数列（文科）（高考真题+模拟新题）

D数列

1)1数列的概念与简单表示法

14.Dl［2012•上海卷］已知火》)=自，各项均为正数的数列｛%｝满足内=1,%+2=

.若。2010=。2012，则。20+。11的值是________.

14..考+3［解析］考查数列的递推关系和函数的综合问题，考查考生的推理能力和

转化与方程思想.

111

当〃为奇数时，由递推关系可得，的=七=/。5=7^=2东依次可推得

1十IN1十。3。

25X1

。7=＜。9=工，a\\=7T,又。2010=。2012=77----,由此可得出当〃为偶数的时候，所

〉8J1+〃2010

有的偶数项是相等的，即。2=…=。2010=。2012，其值为方程X=即f+工-1=0的根,

解得才=二^立，又数列为正数数列，所以。20=-1+小

2

匕山网5+3

所以Go+=26

D2等差数列及等差数列前n项和

19.D2、D4[2012•浙江卷]已知数列｛四｝的前〃项和为S,”且S“=2〃2+〃，〃6N*,数

列｛b,J满足a.=41og26“+3,〃GN*.

(1)求a”，6“；

⑵求数列｛斯也｝的前n项和T„.

19.解：(1)由&=2/+〃得

当〃=1时，a】=Si=3;

当时，a„=Sn-S„-i=4n-1,

当〃=1时，也符合

所以a”=4〃-l,n€N*>

由4〃-1=a”=410g2”,+3得

b„=2"1,n€N*.

⑵由⑴知

aA=(4w-l)-2nl,〃£N*,

所以7；=3+7X2+11X2?+…+(4〃-1>2"T,

27；=3X2+7X22+-+(4M-5)-2n-1+(4M-1)-2",

所以27；-7；=(4〃-1)2"-[3+4(2+22+•­•+2"')]

=(4/7-5)2"+5,

故7；=(4〃-5)2"+5,N*.

12.B2、D2[2012•四川卷]设函数/(x)=(x—3p+x-1,｛a“｝是公差不为0的等差数歹U，

人“1)+/(42)+…+_火”7)=14,则41+42+…+。7=()

A.0B.7C.14D.21

12.D[解析]记公差为d,

则/1)+加2)+…+人。7)

=(47|-3)3+(。2-3)3++(«7-3)3+(<7|+(72+…+«7)-7

33

=(。4-3d-3)3+(6/4-21-3)3+…+(勿+2d-3)+(a4+3d-3)+7a「1

=7Q-3/+7X3Q-3)+7a4-7.

由已知，7(44-3)3+7X3(44-3)+744-7=14,

即7(44-3)3+7X3(6/4-3)+7(.4-3)=0,

.•.(44-3)3+4(04-3)=0.

因为/(x)=x3+4x在R上为增函数，且<0)=0,

故［4-3=0,即。4=3,

「•+。2+…+47=7供=7X3=21.

21.B12、D2［2012•安徽卷］设函数Xx)=］+sinx的所有正的极小值点从小到大排成的

数列为｛/｝.

⑴求数列&“｝的通项公式；

(2)设｛%,｝的前n项和为S,„求sin5„.

21.解：(1)因为/(X)=^+COST=0,COSX=

,2

解得x=2后丐加伏€Z).

由x〃是4丫)的第n个正极小值点知，

xn-2〃兀-，兀5£N*).

2

(2)由(1)可知，S”=2兀(1+2+…+〃)-g〃兀

.八2〃兀

=n(n+1)71-

所以sinS〃=sin(〃(〃+1)兀-^

因为〃(〃+1)表示两个连续正整数的乘积，〃(〃+1)一定为偶数.

所以sinS„=-sin(竽).

当n=3m-2(加€Nj时，

sinS”=-sin(2〃?兀-3兀)=-乎；

当〃=3〃?-1(加£N*)时，

s\nSn=-sin(2，%兀-，兀j=坐；

当〃=3m(m£N*)时，sinS”=一sin2加兀=0.

-坐，n=3m-2(w€N*),

综上所述，sinS〃=<近匚*

2,n=l(/wcN),

<0,n=3m(rn€N*).

