理得到AC=5，根据三角函数的定义得到CE=3，AE=4，于是得到结论．【详解】解：（1）连接，∵，∴，∵，∴，∵是的半径，∴是的切线；（2）过作于，∵，，∴，∵，∴，∴，，∵，，∴，∴，∴．【点睛】本题考查了勾股定理，圆周角定理，切线的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．25.如图，点是所对弦上一动点，点在的延长线上，过点作交于点，连接，已知，，设，两点间的距离为，的面积为．（当点与点，重合时，的值为0．）小亮根据学习函数的经验，对函数随自变量的变化而变化的规律进行了探究．下面是小亮的探究过程，请补充完整：（1）通过取点、画图、测量，得到了与的几组值，如下表：345678904.477.079.008.940（2）在平面直角坐标系中，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题：当的面积为时，的长度约为．【答案】（1）9.9；（2）见解析；（3）5.43或8.30．【解析】【分析】（1）如图1，x=5时，点B在B′处，x=7时，点B在B处，此时，B′C′=BC，则，即可求解；（2）依据表格数据描点即可；

（3）从图象可以看出，当△ABC的面积为8cm2时，AB的长度约为5.43或8.30．【详解】解：（1）如图1，时，点在处，时，点在处，此时，，则，故答案为9.9；（2）图象如下图所示：（3）从图象可以看出，当的面积为时，的长度约为5.43或8.30，故答案为5.43或8.30．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，主要是通过已知点数据，确定确定未知点数据，再描绘图象，从图象查看相关数据．26.在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点．（1）试用含的代数式表示抛物线的顶点坐标；（2）将抛物线沿直线翻折，得到的新抛物线与轴交于点．若，，求的值；（3）已知，，在（2）的条件下，当线段与抛物线只有一个公共点时，直接写出的取值范围．【答案】（1）抛物线的顶点坐标为；（2）；（3）或．【解析】【分析】（1）化成顶点式即可求得；

（2）根据题意求得OC=3，即可得到m2-1=3，从而求得m=2；

（3）将点A（2k，0），B（0，k），代入抛物线，此时时抛物线与线段刚相交的时候，k在此范围内即可使抛物线与线段AB有且只有一个公共点．【详解】解：（1）∵，∴抛物线的顶点坐标为；（2）由对称性可知，点到直线的距离为4，∴，∴，∵，∴；（3）∵，∴抛物线为，当抛物线经过点时，或；当抛物线经过点时，；∵线段与抛物线只有一个公共点，∴或．【点睛】本题考查二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，数形结合解题是解决本题的关键．27.如图，为等边三角形，点是线段上一动点（点不与，重合），连接，过点作直线的垂线段，垂足为点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，．（1）求证：；（2）延长交于点，求证：为的中点；（3）在（2）的条件下，若的边长为1，直接写出的最大值．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）1.【解析】【分析】（1）由等边三角形的性质和旋转的性质可得∠DAB=∠CAE，AB=AC，AD=AE，即可证△ADB≌△AEC，可得BD=CE；

（2）过点C作CG∥BP，交EF的延长线于点G，由等边三角形的性质和全等三角形的性质可得CG=BD，∠BDG=∠G，∠BFD=∠GFC，可证△BFD≌△CFG，可得结论；

（3）由题意可证点A，点F，点C，点E四点在以A