10.D2［2012•北京卷］已知｛%｝为等差数列，s,为其前〃项和，若功=；,$2=6，则。2

，Sn=•

10.I%(〃+1)［解析］本题考查等差数列的基础量运算.

］n(/7—1)1

设｛a”｝的公差为d,由S2=的可得〃==/，故&=0+d=1，S,=+—2—d=不/(〃

+1)-

17.D2,D3.K2［2012・福建卷］在等差数列｛%｝和等比数列步“｝中，0=1=1,-=8,

｛为｝的前10项和So=55.

⑴求为和儿；

(2)现分别从｛%｝和｛0｝的前3项中各随机抽取一项，写出相应的基本事件，并求这两项

的值相等的概率.

17.解：⑴设｛〃“｝的公差为乩｛瓦,｝的公比为夕.依题意得

10X9a

Sio=10+-一1=55，b^=q'=8,

解得d=I,q=2,

n

所以叫=〃，bn=2-'.

(2)分别从｛%｝,怜“｝的前3项中各随机抽取一项，得到的基本事件有9个：(1,1),(1,2),

(1,4),(2,1),(2,2),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4).

符合题意的基本事件有2个：(1,1),(2,2).

故所求的概率尸J2

20.D2、D3、D5［2012・湖北卷］已知等差数列｛为｝前三项的和为一3,前三项的积为D

(1)求等差数列｛恁｝的通项公式；

(2)若。2,。3,成等比数列，求数列｛㈤|｝的前，项和.

20.解：(1)设等差数列｛为｝的公差为4则。2=。1+"，6=ai+2d,

3a\+34=-3,

由题意得

a\(a\+d)(a\+2d)=8,

a\=2a\=-4,

解得…3,或

d=3.

所以由等差数列通项公式可得

氏

3\+5或4+

为

仇73n1)=3〃-7,

=2七

或

5初

故--■

追

-7的

⑵5时

"。

-4,2,不成等比数列；

时

当%-732

的4,成等比数列，满足条件.

[-3M+7,〃=I,2,

故也|=|3〃-7|=「

[3n-7,3,

记数列｛包|｝的前〃项和为sn.

当”=1时,5|=|<7||=4;当〃=2时,$2=3+㈤=5；

当”23时，

Sn=S2+㈤+|以|+…+|叫=5+(3X3-7)+(3X4-7)+…+(3〃-7)

(〃-2)[2+(3〃-7)]311

=5+--------2--------=2«2-77+10.

当〃=2时，满足此式.

4,n=

综上，S”="311

5〃2-yn+10,n>1.

4.D2［2012•辽宁卷］在等差数列｛〃“｝中，已知〃4+。8=16,则s+aio=()

A.12B.16

C.20D.24

4.B［解析］本小题主要考查等差数列性质的应用.解题的突破口为正确识记性质，

应用性质.

由等差数列的性质m+n=i+j,m,n,i,j€N*,则a,„+a„=<7,+a,,故而为+愚=改

+田0=16,答案应该选B.

20.D2［2012•山东卷］已知等差数列｛a“｝的前5项和为105,且苗。=2%.

⑴求数列｛%｝的通项公式；

(2)对任意朋GN*,将数列｛%｝中不大于72"，的项的个数记为b,n,求数列｛狐｝的前加项

和S”

20.解：(1)设数列伍〃｝的公差为小前〃项和为北,

由?5=105,4|0=2。5，

5X(57)

5。1+d=105,

得到彳2

Oi+9d=2((7I+4办

解得3=7,d=7.

因此诙=+(〃-l)d=7+7(〃-1)=ln(n£N*).

2m

(2)对m£N*.若an=7«<7,则

因此狐=72'"，

所以数列｛篇｝是首项为7,公比为49的等比数列，

、一(l-q'")7义(1-49"')7><(72阳-1)一1

故S,„=1-勺=-1-49-=48=-48'

16.D2、D5[2012•陕西卷]已知等比数列｛。“｝的公比夕=一

(1)若的=：,求数列｛〃“｝的前n项和;

(2)证明：对任意ZWN+,以，。《+2，仅+［成等差数列.

16.解：⑴由的==；及夕=",得0=1,

ix［lO"］2+(钞，

所以数列｛斯｝的前〃项和S,----L-7“八乙」----'/一.

1-(同

(2)证明:对任意左SN*,

k112

2ak.2-(ak+ak^0=2a\q'-+a］)=mqk12q-q-1),

由夕=-g得2/-q-1=0,故2的2-3+%i)=0.

所以，对任意上EN,,a/t，az，仅+i成等差数列.

16.D2、D3［2012•重庆卷］已知｛为｝为等差数列,且一+俏=8,a2+a4=l2.

(1)｛〃“｝的通项公式；

⑵记｛为｝的前〃项和为S”若ak,&+2成等比数列，求正整数人的值.

16.解：⑴设数列｛4｝的公差为差由题意知

2。]+2d=8,

r〜s解得0=2,d=2・

2a\+4(7=12.

所以恁=+(/?-l)d=2+2(〃-1)=2rL

,+an)"(2+2n)

(2)由(1)可付S„=---2----=---2---=〃(〃+1)•

因为4],4,S*+2成等比数列，所以戊=4岛+2.

从而(2无)2=2伏+2)(左+3),即左2-5左一6=0,

解得左=6或4=-1(舍去).因此左=6.

D3等比数列及等比数列前n项和

11.D3［2012•重庆卷］首项为1,公比为2的等比数列的前4项和&=.

11.15［解析］由等比数列的前〃项和公式得&J［(!，24)=i5.

14.D3［2012•辽宁卷］已知等比数列｛%｝为递增数列.若0>0,且2(。“+为+2)=5%+”

则数列｛为｝的公比q=.

14.2］解析］本小题主要考查等比数列的概念与性质.解题的突破口为灵活应用等比

数列通项变形式，是解决问题的关键.

由已知条件㈤｝为等比数列，则2a+2)=5a”*户2(%+一—=5。/条2/-5g+2=

00］=聂2,又因为｛斯｝是递增数列，所以4=2.

14.D3［2012•课标全国卷］等比数列｛%｝的前“项和为S”,若昆+3$2=0,则公比《=

14.［答案］-2

［解析］设薪列｛%｝的公比为q.由Sj+3s2=0,得4苗+4a2+6=0，贝14苗+4a\q+a］

=0.显然。1#0,所以4+4q+q2=o,解得q=-2.

7.D3［2012•湖北卷］定义在(-8,0)U(0,+8)上的函数；(x),如果对于任意给定的

等比数列｛%｝,伏为)｝仍是等比数列，则称人》)为“保等比数列函数”.现有定义在(一8,

0)U(0,+8)上的如下函数：

2

0Xx)=x;②Ax)=2。③/(幻=诉；④/(x)=ln|4

则其中是“保等比数列函数”的_/(x)的序号为()

A.①②B.③④

C.①③D.②④

7.C

［解析］不妨设&=而且｛a,,｝是公比为g的等比数列.对于①，由/)=x2,得怜”=

£=衾八所以①符合条件；对于②，由於)=2'，咪七言二含、

=2……显然不符合条件；对于③，由所而，得点*患r耨二后

=而，符合条件；对于④，由於)=出同，得、吗=，叫=/叫，显然也不符合条件.故

J\^n-\)-)|in|aw-1|

选c.

12.D3［2012♦广东卷］若等比数列｛a,,｝满足a2a44则S&5=.

12.；［解析］根据等比数列的性质得：4244=045=。：，所以。1。如=£乂3=；.

16.D2、D3［2012•重庆卷］已知｛%｝为等差数列,且劣+的=8,色+“4=12.

(1)｛%｝的通项公式;

(2)记｛a“｝的前”项和为S“，若a”ak,S*+2成等比数列，求正整数%的值.

16.解：(1)设数列｛%｝的公差为乩由题意知

2m+24=8,

解得a\=2,d=2.

2。1+44=12.

所以斯=1）4=2+2（〃-1）=2w.

।n（2+2ri）

（2）由（1）可付S〃=2=2=+1，

因为41，。左,Sjt+2成等比数列,所以温=。8+2.

从而（2左）2=2（左+2）（左+3）,即*-5%—6=0,

解得k=6或k=-1（舍去）.因此攵=6.

7.D3、BH［2012•上海卷］有一列正方体，棱长组成以1为首项、3为公比的等比数歹U，

体积分别记为匕，匕，…，匕”…，则lim(匕+6+—+%)=.

o

7.1［解析］考查等比数列和无穷递缩等比数列的极限，此题只要掌握极限公式即可解

决，是简单题型.

1

公比-

由已知可知匕，匕，匕，…构成新的等比数列，首项匕夕=8

8

由极限公式得・

Llim8(%+%+♦♦+T

17.C8、D3[2012•山东卷]在△ZBC中,内角/,B,C所对的边分别为。，b,C,已

知siaS(taiL4+tanQ=tart4tanC.

(1)求证：a,b,c成等比数列；

(2)若o=l,c=2,求△48C的面积S.

17.解：(1)证明：在△ZBC中，由于sin5(tanJ+tanC)=tanJtanC,

匕匕八).JsinJsinCAsiMsinC

所以SI喇丽7+^cj=cos/cos。

因此sin8(sirL4cosc+cos^sinQ=sin4sinC,

所以sinBsin(力+Q=sinJsinC,

又A+B+C=7t,

所以sin(J+C)=sin5,

因此sin2^=sin^sinC,

由正弦定理得从=敬，即①b,。成等比数列.

/+/一从『+22一23

(2)因为Q=1,。=2,所以b=p,由余弦定理得cos8=

―lac=2X1X2-41

因为0<B<7t,所以sirtB=qi—COS-B=T，

故△/BC的面积S=%csitB=；X1X2X^=乎.

20.D2、D3、D5［2012•湖北卷］已知等差数列｛%｝前三项的和为一3,前三项的积为8.

(1)求等差数列｛处｝的通项公式；

(2)若例，的，6成等比数列，求数列｛|编｝的前〃项和.

20.解：⑴设等差数列｛叫的公差为d,则生=m+Ha3=ai+2d,

3。]+3d=-3,

由题意得

_a\(g\+d)(a\+2d)=8,

oi=2a\=-4,

解得，d=f或

d=3.

所以由等差数列通项公式可得

4〃=2-3(〃-1)=-3〃+5，或%=-4+3(〃-1)=3〃-7,

故。〃=-3〃+5,或。〃=3〃-7.

(2)当如=-3〃+5时，%，6，分别为-1，-4,2,不成等比数列；

当为=3〃-7时，。2，。3，m分别为-1,2,-4,成等比数列，满足条件.

-3〃+7，〃=1,2,

故包|=|3"-7|=,

3〃一7,3,

记数列｛|端｝的前〃项和为S,,

当〃=1时，S］=\a\\=4;当〃=2时,$2=3|+|。2|=5；

当时，

S?=S2+|的|+|勿|+…+|%|=5+(3X3-7)+(3义4-7)+・・・+(3〃-7)

(〃-2)[2+(3〃-7)]311…

=5+------------2------------=卧2—5〃+0.

当〃=2时，满足此式.

4,n=L

综上，Sn=*311，八

于2一？+10,〃>1.

5.D3［2012・安徽卷］公比为2的等比数列｛斯｝的各项都是正数,且。3卬=16,则%=

()

A.1B.2

C.4D.8

5.A［解析］设等比数列的公比为q,则由等比中项的性质，得6=帚=16,

又因为数列｛四｝各项为正数，所以田=4.所以。5『=4,即4a5=4,解得％=1.

13.D3［2012•江西卷］等比数列｛%｝的前〃项和为S,”公比不为1,若0=1,且对任意

的〃eN,都有a〃+2+a”+i—2%=0,则$5=.

13.11［解析］设等比数列的公比为%则m/T+削"-2。q"7=0,•.・0=1,qWO,

1-(-2)5

-'-q2+q-2=0,解得g=-2或g=1(舍去)，因此S5=］_

6.D3、El［2012・北京卷］已知｛%｝为等比数列，下面结论中正确的是()

A.。1+。3)2。2

B.aj+W-

C.若6Z|=(73>则0=42

D.若贝!］〃4>02

6.B［解析］本题考查等比数列通项、简单不等式性质与均值不等式.

对于A选项，当数列｛四｝首项为负值，公比为负值时明显不成立，比如m

+=-2V2a2=2,故A错误；对于B选项，诏+诏221al<731=2M,明显成立，故B

正确；对于C选项，由伯=%=©J只能得出等比数列公比，=1,4=±1,当4=-1时，

故C错误；对于选项D,由。3>。1可得。1(［2T)>0，而。4-。2=42(</2T)=。1<7(豕

-1)的符号还受到夕符号的影响，不一定为正，也就得不出。4>。2,故D错误.

17.D2、D3、K2［2012•福建卷］在等差数列｛斯｝和等比数列｛，,｝中，0=仇=1,d=8,

｛。“｝的前10项和510=55.

⑴求斯和Z>„；

(2)现分别从｛%｝和｛6,,｝的前3项中各随机抽取一项，写出相应的基本事件，并求这两项

的值相等的概率.

17.解：(1)设｛斯｝的公差为的出“｝的公比为g.依题意得

10X9,

S\o=10+-5--<7=55,64=4=8，

解得d=1,q=2,

所以。“=〃，儿=2"」

(2)分别从｛%｝,｛”,｝的前3项中各随机抽取一项，得到的基本事件有9个：(1,1),(1,2),

(1,4),(2,1),(2,2),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4).

符合题意的基本事件有2个：(1,1),(2,2).

故所求的概率尸=号2

20.D3、D5［2012•湖南卷］某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产.该企业第一

年年初有资金2000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50%.预计以后每年资金增

长率与第一年的相同.公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d万元，并将剩余资

金全部投入下一年生产.设第〃年年底企业上缴资金后的剩余资金为斯万元.

(1)用d表示a”<22>并写出。”+1与%的关系式；

(2)若公司希望经过加(加，3)年使企业的剩余资金为4000万元，试确定企业每年卜.缴资

金d的值(用m表示).

20.解：⑴由题意得2000(1+50%)-4=3000-&

。2=6(1+50%)-d=^a\~<7=4500-

3

%，i=。〃(1+50%)-d=-jan-d.

3

(2)由⑴得册=宠“厂d

^^a,,-2-d)-d

=(|)j-d

整理得

@”7(3000

1

=(|)"|(3000-3团+2".

4000,即(D'

由题意,|,H''(3000-3J)+2t/=4000.

2XX00loo。。"'-2"'*

解得d=3，”_2"?

1

故该企业每年上缴资金d的值为“)啰：;时,经过制机)3)年企业的剩余资金为

4000万元.

D4数列求和

18.D4[2012•上海卷]若/=si吟+sin~^T-----Hsin等(〃WN*),则在&,S?,…,Sioo中，

正数的个数是()

A.16B.72

C.86D.100

18.C［解析］考查三角函数的周期和数列求和，以及转化和整体思想，此题的关键是

把一个周期看成一个整体来求和.

/77E

函数/)=siiry的周期为14,所以S14=$28=…=$98=0,又$4=$3,…，S98ns97,

所以前100项求和中，为正数的有100-14=86个.

11.D4［2012•福建卷］数列｛为｝的通项公式为=〃cos詈，其前〃项和为S,”则S2012等于

()

A.1006B.2012C.503D.0

11.A［解析］本题考查数列求和以及三角函数求值、数列的周期性等，突破点是找到

该数列的周期性的规律，再求和.

兀C

a\=1IcosT=0，

a2=2cos兀=-2,

_3K

。3=3COS~2~=0,

。4=4cos2兀=4;

广5兀八

。5=5cos5=0,

恁=6cos3兀=-6,

=7

a7cos77210,

a=8COS871

82=8.

该数列每四项的和为2,2012-4=503,所以S2012=2义503=1006.

6.D4[2012•全国卷]已知数列｛仇｝的前勿项和为S〃，卬=1,S〃=2%+],则S,=()

A.2"T

6.B［解析］本小题主要考查数列前n项和S,与通项小的关系，解题的突破口是用

4〃表7卜Sn.

由S〃=2a〃+i=2⑸+［-S〃)得S〃+i=|s〃，所以｛SJ是以Si=0=1为首项，|为公比的等

比数列，所以a=(|)'一，故选B.

12.D4>D5［2012•课标全国卷］数列3｝满足〃+1+(—1)%=2〃-1,则｛*的前60项

和为()

A.3690B.3660

C.1845D.1830

12.D［解析］令hn~+a4n-2+-1+。4〃1

则b〃+i—。4”+I+。4〃+2+。4〃+3+。4〃+4・

因为恁+1+(T)%〃=2勿-1,

所以恁+1=-(-1)%,+2w-1.

所以。4〃-3=一。4〃-4+2(4〃-4)-1,

M-2=M-3+2(4〃-3)-1,

1=一。4〃-2+2(4〃-2)-1,

+2(4勿-1)-1,

a4n+1=一+2X4〃一1，

。4〃+2=。4"+1+2(4〃+1)-1,

。4〃+3=-。4〃+2+2(4〃+2)-1，

。4〃+4=。4〃+3+2(4〃+3)-1,

+

所以。4〃+4=。4〃+3+2(4〃+3)-1=-a4n+22(4〃+2)-1+2(4〃+3)-1

=-°4〃+1-2(4/7+1)+1+2(4〃+2)-1+2(4/7+3)-1

=〃4〃-2X4〃+1-2(4/7+1)+1+2(4〃+2)-1+2(4〃+3)-1

=a4n+8,

即。4〃，4=。4〃+8.

同理，04〃，3=。4”-1，。4〃+2=。4〃-2+8，44〃+1=。4〃-3・

所以。4”+1+。4〃+2+。4〃+3+44〃+4=久〃+。4,厂1+々4，厂2+。4”-3+16.

即与+］=儿+16.故数列出〃｝是等差数列.

又生一。1=2X17,①

6+。2=2X2-1,②

674-a3=2X3-1,③

②一①得=2；②+③得G+。4=8,

所以+。2+。3+。4=10,即b\=10.

所以数列｛为｝的前60项和即为数列出“｝的前15项和,即S”=10X15+”/X16=

1830.

故选D.

20.B3、D4、M4[2012•北京卷]设N是如下形式的2行3列的数表，

abc

def

满足性质P：a,b,c,d,e,/G[—1,1],且a+6+c+d+e+i/=0.

记n⑷为A的第i行各数之和(i=1,2),c")为A的第/列各数之和(/=1,2,3)；

记网/)为,(/)|,|「2(4)|，\ci(A)\,\C2(A)\,©(4)1中的最小值.

(1)对如下数表4,求处)的值;

11-0.8

0.1—0.3-1

(2)设数表/形如

11-l-2d

dd-1

其中一iWdWO,求网Z)的最大值；

(3)对所有满足性质P的2行3列的数表4求任分的最大值.

20.解：(1)因为1(/)=为2,r2(A)=-1.2,c2(^)=0.7,c3(A)=-1.8,

所以网4)=0.7.

(2>i(4)=1-2d,r2(A)=-1+2d,

ci(A)=C2(A)=\+d,C3(A)=-2-2d.

因为—IWdWO,

所以比(4)|=的(/)|21+d20，

匕⑷|21+d>0.

所以％(4)=1+d《L当d=0时，％。)取得最大值1.

(3)任给满足性质P的数表4(如下所示).

abc

def

任意改变4的行次序或列次序，或把/中的每个数换成它的相反数，所得数表/仍满

足性质P,并且码)=44*).

因此，不妨设正(4)20,eg)2。,C2⑷，0.

由右4)的定义知，

©N)Wci(4),码)Wc2(Z).

♦而3必)Wn(4)+q⑷+C2(A)

=(a+h+c)+(a+d)+(b+e)

=(a+b+c+d+e+/)+(a+b-f)

=a+h-/^3.

所以31)W1.

由(2)知，存在满足性质P的数表/使周4)=1.

故％(N)的最大值为1.

19.D2、D4[2012•浙江卷]已知数列｛%｝的前〃项和为S”，且S,=2〃2+〃，〃GN*,数

列｛-｝满足%=41og2”,+3,“WN*.

⑴求斯，bn；

(2)求数列优”4,｝的前n项和T,,.

19.解：(1)由&=2〃2+〃得

当〃=1时，0=&=3;

当〃22时，an=Sn-S„-i=4w-1,

当”=1时，也符合

所以a”=4〃-1,〃£N*,

由4〃-1=%=410g2瓦,+3得

nl

bn=2,n€N*.

(2)由⑴知

-1

atf)n~(4M1)-2",n€N*,

所以7；,=3+7X2+11X22+-+(4W-l)-2nl,

2T,=3X2+7X2?+…+(4〃-5)-2"-1+(4M-1)-2",

所以27；-7；=(4n-1)2W-[3+4(2+22++2n'|)]

=(4〃-5)2"+5,

故T„=(4/7-5)2n+5,M€N*.

D5单元综合

20.D5[2012•四川卷]已知数列｛为｝的前〃项和为S”,常数A>0,且-i%=N+S.对一

切正整数〃都成立.

(1)求数列｛%｝的通项公式：

(2)设m>0,4=100.当〃为何值时，数列1%?的前〃项和最大？

20.解：(1)取〃=1,得〃;=2S|=2s，-2)=0.

若0=0,则Sn=0.

当〃22时，^=SW-SW-1=0-0=0,所以。〃=0(〃21).

222

若的若0,则.当《22时,2a〃=3+S匕2a〃-i=>+S〃_[,

两式相减得2an-2an-\=%,

所以恁=2斯.Q22),从而数列｛%｝是等比数列，

所以如“Z'MW

AA

综上，当0=0时，a„=0;当句W0时，a„=y.

(2)当。1>0且〈TOO时,令.=1七,由⑴有,bn=lg^r=2-nlg2.

所以数列｛儿｝是单调递减的等差数歹i(公差为-Ig2).

仇>方2>…》6=lg^==o,

当“27时，bn^b7=Igyr=lg1^|<lgl=0,

故数列的前6项的和最大.

20.D5[2012•江苏卷]己知各项均为正数的两个数列｛仇｝和｛儿｝满足：%+|=竿建5,〃

yla„+bn

GN*.

(1)设儿+1=1+卜，“GN’,求证：数歹(]｛(如2｝是等差数列；

(2)设儿+|=啦・£,"WN*,且｛4｝是等比数列，求处和加的值.

20.解：(1)由题设知a”i=然与=—/)：、=―,

所以答=/0，从而肾卜仔j(〃M

所以数列《也》｝是以1为公差的等差数列.

(2)因为的>0,小>0,所以3c+区v(07+卅)2,

从而l<a”+i=斗:”三〈啦.(*)

7d+b„

设等比数列｛«,｝的公比为q,由0r>0知1>0.下证q=1.

若q>l,则。]=亍啦，故当〃>log,/当时，*+1=。刈〃>^，与(*)矛盾；

若Ovqvl,则4]=号>吟1，故当〃Alog，^时，。〃+1=。1<7〃<1，与(*)矛盾.

综上，q=1,故%=。[(〃£N*),所以l<aiW啦.

又加1=也少=好也(〃€N*),所以｛6〃｝是公比为平的等比数列.

Qn"1"I

若12/正，则米>1，于是瓦色色.

又由“小衍科""I'

所以bi，岳，出中至少有两项相同，矛盾.所以用=小,

从而bn=萧二啦.所以a\=h[=y[2.

17.D5[2012•江西卷]已知数列｛恁｝的前〃项和S产廿一网其中c,左为常数)，且丁=4,

。6=8。3.

⑴求。〃；

(2)求数列｛〃斯｝的前n项和Tn.

17.解：(1)由S,=%c"—左，得。〃=S〃一S?-i=h,"—

由。2=4,。6=8的，得%。(。-1)=4,kc5(c_1)=Zk(?(c-1),

c=2,

nnxM

解得所以ai=S]=2,an=kc-kc~=2(/?^2),于是a〃=2".

k=2.

(2)7〃=余0=余"，即

T〃=2+2-22+3-23+4-24+-+”2”

T“=2T〃-T〃=-2-22-23-24-----2"+"2”“=-2W^+2+z?-2rt+1

=(w-1)2M+1+2.

19.D5[2012・广东卷]设数列｛%｝的前〃项和为S〃,数列｛S〃｝的前勿项和为北,满足9

•)*

=

2Sn—n,.

(1)求m的值；

(2)求数列｛%｝的通项公式.

19.解：(1)由题意有

S=r=2$-1.

故S=2。]-1.

于是a\=1.

⑵由Q=2s得

G-1=2S〃-]--Ip,〃22.

从而S〃=。,一器-]=2a“-(2〃-1),〃22.

由于4|=S]=1,

故对一切正整数〃都有S〃=2恁-(2〃-1),①

因此S〃-1=2a„-1-(In-3),.②

①-②得a”=2(恁-恁-D-2,〃22.

于是an=2an-\+2,

故%+2=2(%-1+2),笈22.

•/ai+2=3,

.•・｛恁+2｝是以3为首项，2为公比的等比数列.

•・・。〃=307-2.

〃+2

18.D5[2012♦全国卷]已知数列｛%｝中，0=1,前〃项和工=1一而

(1)求。2，的；

(2)求｛an｝的通项公式.

4

18.解：(1)由S2=乎2得3(。|+。2)=4〃2，

解得。2=3。1=3;

由S3=|<23得3(。1+。2+。3)=5。3，

解得。3=，3+。2)=6.

(2)由题设知0=1.

当n>\时有

〃+2-+1

—S?-1=33-1'

〃+1

整理得a=~a1.

nn~\n

于是m=l,

3

S=F]，

4

。3=>2，

n

0L1

n+1

将以上〃个等式两端分别相乘，整理得。“=也展1

综上，s,｝的通项公式斯=吆手2

22.B14、E9、J3、D5［2012•四川卷］已知a为正实数，〃为自然数，抛物线/=一/十

亨与x轴正半轴相交于点4设大〃)为该抛物线在点A处的切线在y轴上的截距.

(1)用a和〃表示儿?)；

(2)求对所有n都有需［成立的。的最小值；

⑶当。51时，比较而加+哥而[与6.先4k的大小，并

说明理由.

22.解：(1)由已知得，交点”的坐标为卜0),对了=-x2+5”求导得，=-2x,

则抛物线在点力处的切线方程为y=-译偿，即^=-曰x+/则道〃)=/

(2)由(1)知/(〃)=",则等号，言成立的充要条件是/，2"+1.

即知，+1对所有"成立.特别地，取”=1得到a>3.

当a=3,〃》1时，an=3n=(l+2)z'=1+Ci-2+-^2/?+1.

当〃=0时，</=2〃+1.故。=3时，；对所有自然数n均成立.

所以满足条件的。的最小值为3.

(3)由(1)知人外=).

下面证月.川)-火2)人2)-<4)义〃)一八2〃)6X0)-XD,

首先证明：当O〈xvl时，」-7>6X.

X-X

设函数gCx)=6x(f-x)+l,O<xvl.

则g'(x)=18x(x_1).

22

当时，gf(x)<0;当铲x〈l时，g'(x)>0.

故g(x)在区间(0,1)上的最小值g(x)min=g停)=9>0-

所以，当O〈xvl时，g(x)>0,即得(，2>6X.

由031知0<人1(衣N*),因此不%6/从而

---------------------+----------------------4-•••+-------------------------

川)-/(2)A2)-A4)加)一人2〃)

111,

=---?+~2---4++~Si>6(a+/+•••+a")

a-aa-aa-a

川)二/(〃+1)

XO)-/i)-

23.D5、M2[2012•上海卷]对于项数为m的有穷数列｛%｝,记d=max｛°i，a2,…，a①k

=1,2,…，m),即bk为ax,6，…，4中的最大值，并称数列｛6“｝是｛小｝的控制数列.如

1,3,2,5,5的控制数列是1,3,3,55

(1)若各项均为正整数的数列｛%｝的控制数列为2,3,4,5,5,写出所有的｛%｝；

(2)设出“｝是｛四｝的控制数列，满足4+"-什i=C(C为常数，>=1,2,…，加),求证：

仇=&*(%=1,2,…，W7)；

(3)设机=100,常数qdQ,1).若以=a〃2—(—1)*今“〃，｛儿｝是｛“”｝的控制数列，求

(bi—41)+32-”2)H---H(Z)i00—cfioo).

23.解:(1)数列｛恁｝为：2,3,4,5,1或2,3,4,5,2或2,3,4,5,3或2,3,4,5,4或2,3,4,5,5.

(2)因为瓦=max｛。],。2,…，恁｝，瓦+i=max｛。],3…，仅，宾+13

所以瓦+12瓦.

因为。卜+b〃i-k+1=C、+I+b加-k=C

所以仅+i-ak=hmk^-bm-k2,即%12狈

因此，bk=ak.

(3)对3=1,2,…，25,

a4k-3=a(4k-3)2+(4k-3);

a4k-2=a(4k-2)